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1、二次函数图像与性质知识归纳真题解析 【知识归纳】 1一般地，形如的函数叫做二次函数，当a ，b 时，是一次函数 2二次函数y ax 2bx c 的图象是，对称轴是直线 x= ，顶点坐标是（，）. 3抛物线的开口方向由a确定，当a0 时，开口；当a0 时，开口； a 的值越，开口越 4抛物线与y 轴的交点坐标为当 c0 时，与y 轴的半轴有交点；当c0 时，与y 轴的半轴有交点；当c 0 时，抛物线过 5若 a0，当 x 2 b a 时， y 有最小值，为； 若 a0，当 x 2 b a 时， y 有最大值，为 6当 a0 时，在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而，在对称轴的右侧，y 随 x 的
2、增大而；当 a0 时，在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而，在对称轴的右侧y 随 x 的增大而 7当 m 0 时，二次函数yax 2 的图象向平移个单位得到二次函数ya（x m) 2 的图象； 当 k 0 时，二次函数yax 2 的图象向平移个单位得到二次函数yax 2k 的图象平移的 口诀：左“”右“” ；上“”下“” 【知识归纳答案】 1 y=ax 2+bx+c(a 0，a，b， c 为常数 ) ，当 a=0 ，b0 时，是一次函数 2一条抛物线，对称轴是直线x=- 2 b a ，顶点坐标是（- 2 b a ， 2 4 4 acb a ） . 3开口向上；当a0 时，开口向下；a 的值越大
3、，开口越小 4 （ 0，c） 当 c0 时，与 y 轴的正半轴有交点；当c0 时，与 y 轴的负半轴有交点；当 c0 时，抛物线过（0， 0） 5若 a0，当 x 2 b a 时， y 有最小值，为 2 4 4 acb a ； 若 a0，当 x 2 b a 时， y 有最大值，为 2 4 4 acb a 6小，增大；增大，减小 7左平移m个上平移 k 个：左“”右“”；上“”下“” 真题解析 选择题（共 6 小题） 1已知关于 x 的方程 x2+1= 有一个正的实数根，则k 的取值范围是（） Ak0 Bk0 Ck0 Dk0 【考点】 H2：二次函数的图象； G2：反比例函数的图象 【分析】 将
4、方程 x2+1=的解可看成抛物线y=x 2+1 与双曲线 y= 的交点横坐标， 画出函数图象，利用数形结合即可得出结论 【解答】解：方程 x 2+1= 的解可看成抛物线y=x 2+1 与双曲线 y= 的交点横坐标 画出两函数图象，如图所示 抛物线 y=x 2+1 开口向上，且最低点为（ 0，1） ， 当 x0 时，y=x 2+10， 双曲线 y=在第一象限有图象， k0 故选 C 2 如图， 一次函数 y=ax+b （a0） 与二次函数 y=ax 2+bx （a0） 图象大致是（ ） ABCD 【考点】 H2：二次函数的图象； F3：一次函数的图象 【分析】 利用一次函数的图象的性质确定a、b
5、 的符号，然后看二次函数是否符 合即可确定正确的选项 【解答】 解：A、一次函数y=ax+b（a0）中 a0，b0，二次函数y=ax 2+bx （a0）中 a0，b0，故错误，不符合题意； B、一次函数 y=ax+b（a0）中 a0，b0，二次函数 y=ax 2+bx（a0）中 a0， b0，故正确，符合题意； C、一次函数 y=ax+b（a0）中 a0，b0，二次函数 y=ax 2+bx（a0）中 a0， b0，故错误，不符合题意； D、一次函数 y=ax+b（a0）中 a0，b=0，二次函数 y=ax 2+bx（a0）中 a0， b0，故错误，不符合题意； 故选 B 3如图，关于 x 的二
6、次函数 y=x 2x+m 的图象交 x 轴的正半轴于 A，B 两点，交 y 轴的正半轴于 C点，如果 x=a时，y0，那么关于 x的一次函数 y= （a1）x+m 的图象可能是（） A B C D 【考点】 H2：二次函数的图象； F3：一次函数的图象 【分析】根据函数图象与 y 轴的交点，可得 m0，根据二次函数图象当x=a时， y0，可得 a0，a10，根据一次函数的性质，可得答案 【解答】 解：把 x=a代入函数 y=x 2x+m，得 y=a2a+m=a（a1）+m， x=a时，y0，即 a（a1）+m0 由图象交 y 轴的正半轴于点 C，得 m0， 即 a（a1）0 x=a时，y0，a
7、0，a10， 一次函数 y=（a1）x+m 的图象过一二四象限， 故选： A 4对于二次函数 y=（x1）2+2 的图象与性质，下列说法正确的是（） A对称轴是直线 x=1，最小值是 2 B对称轴是直线x=1，最大值是 2 C对称轴是直线x=1，最小值是 2 D对称轴是直线 x=1，最大值是 2 m0， m=2 M（2，8） 故选 C 6对于抛物线 y=（x+1）2+3，下列结论： 抛物线的开口向下； 对称轴为直线 x=1； 顶点坐标为（ 1，3） ； x1 时，y 随 x 的增大而减小， 其中正确结论的个数为（） A1 B2 C 3 D4 【考点】 H3：二次函数的性质 【分析】 根据二次函
8、数的性质对各小题分析判断即可得解 【解答】 解： a=0， 抛物线的开口向下，正确； 对称轴为直线 x=1，故本小题错误； 顶点坐标为（ 1，3） ，正确； x1 时，y 随 x 的增大而减小， x1 时，y 随 x 的增大而减小一定正确； 综上所述，结论正确的个数是共3 个 故选： C 二填空题（共5 小题） 7抛物线 y=ax 2+bx+c 的大致图象如图，则 b 的取值范围是b1 【考点】 H2：二次函数的图象 【分析】根据顶点位于 x轴的下方，可得不等式，根据自变量与函数值的对应关 系，可得 a，b，c 的关系，根据等量代换， 可得关于 b 的不等式， 根据解不等式， 可得答案 【解答
9、】 解：当 x=1 时，y=ab+c0， 当 x=1时，y=a+b+c=2， a+c=2b 2bb0， b1， 故答案为： b1 8用“ 描点法 ” 画二次函数 y=ax 2+bx+c（a0）的图象时，列出了如下表格： x123 4 y=ax 2+bx+c 01 03 那么该二次函数在x=0时，y=3 【考点】 H2：二次函数的图象 【分析】 根据题目提供的满足二次函数解析式的x、y 的值，确定二次函数的对 称轴，利用抛物线的对称性找到当x=0时， y 的值即可 【解答】 解：由上表可知函数图象经过点（1，0）和点（ 3，0） ， 对称轴为 x=2， 当 x=4时的函数值等于当x=0时的函数值
10、， 当 x=4时，y=3， 当 x=0时，y=3 故答案是： 3 9如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是y=ax 2；y=bx2；y=cx2； y=dx 2则 a、b、c、d 的大小关系为 abdc 【考点】 H2：二次函数的图象 【分析】 设 x=1，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标 的大小 【解答】解：因为直线 x=1与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a） ， （1，b） ， （1，d） ， （1，c） ， 所以， abdc 10如图，抛物线y=x 22x+k（k0）与 x 轴相交于 A（x 1，0） 、B（x2，0）两 点，其中 x10x2，当 x=x1+
11、2 时，y 0（填“ ”“=”或“ ” 号） 【考点】 H3：二次函数的性质 【分析】 根据抛物线方程求出对称轴方程x=1，然后根据二次函数的图象的对称 性知 x1与对称轴 x=1距离大于 1，所以当 x=x1+2 时，抛物线图象在 x 轴下方，即 y0 【解答】 解：抛物线 y=x 22x+k（k0）的对称轴方程是 x=1， 又x10， x 1与对称轴 x=1距离大于 1， x1+2x2， 当 x=x1+2 时，抛物线图象在x 轴下方， 即 y0 故答案是： 11对于二次函数 y=x 23x+2 和一次函数 y=2x+4，把 y=t（x23x+2）+ （1t） （2x+4） （t 为常数）称
12、为这两个函数的“ 再生二次函数 ” 其中 t 是不为零的实 数，其图象记作抛物线F，现有点 A（2，0）和抛物线 F上的点 B（1，n） ，下 列结论正确的有 n 的值为 6； 点 A 在抛物线 F上； 当 t=2 时，“ 再生二次函数 ”y 在 x2 时，y 随 x 的增大而增大 当 t=2 时，抛物线 F的顶点坐标是（ 1，2） 【考点】H3：二次函数的性质； F5：一次函数的性质； F8：一次函数图象上点的 坐标特征 【分析】已知点 B 在抛物线 E上，将该点坐标代入抛物线E的解析式中直接求 解，即可得到 n 的值 将点 A 的坐标代入抛物线E上直接进行验证即可； 代入 t=2 得到二次
13、函数，从而确定其增减性即可 将 t 的值代入 “ 再生二次函数 ” 中，通过配方可得到顶点的坐标 【解答】 解：将 x=1 代入抛物线 E的解析式中，得： n=t（x23x+2）+（1t） （2x+4）=6，正确 将 x=2代入 y=t（x23x+2）+（1t） （2x+4） ，得 y=0， 点 A（2，0）在抛物线 E上，正确 当 t=2 时，y=t（x23x+2）+（1t） （2x+4）=2x 24x=2（x1）22， 对称轴为 x=1，开口向上， 当 x2 时，y 随 x 的增大而增大，正确； 将 t=2 代入抛物线 E 中，得： y=t（x 23x+2）+（1t） （2x+4）=2x2
14、4x=2 （x1）22， 此时抛物线的顶点坐标为： （1，2） ，错误； 故答案为： 三解答题（共8 小题） 12有这样一个问题： 探究函数 y=x 2+ 的图象与性质， 小东根据学习函数的经 验，对函数 y=x2+的图象与性质进行了探究， 下面是小东的探究过程， 请补充 完整： （1）下表是 y 与 x 的几组对应值 x 3 2 1 123 y m 函数 y=x 2+ 的自变量 x 的取值范围是 x0，m 的值为； （2）在如图所示的平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的 点并画出该函数的大致图象； （3）进一步探究函数图象发现： 函数图象与 x 轴有1个交点，所以对应方程x
15、2+=0有1个实数根； 方程x2+=2有3个实数根； 结合函数的图象， 写出该函数的一条性质函数没有最大值或这个函数没有最 小值，函数图象没有经过第四象限 【考点】 H2：二次函数的图象； H3：二次函数的性质 【分析】 （1）观察函数解析式即可得到x0，求出 x=3 时的自变量的值即可解 决问题 （2）利用描点法画出函数图象即可 （3）三个问题，观察函数图象即可解决 【解答】 解： （1）由题意 x0，m=， 故答案为 x0， （2）函数图象如图所示 （3）由图象可知与x 轴有一个交点，对应方程x2+=0有一个实数根 故答案为 1，1 观察图象可知，方程x2+=2有 3 个实数根， 故答案为 3 在函数没有最大值或这个函数没有最小值，函数图象没有经过第四象限等， 答 案不唯一 故答案为函数没有最大值或这个函数没有最小值，函数图象没有经过第四象限 13某班“ 数学兴趣小组 ” 对函数 y=x 22| x| 的图象和性质进行了探究，探究过程 如下，请补充完整 （1）自变量 x 的取值范围是全体实数， x 与 y 的几组对应值列表如下： x3 210123 y3m10103 其中， m=0 （2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象 的一部分，请画出该函数图象的另一部分 （3）观察函数图象，写出两条函数的性质