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1、全等三角形证明条件归类 初学三角形全等证明， 根据已知条件找到证明全等的三个条件是难点。如何 才能找到证明全等证明的三个条件呢？从三角形全等证明的四种证明方法（边角 边、角边角、角角边、边边边）来看：已知两边对应相等，第三个条件可以找已 知两边的夹角对应相等， 或找第三边对应相等； 如果告诉了两个角对应相等，第 三个条件找两个角的夹边对应相等，或是已知的两个角中的某个角的对应边相 等； 已知一边和一角对应相等， 第三个条件可能是对应相等角的另一边对应相等， 或是另一角对应相等。 分析以上这些情况， 找第三个条件分两种情况： 一是再找 一组对应边相等，二是再找一组对应角相等。对应边相等的情形从题
2、目 给定的条件来看分以下几种情况： 一是公共边是第三个条件 例 1：如图，在ABDABC与中，AC=BD ，AD=BC ，求证：ABCABD 证明： ABD 和BAC中： BD=AC BC=AD AB=BA( 公共边 ) ABCABD（SSS ） 二是相等对应边+公共边的和对应相等是第三个条件 例 1：如图 2，已知 AC=DF, A=D,AE=BD,求证： ABC DEF 证明： AE=BD AE+EB=BD+EB（即 AB=DE） 在ABC和DEF 中 AC=DF A=D AB=DE ABC DEF （SAS ） 例 2 如图： AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。求证： AF=DE
3、 。 CE=FB CE+EF=EF+FB（即 CF=BE ） AB=DC AE=DF CF=BE ABE CDF （SSS ） AF=DE 三是相等对应边-公共边的差对应相等是第三个条件 例 1：如图： DF=CE，AD=BC ，D=C。求证： AEDBFC。 证明： DF=CE， DF-EF=CE-EF，即 DE=CF， 在 AED 和 BFC 中， AD=BC ， D=C ，DE=CF A D C B B A C E F D 第 2 图 FE D C BA F E D C B A AEDBFC（SAS） 四是等边三角形的三边相等（等腰三角形两腰相等）是第三 个条件 例 1：如图 5，ABC
4、 和CDE 都是等边三角形， 求证： ACDBCE。 证明： ABC 和CDE 都是等边三角形 AC=BC CD=CE ACB=DCE=60 ACB+ACE =DCE+ACE （即BCE=ACD） 在ACD 和BCE中， AC=BC BCE=ACD CD=CE， ACDBCE（SAS） 五是添加辅助线与对应的线段相等是第三个条件 例 1 已知： AD 平分 BAC，AC=AB+BD ，求证： B=2C 证明：延长 AB 取点 E，使 AEAC，连接 DE AD 平分 BAC EADCAD AEAC ADAD AEDACD （SAS） EC ACAB+BD AEAB+BD AEAB+BE BDB
5、E BDEE ABCE+BDE ABC2E ABC2C 六是二次证全等找到对应的线段相等是第三个条件 例 1 已知：如图， A=D=90 ，AE=DE求证： ABC DCB 证明： A=D AE=DE AEB=DEC（对顶角） AEDACD （ASA）EC=EB EC+AE=EB+DE （即 AC=DB） 在 RtABC 和 RtDCB 中 A=D=90AC=DB BC=BC（公共边） ABCDCB (HL) 七是中点等分线段对应相等是第三个条件 例 1，如图， DCAB，且 DC=AE，E 为 AB 的中点， 求证： AEDEBC 证明： DCAB CDEAED 第 5 图 A B C D
6、E O E D C B A DEDE，DCAE AEDEDC E 为 AB 中点AEBE BEDC DCAB DCEBEC CECE EBC EDC AEDEBC 八是其他情形 对应角相等的情形从题目给定的条件来看 分以下几种情况： 一是公共角相等是第三个条件 例1 如图， CABF 于 A，BECF 于 E，若 AC=BE 求证： AFC EFB 证明： CABF BECF CAF=BEF=90 在 AFC 和EFB 中 CAF= BEF F= F （ 公 共 角 ）AC=BE AFCEFB（AAS） 二是对顶角相等是第三个条件 例 1 如图： AE 、BC交于点 M ，F点在 AM上， C
7、FM=E BE=CF 。 求证： BEM CFM 证明： CFM=E CMF=BME（对顶角） BE=CF BEM CFM （AAS ） 三是平行线截得的同位角或内错角相等是第三个条件 例1. 已知： 1=2，EF/AB，B=ACD CD=DE 求证： EFDDAC 证明 EF/AB 1=EFD B=FED 1=2 B=ACD EFD=2 FED=ACD 在EFD 和DAC中 EFD=2 FED=ACD CD=DE EFDDAC 四是同角（或等角）的余角（或补角）相等是第三个条件 例 1已知： AC 平分 BAD，CEAB，B+D=180，求证： AE=AD+BE B A C D F 2 1
8、E M F E C B A 证明：在 AE 上取 F，使 EFEB，连接 CF CEAB CEBCEF90 EBEF，CECE CEBCEF B CFE BD180， CFECFA180 DCFA AC 平分 BAD DACFAC 又ACAC ADCAFC（SAS） ADAF AEAFFEADBE 例 2在ABC 中，90ACB，BCAC，直线MN经过点 C ，且MNAD 于 D ，MNBE于 E .(1) 当直线MN绕点 C 旋转到图1 的位置时，求证： ADCCEB； (2) 当直线MN绕点 C 旋转到图 2 的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立， 请给出证明；若不成立，说明理由. （
9、1） ADC= ACB= BEC=90 ， CAD+ ACD=90 ， BCE+ CBE=90 ， ACD+ BCE=90 CAD= BCE AC=BC ，ADC CEB （2）略 五是垂直相交的角是90是第三个条件 例 1：如图，DEAC 于 E，BFAC 于 F，若 AB=CD，AF=CE，BD 交 AC 于点 M 求证： MB=MD，ME=MF （1）DEAC 于 E，BFAC 于 F， DEC=BFA=90 ， 在 RtDEC 和 RtBFA 中， AF=CE，AB=CD ，RtDECRtBFA（HL ） ，DE=BF 在 RtDEM 和 RtBFM 中 DME= BMF DEC=BF
10、A DE=BF RtCBFM （AAS）MB=MD ，ME=MF （2）略 六是角平分线分得的角对应相等是第三个条件 例 1 如图，在 ABC中，AD 平分 BAC，1=2， 求证： ABDACD 证明： AD 平分BACBAD= CAD， 1=2 AD=AD BAD= CAD ABDACD（ASA） 七是 相等对应角 +公共角的和对应相等是第三个条件 例 1如图所示，已知AE AB ，AF AC ，AE=AB ，AF=AC 。求证： ABF AEC ； 证明： AE AB ，AF AC ，BAE= CAF=90 BAE+ BAC= CAF+ BAC ，即 EAC= BAF 在ABF和AEC中
11、， AE=AB ，EAC= BAF ，AF=AC ， ABF AEC （SAS ） ， 八是相等对应角 +相等对应角和对应相等是第三个条件 例 1 如图，已知 1=2，3=4，求证： ABCDCB 证明： 1=2，3=4 1+3=2+4（即 ABC= DCB ） 在AOB 和DOC 中 ABC= DCB BC=BC 4=3 ABCDCB 九是等边三角形的三个角都等于60 度（等腰三角形两底角 相等）是第三个条件 例 1：如图所示， ABC 是等腰直角三角形， ACB90，AD 是 BC 边上的 中线，过 C 作 AD 的垂线，交 AB 于点 E，交 AD 于点 F， 求证： CFDBED 证明
12、：作 CGAB,交 AD 于 H, 则ACH=45o ,BCH=45o CAH=90o -CDA, BCE=90o-CDA CAH=BCE 又AC=CB, ACH=B=45oACHCBE, CH=BE 又 DCH=B=45oCD=DB CFDBED 十是添加辅助线与对应的角相等是第三个条件 A E B M C F . 3 4 2 1 D C B A 十一是二次证全等找到对应的角相等是第三个条件 例 1AB=AC，DB=DC，F 是 AD 的延长线上的一点。求证：BF=CF 证明：在 ABD 与ACD 中 AB=AC BD=DC AD=AD ABDACD（SSS） ADB=ADC BDF=FDC
13、 在BDF 与FDC 中 BD=DC BDF=FDC DF=DF FBDFCD 十二计算角的度数找到对应的角相等是第三个条件 例 1如图，已知在ABC内， 0 60BAC， 0 40C，P，Q分别在 BC ，CA上，并且 AP ， BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 解：延长AB至 D，使 BD BP ，连 DP 在等腰 BPD中，可得 BDP 40 从而 BDP 40 ACP ADP ACP （ASA ）故 AD AC 又 QBC 40 QCB 故 BQ QC BD BP 从而 BQ+AQ=AB+BP 例 2 D 为等腰RtABC斜边 AB的中点， DM DN,
14、DM,DN分别交 BC,CA于点 E,F。 求证 CDE ADF 证明：连接D，D为等腰RtABC斜边 AB的中点，故有CD AB ，CD DA CD平分 BCA 90， ECD DCA 45 由于 DM DN ，有 EDN 90由于 CDAB ，有 CD A90 从而 CDE FDA DE ADF （ASA ） 十三其他情形 无论是找对应边相等还是找对应角相等，难点中的难点是找出隐含的条件， 像前面的公共边相等， 公共角相等， 对顶角相等这些类型， 我们可以把已知条件 和问题结合起来，先找到需要证明全等的三角形，在找证明全等的条件。 突破三角形全等证明这一难关， 除了我们要加强联系， 更重要的是我们在练 习的时候要仔细看图，提高识别图形的能力。