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1、八年级数学三角形 典型题 专题训练 一、知识精讲 三角形是最简单、 最基本的几何图形， 它不仅是研究其他图形的基础，而且 在解决实际问题中也有着广泛的应用.本节知识包含：三角形三边关系定理、三 角形内角和定理及推论，它们在线段、角度的计算、图形的计数，基本模型的变 式等. 二、典型例题 【例1】已知 ABC 中， CAB CBA ，CD 平分 ACB ，E 为直线 AB 上一点， 过E作E D 垂直于 C D ，垂足为 D （1） 当E与A 重合时，如图 1，求证： BED = 1 2 ( CAB CBA ) （2）当E在A B 延长线上时，如图 2， （1）中的结论是否仍成立，写出证明 过程
2、 【练1】如图，D =40 ，C =30 ，A E 、B E平分D AC 、C B D ，求A E B 的度数. 例2：如图已知点 P为ABC 内任意一点， 证明： PA+PB+PC 1 2 （AB +BC +AC ) 【练2】P 是ABC 内一点，连接BP，PC 延长 BP 交 AC 与点 D . 求证： AB +AC PB+PC. 图形归纳： 【例3】如图，P A 、P B分别平分 A O B的两个外角， A E P B ，求P AE . 【练3】如图x 轴、y轴分别平分 DBC 、EAD ，求 AED +BCD 的值 . 【例4】如图1，ABC 中 AD 、AE 分别为高、角平分线，F
3、在 BC 的延 长线上，过 F 作 FGAE 于 G 且交 AB 于 H. （1）求证： DAE= F； （2）求证： 2DAE =ACB B； （3）ABC中，若 ACB为钝角，其它条件不变，如图2，请画出 图形并直接写出 DAE 、ACB 、B 之间的数量关系. 【练4】已知在平面直角坐标系中， M、N 分别为 x 轴、y 轴上的两个动点， M 在原点的左侧， N 在原点的上方 (1)如图1，射线 MO 、NO 平分 BMC 、DNC ，BMC 与 DNC 的各边 分别 交于 A、B、C、D，试判断 BAD 、C 之间有何确定的数量关系？ 证明你的结论 . （2） 如图 2，ND 平分 M
4、NO ，ND 交 x 轴于 E， FEO = 1 3 NEF， 且 FMO = 1 n NMF， MFE = 11.25 ，求 n 的值 【例5】已知P为第四象限一动点， Q为x 轴负半轴上一动点， R在P Q 下方 且为y 轴负半轴上一动点 （1）如图 1，若 P （2，1） ，Q （3，0） ，R （0，5） ，求 S PQR 。 （2）如图 2，若 RM 、QM 分别平分 PRO ，PQO，P 、Q 、R在运动过程中， P 、M是否存在确定的数量关系，若存在，请证明你的结论；若不存在，请 说明理由 . （3）若将 R点改为 y轴正半轴上一动点，且在P 、Q及（2）中的条件不 变的 前提下
5、，如图 3，P 、M又有何数量关系？（写出结论，不证明） 【练5】已知平面直角坐标系中，直线M N交x 轴于点 A （a ，0） ，交y轴于点 B （0，b ） （1）若 (2a+3b+1) 2+|a+b+1| 0 ，求 A、 B 两点的坐标 . （2）如图 1，过点 G作 GE AE ，GH 平分 OGE ，求证： 1=2. (2)如图 2 ，BC x 轴，且 BAC=BCA，D 为 CA 延长线上一点，且 DOY 1 2 ABY,当A 点在 x轴正半轴上运动时，D的度数是否发生变化？若不变 求其值；若变化，说明理由. 【例6】已知A（0，m ） ，B （0，n ） ，点C在x 轴负半轴上，
6、且有 (2m 5n+ 3) 2 +n 3= 0 （1）若 S ABC 2，求点 C 的坐标 . （2）如图 1 ，将 C 点向上平移，使CO 平分 ACB ，点 P 是 y 轴 B 点上方的一动点， PQOC 于点 Q，当 ABC =BAC + 54 时， 求APQ 的度数 . （3）如图 2 ，在（ 2）的条件下，将线段AC 平移，使其经过P 点得线 段 EF ，作 APE 的角平分线交 OC 的延长线与点M，当 P 在 y 轴上运 动时， M 1 2 BAC的值是否发生变化？若不变，求其度数；若变化，求 其变化范围 . 【练6】如图，已知：在平面直角坐标系中， A(a ,0)，B (b,0
7、)，a 0，b 0. （1）如图 1，若点 C在 y轴上，且有 a +4+(b 3) 2 = 0 ，ABC的面 积为 18，求点 C的坐标； （2）如图 2，若 C 点在第一象限运动，CA 交 y 轴 G 点， CB 的延长线交y 轴于 D 点， E 点为 B 点关于 y 轴的对称点，DE 的延长线交AC 于 F 点 当DFC =C+70时，求 BAG 的度数 . 如图 3，将线段DC 平移，使其经过A 点得线NK ，过 A 的直线 AM 交 y 轴 于 M ，交 CD 延长线于H 点，当满足 CHD =CHA 时，求 AMO DFC 的值. 三、课后练习 1.如图1，ABC 中， AC BC
8、 ，CD 是高， ABC 的角平分线AE 交 CD 于 F. （1）请比较 CEF 与 CFE 的大小 ,并证明你的结论 . （2）若“ ABC 的角平分线AE 改为 ABC 的外角平分线AE ” ，其它 条 件不 变 ， CEF 与 CFE的大小 关系 如何 ？ 请 画出 图形 并 予 以判 断 （不要求证明过程） . 2.已知 D、E 分别为 ABC 的边 AB 、AC 上的点， DE BC ，DN 、CN 分别为 ADE 和ACF 的平分线，BM 、EM 分别为 GBC 和 DEC 的 平分线 （1）判断 BM 与 DN 的位置关系并证明. （2）求证： M+N= 90 3.平面内，四条
9、线段AB 、BC 、 CD、DA 首尾顺次相接，ABC =24 ， ADC = 42 （1）BAD和BCD 的角平分线交于点 M （如图 1），求 AMC的 大小 . （2）点 E 在 BA 的延长线上，DAE 的平分线和 BCD 的平分线交 于点 N（如 图 2 ），求 ANC的度数 . 4.在平面直角坐标系中， A（0，1） ，B （4，1） ，C 为x 轴正半轴上一点且 A C 平 分O AB （1）求证： OAC =OCA. （2）若分别作 AOC 的三等分线及OCA 的外角的三等分线交于 P， 即满 足 POC= 1 3 AOC ，PCE= 1 3 ACE ，求 P的大小 . （3）
10、在（ 2）中，若射线OP、CP 满足 POC = 1 n AOC ， PCE = 1 n ACE ， 猜想 OPC 的大小，并证明你的结论（用含n 的式子表 示） 5.如图，在平面直角坐标系中，AOB 是直角三角形，AOB =90，斜边 AB 与 y轴交于点 C . （1）若 A =AOC ，求证： B=BOC . （2）延长AB 交 x 轴于点E，过 O 作 OD AB ，且 DOB =EOB ， OAE =OEA ， 求A 的度数 . （3）如图， OF 平分 AOM ， BCO的平分线交FO 的延长线于点 P当 ABO 绕 O 点旋转时（斜边 A B与 y 轴正半轴始终相交于点C ） ，
11、在（ 2） 的条件下，试问P的度数是否发生改变？若不变，请求其度数；若改变，请说 明理由 6.如图，在直角坐标系中，已知B（ b,0 ）,C（ 0,c）, b+3+(2 c8) 2 = 0 . （1）求 B、C 坐标 . （2）点 A 、D 是第二象限的点，点M 、N 分别是x 轴和 y 轴负半轴上的点， ABM =CBO ，CD AB ，MC 、NB 所在直线分别交AB 、CD 于 E、F， 若 MEA =70， CFB =30求 CMB CNB 的值 . （3） 如图， AB CD ，Q 是 CD 上一动点， CP 平分 DCB ，BQ 与 CP 交于点P， 求 DQBQBC OPC 的值 .