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1、1 二次函数解析式的八种求法 二次函数的解析式的求法是数学教学的难点，学不易掌握 他的基本思想方法是待定系 数法， 根据题目给出的具体条件，设出不同形式的解析式，找出满足解析式的点，求出相应 的系数下面就不同形式的二次函数解析式的求法归纳如下，和大家共勉： 一、定义型： 此类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足二个条件：1、a 0 ；2、x 的最高 次数为 2 次 例 1、若 y =( m 2 + m )x m2 2m 1 是二次函数，则m = 解：由 m 2+ m0 得:m 0 ，且 m 1 由 m 2 2m 1 = 2 得 m =1 或 m =3， m = 3 二、开放型 此类题目只给
2、出一个条件，只需写出满足此条件的解析式，所以他的答案并不唯一 例 2、(1)经过点 A（0，3）的抛物线的解析式是 分析：根据给出的条件，点A 在 y 轴上，所以这道题只需满足cbay 2 中的 C=3，且 a0 即可3 2 y（注：答案不唯一） 三、平移型： 将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线要借此类题目， 应先 将已知函数的解析是写成顶点式y = a( x h)2 + k，当图像向左（右）平移 n 个单位时，就在 x h 上加上（减去）n；当图像向上（下）平移m 个单位时，就在k 上加上（减去）m其 平移的规律是：h 值正、负，右、左移；k 值正负，上下移由于经过平移
3、的图像形状、大 小和开口方向都没有改变，所以a 得值不变 例 3、二次函数 2 5 3 2 12 y的图像是由 2 2 1 y的图像先向平移 个单位，再向平移个单位得到的 解： 2 5 3 2 12 y = 23 2 12 ， 二次函数 2 5 3 2 1 2 y的图像是由 2 2 1 y的图像先向左平移3 个单 位，再向下平移2 个单位得到的 这两类题目多出现在选择题或是填空题目中 2 四、一般式 当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式 cbay 2 ，转化成一个三元 一次方程组，以求得a， b，c 的值； 例 4、图像经过（ 1， 4），（ 1，0），（ 2，5），求二次函数的解析式：
4、 解：设二次函数的解析式为：cba 2 ，依题意得： 4 0 542 abc abc abc 解得： 3 2 1 c b a 32 2 xxy 五、顶点式 若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设为顶点式khxay 2 这顶点坐标 为（h，k ），对称轴方程x = h，极值为当x = h 时， y 极值 =k 来求出相应的系数； 例 5、图象顶点是（2，3），且过（1，5）求二次函数的解析式： 解：设二次函数解析式为：y = a( x h) 2 + k， 图象顶点是（2，3）h=2，k=3， 依题意得： 5=a( 1 + 2) 2+3，解得： a=2。 y = 2( x +2) 2 + 3= 1
5、182 2 xx 六、两根式 已知图像与x 轴交于不同的两点 12 00xx， ， ，设二次函数的解析式为 21 xxxxay，根据题目条件求出a 的值 例 6、图像与x 轴交于（ 2，0），（ 4，0）两点，且过（1， 2 9 ），求二次函数的 解析式： 解：设二次函数解析式为：y = a( x 1) ( x 2) 图像与 x 轴交于（ 2，0），（ 4，0）两点， 1=2，2=4 依题意得： 2 9 = a( 1 +2) ( 1 4) ，a= 2 1 y = 2 1 ( x +1) ( x 4)= 2 2 3 2 12 x 七、翻折型（对称性）： 已知一个二次函数 cba 2 ，要求其图象
6、关于x轴对称（也可以说沿x轴翻 折）； y 轴对称及经过其顶点且平行于x轴的直线对称， （也可以说抛物线图象绕顶点旋转 3 180 ）的图象的函数解析式，先把原函数的解析式化成y = a( x h) 2 + k 的形式 （1）关于 x轴对称的两个图象的顶点关于x轴对称，两个图象的开口方向相反，即a互为 相反数 （2）关于 y 轴对称的两个图象的顶点关于 y 轴对称， 两个图象的形状大小不变，即a相同 （3）关于经过其顶点且平行于x轴的直线对称的两个函数的图象的顶点坐标不变，开口方 向相反，即 a互为相反数 例 7、已知二次函数 563 2 xxy ，求满足下列条件的二次函数的解析式：（1）图
7、象关于x轴对称； （2）图象关于 y 轴对称； （3）图象关于经过其顶点且平行于x轴的直线 对称 解： 563 2 xxy 可转化为 2)1(3 2 xy ，据对称式可知 图象关于x轴对称的图象的解析式为 2) 1(3 2 xy ， 即： 563 2 xxy 图象关于 y 轴对称的图象的解析式为： 2) 1(3 2 xy ，即： 563 2 xxy ； 图象关于经过其顶点且平行于 x轴的直线对称的图象的解析式为 2) 1(3 2 xy ，即 163 2 xxy 八、数形结合 数形结合式的二次函数的解析式的求法，此种情况是融代数与几何为一体，把代数问题 转化为几何问题，充分运用三角函数、解直角三
8、角形等来解决问题，只要充分运用有关几何 知识求出解析式中的待定系数，以达到目的 例 8、如图，已知抛物线cby 2 7 1 和 x 轴正半轴交与A、B 两点， AB=4，P 为抛物线上的一点，他的横坐标为1，PAO=45 ， 3 7 cotPBO 1求 P 点的坐标； 2求抛物线的解析式 y MAB 4 Ox P 解:设 P 的坐标为 (1， y)， P 点在第三象限y0， 过点 P 作 PM X 轴于点 M 点 M 的坐标为 (1，0) |BM| = |BA|+ |AM| PAO=45 |PM | = |AM| = |y | =y 3 74 cot y y PM BM PBOy = 3 P 的坐标为 (1， 3) A 的坐标为 (2，0) 将点 A、点 P 的坐标代如函数解析式 cb cb 7 1 3 2 7 4 0 解得： 8 7 b； 12 7 c 抛物线的解析式为： 21812 777 y