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1、相似三角形 知识点（一）：相似三角形的证明技巧 1. 相似三角形的基本图形 2. 相似三角形判定定理（ 3 条） 3. 相似三角形的具体解题方法 1.“ 三点定形法 ” ：即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先 看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能， 则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“ 横定” ；若不能，再看每个比的前后两项的 两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形 相似就行了，这叫做 “ 竖定” 。 例1、已知 :如图 ABC中,CEAB,BFAC.求证:AE?AB=AC?A
2、F.（判断 “ 横定 ” 还是 “ 竖定 ” ？ ） 例2、如图， CD是Rt ABC的斜边 AB上的高， BAC的平分线分别交 BC、CD于点E、F， AC AE=AF AB 吗？说明理由。 分析方法： 1）先将积式 _ 2）_ （ “ 横定” 还是“ 竖定 ” ？ ） 练习 1.已知：如图， ABC 中，ACB=90 ，AB 的垂直平分线交AB 于 D，交 BC 延长线于 F。 求证： CD 2=DE DF。 A D E F B C 2.过渡法（或叫代换法） 有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用 “ 过渡” ，其主要类型有 三种，下面分情况说明 (1)等量过渡法（等线
3、段代换法） 遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一 条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似， 那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没 有，可考虑添加简单的辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问 题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。 例 1：如图 3， ABC 中，AD 平分BAC， AD 的垂直平分线 FE 交 BC 的延长线于 E求 证：DE 2BE CE (2)等比过渡法（等比代换法） 当用三点定形法不能确定三角形，同时也
4、无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑 利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证 的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。 例 2：如图 4，在 ABC 中，BAC=90 ，ADBC，E 是 AC 的中点， ED 交 AB 的延长线于 点 F 求证： ABDF ACAF （3）等积过渡法（等积代换法） 思考问题的基本途径是： 用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比 例；若三点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换， 然后再用三点定形法确定相似三角形，若以上三种方法行不通时
5、，则考虑用等积代换法。 例 3：如图 5，在ABC 中，ACB=90 ，CD 是斜边 AB 上的高， G 是 DC 延长线上一点，过 B 作 BEAG，垂足为 E，交 CD 于点 F求证： CD 2DF DG 小结：证明等积式思路口诀：“ 遇等积，化比例：横找竖找定相似； 不相似，不用急：等线等比来代替。” 4.确定证明的切入点 。几何证明题的证明方法主要有三个方面。第一，从“ 已知” 入手，通过 推理论证，得出 “ 求证” ；第二，从 “ 求证” 入手，通过分析，不断寻求“ 证据” 的支撑，一直追溯 回到“ 已知” ；第三，从 “ 已知” 及“ 求证” 两方面入手，通过分析找到中间“ 桥梁”
6、 ，使之成为清晰 的思维过程。 5.相似三角形中的辅助线 在添加辅助线时， 所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线 段或得出等角， 等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线 有以下几种： 一、作平行线 例 1. 如图，ABC的 AB 边和 AC 边上各取一点 D 和 E，且使 ADAE，DE 延长线与 BC 延 长线相交于 F，求证： BF CF BD CE B D A C F E 例 2. 如图， ABC 中，ABAC ，在 AB、AC 上分别截取 BD=CE，DE，BC 的延长线相交于 点 F，证明： AB DF=AC EF. 例 3
7、、如图， B 为 AC 的中点， E 为 BD 的中点，则 AF：AE=_. 二、作延长线 例 1.如图，已知平行四边ABCD 中，E 是 AB 的中点， AF= 3 1 AD，连 E、F 交 AC 于 G求 AG：AC 的值 D C F AE B 综合练习 1.已知：如图，在ABC中，BDAACAB,36,是角平分线，试利用三角形相似的关系说明 ACDCAD 2 2.如图，矩形 ABCD 中，3AD厘米， ABa 厘米（3a） 动点 MN，同时从B点出发，分 别沿 BA， BC 运动，速度是1厘米秒过M作直线垂直于AB，分别交 AN ， CD 于 PQ，当点 N 到达终点 C 时，点M也随之停止运动设运动时间为t秒 （1）若4a厘米，1t秒，则PM_厘米； （2）若5a厘米，求时间t，使PNBPAD，并求出它们的相似比； （3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN 与梯形PQDA的面积相等，求t(用表示 )