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1、1 / 12 勾股定理的应用分专题练习 本章常用知识点： 1、勾股定理：直角三角形两直角边的等于斜边的。如果 用字母 a,b,c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么勾股定理可以表示 为：。 2、勾股数：满足 a 2 +b 2 =c 2 的三个，称为勾股数。 常见勾股数如下： 3,4,5 6,8,10 9,12,15 12,16,20 15,20,2 5 5,12,13 7,24,25 9,40,41 10,24,26 8,15,17 3、常见平方数： 12111 2 ；14412 2 ；16913 2 ；19614 2 ；22515 2 ；25616 2 28917 2 ；32418 2
2、；36119 2 ；40020 2 ；44121 2 ；48422 2 52923 2 ；57624 2 ；62525 2 ；67626 2 ；72927 2 专题归类： 专题一、勾股定理与面积 1、 、在 Rt ABC中，C=90,a=5,c=3. ，则 Rt ABC 的面积 S= 。 2、一个直角三角形周长为12 米，斜边长为 5 米，则这个三角形的面积为：。 3、直线 l 上有三个正方形 a、b、c，若 a 和 c 的面积分别为 5 和 11，则 b 的面 积为 4、在直线 l 上依次摆放着七个正方形( 如图所示 ) 。已知斜放置的三个正方形的 面积分别是 1、2、3，正放置的四个正方形
3、的面积依次是S1、S2、S3、S4， 则 S1S2S3S4等于。 l 3 2 1 S4 S3 S2S1 l a b c 2 / 12 5、三条边分别是 5,12,13 的三角形的面积是。 6、如果一个三角形的三边长分别为a,b,c且满足： a 2 +b 2 +c 2 +50=6a+8b+10c, 则这个三角形的面积为。 7、如图 1，90ACB，BC=8,AB=10,CD 是斜边的高，求CD的长？ 7、如下图，在 ? ABC 中，90ABC，AB=8cm ，BC=15cm ，P是到? ABC三边距离 相等的点，求点 P到?ABC三边的距离。 8、有一块土地形状如图3 所示，90DB，AB=20
4、米，BC=15米，CD=7米， 请计算这块土地的面积。 （添加辅助线构造直角三角形） D C B A 图 3 A B C P B D C A 图 1 3 / 12 9、如右图：在四边形 ABCD 中，AB=2 ，CD=1 ，A=60，求四边形 ABCD 的面积。 10、如图 2-3，把矩形 ABCD 沿直线 BD向上折叠，使点C落在 C 的位置上，已 知 AB=?3 ，BC=7 ，求：重合部分 EBD的面积 11、如图，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用 S1、S2 、S 3表示，则不难证明S1 =S 2 +S 3 . (1) 如图，分别以直角三角形ABC 三边为边向
5、外作三个正方形，其面积分 别用 S1、S2、S3表示，那么 S 1 、S 2 、S 3之间有什么关系？ ( 不必证明 ) (2) 如图，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积 分别用 S1、S2、S3表示，请你确定 S 1 、S 2 、S 3之间的关系并加以证明； (3) 若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用 S1、S2 、S 3表示，请你猜想S1、S2 、S 3之间的关系 ?. D C B A 4 / 12 专题二、勾股定理与折叠 1、如图 4，矩形纸片 ABCD 的边 AB=10cm,BC=6cm,E 为 BC上一点，将矩形纸片沿 AE折叠，
6、点 B恰好落在 DC边上的点 G处，求 BE的长。 2、有一个直角三角形纸片，两直角边的长AC=6cm,BC=8cm, 现将直角边 AC沿 AD 对折，使它落在斜边AB上，且与 AE重合，求 CD的长？ 3、如图 6，在矩形纸片 ABCD 中，AB=33，BC=6,沿 EF折叠后，点 C落在 AB边 上的点 P处，点 D落在 Q点处， AD与 PQ相交于点 H，BPE=30 （1）求 BE 、QF的长 （2）求四边形 QEFH 的面积。 图 4 E G C D B A E D B C A 图 5 图 6 P H F E Q D C B A 5 / 12 E B C D A 专题三、利用股沟定理
7、列方程求线段的长度 1、如图 7，铁路上 A、B两站相距 25 千米， C 、D为两村庄， DA AB于 A点， CB AB于点 B，DA=15千米，CB=10千米，现在要在铁路上建设一个土特产收 购站 E，使得 C 、D两村庄到收购站的距离相等，则收购站E 应建在距离 A站 多远的距离？ 2、一架长为 5 米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底端B距离底 C为 3 米，如果梯子的顶端A 沿墙下滑 1 米到 D处，梯子的底端在水平方向沿一 条直线也将下滑动1 米到 E处吗？请给出证明。 3、ABC 中，AB=AC=20 ，BC=32 ，D是 BC上一点，且 AD AC ，求 BD的长 图
8、7 E D C B A 6 / 12 专题四、勾股数的应用 1、下列是勾股数的一组是（） A 4,5,6, B 5,7,12 C 12,13,15 D 14 ,48,50 2、一个直角三角形的三边长是不大于10 的三个连续偶数，则它的周长 是。 3、下列是勾股数的一组是（） A 2,3,4, B 5,6,7, C 9,40,41 D 10 24 25 4、观察下面表格中所给出的三个数a,b,c ，其中 a,b,c 为正整数，且 abc （1） ：试找给他们的共同点，并证明你的结论 （2） ：当 a=21时，求 b,c 的值 ,3,4,5 3 2 +4 2 =5 2 5,12,13 5 2 +1
9、2 2 =13 2 7,24,25 7 2 +24 2 =25 2 9,40,41 9 2 +40 2 =41 2 21,b,c 21 2 +b 2 =c 2 专题五、勾股定理及逆定理有关的几何证明 1、在四边形 ABCD 中，C是直角， AB=13,BC=3,CD=4,AD=12 证明： AD BD 2、CD是ABC中 AB边上的高，且CD 2 =AD DB ，试 说明ACB=90 D C B A C B D A 7 / 12 3、在正方形 ABCD 中，E是 BC的中点， F 为 CD上一点 且 CF= 4 1 CD试说明 AEF是直角三角形。 4、ABC 三边的长为 a,b, c ，根据
10、下列条件判断 ABC 的形状 （1） ：a 2 +b 2 +c 2 +200=12a+16b+20c ； （2） ：a 3 -a 2 b+ab 2 -ac 2 +bc 2 -b 3 =0 5、试判断，三边长分别为2n 2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n 为正整数） ?的三角形是 否是直角三角形？ 6、如图 2-12，ABC中， C=90 ，M是 BC的中点， MD AB于 D 求证： AD 2=AC2+BD2 D F C E B A 8 / 12 7、在 ABC中，BC=a,AC=b,AB=c, 若C=90，如下图 (1) 根据勾股定理可以得 出：a 2 +b 2 =c 2 , 若ABC
11、不是直角三角形，如图 (2) 与图(3) ，请你类比勾股定理 猜想 a 2 +b 2 与 c 2的关系，并且证明你的结论。 8、 如 图A B C中 ，PACABBAC,90为BC 上 任 意 一 点 ， 求 证 ： 222 2APCPBP 图(1) B B B A A A C C C 图(2) 图(3) A B P C 9 / 12 专题六、勾股定理与旋转 1、在等腰 RtABC中，CAB=90，P是三角形内一点，且PA=1,PB=3,PC=7 求：CPA的大小？ 2、如图，在等腰 ABC中， ACB=90 ，D、E为斜边 AB上的点， 且DCE=45 。求证： DE 2=AD2+BE2。
12、3、如图所示， ABC是等腰直角三角形， AB=AC ，D是斜边 BC的中点， E、F 分 别是 AB 、AC边上的点，且 DE DF ，若 BE=12 ，CF=5 求线段 EF的长。 E C A B D C B A P 10 / 12 4、已知，如图 ABC中，ACB=90 ，AC=BC ，P是ABC 内一点，且 PA=3 ，PB=1 ， PC=2 ，求 BPC 。 5、 如图，在ABC中， 0 90B，M为 AB上一点，AM=BC ，N为 AB上一点，CN=BM， 连接 AN 、CM交于点 P。求APM的大小。 专题七、最短路线问题 1、 有一正方体盒子， 棱长是 10cm ，在 A点处有
13、一只蚂蚁它想到B点处觅食， 那 么它爬行的最短路线是多少？ A B P B M C A N P B A C 11 / 12 2、有一个长方体盒子。它的长是70cm ，宽和高都是 50cm ，在 A点处有一只蚂蚁 它想到 B点处觅食，那么它爬行的最短路线是多少？ A B 3、如图所示，一个二级台阶，每一级的长、宽、高分别为60cm 、30cm 、10cm ， A和 B是这个台阶上两个相对的端点，在A点处有一只蚂蚁它想到B点处觅食， 那么它爬行的最短路线是多少？ 4、如下图、王力的家在高楼15层，一天他去买竹竿，如果电梯的长、宽、高分 别为 1.2m,1.2m,1.3m ，则他所买的竹竿最大长度是多少？ B A 12 / 12 5、如图, 已知圆锥的母线 AS =10 ，侧面展开图的夹角是90，点 C为 AS的中 点, A处有一只蜗牛想吃到C处的食物 , 但它不能直接爬到C处, 只能沿圆锥曲面 爬行, 请你画出蜗牛爬行的最短路程的图形并求出最短路程. A C B S