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1、初一数学专题培优资料汇编全书 第一讲数系扩张 -有理数（一） 一、 【问题引入与归纳】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成 m n （0,nm n互质） 。 4、性质：顺序性（可比较大小）； 四则运算的封闭性（ 0 不作除数） ； 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： (0) | (0) a a a a a 非负性 2 (| 0,0)aa 非负数的性质： i）非负数的和仍为非负数。 ii ）几个非负数的和为0，则他们都为 0。 二、 【典型例题解析】： 1 、若 | 0, abab ab abab 则
2、的值等于多少？ 2 如果m是大于 1 的有理数，那么m一定小于它的（） A. 相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3 、已知两数a、 b 互为相反数，c、 d 互为倒数，x的绝对值是2，求 22 00 620 07 ()()()xabcdxabcd的值。 4、如果在数轴上表示a、b 两上实数点的位置， 如下图所 示，那么|abab化简的结果等于（ A. 2a B.2a C.0 D.2b 5、已知 2 (3)|2 | 0ab，求 b a的值是（） A.2 B.3 C.9 D.6 6 、有 3 个有理数 a,b,c ，两两不等，那么, ab bc ca bc ca ab 中有几个负数？ 7 、
3、设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,ab a的形式式，又可表示为 0， b a ， b的形式，求 20062007 ab。 8 、三 个 有 理 数, ,a b c的 积 为 负 数 ， 和 为 正 数 ， 且 | | abcabbcac X abcabbcac 则 32 1axbxcx的值是多少？ 9、若, ,a b c为整数，且 20072007 |1abca， 试求|caabbc的值。 三、课堂备用练习题。 1、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+ +2005+2006 2、计算：12+23+34+n(n+1) 3、计算： 59173365129 13 248163264 4、已知
4、,a b为非负整数，且满足|1abab，求,a b的所有可能值。 5、若三 个有理数, ,a b c满足 | 1 abc abc ，求 |abc abc 的值。 第二讲数系扩张 -有理数（二） 一、 【能力训练点】： 1、绝对值的几何意义 | |0|aa表示数a对应的点到原点的距离。 |ab表示数a、b 对应的两点间的距离。 2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。 二、 【典型例题解析】 ： 1、 （1）若20a，化简|2|2 |aa （2）若0x，化简 | 2| |3| xx xx 2、设0a，且 | a x a ，试化简|1|2|xx 3、a、 b 是有理数，下列各式对吗？若不对，应附
5、加什么条件？ （1）| |;abab（2）| |;aba b （3）| |;abba（4）若|ab则 ab （5）若| |ab，则 ab（6）若 ab，则| |ab 4、若|5|2 | 7xx，求x的取值范围。 5 、 不 相 等 的 有 理 数, ,a b c在 数 轴 上 的 对 应 点 分 别 为 A 、 B 、 C， 如 果 | |abbcac，那么 B 点在 A、C 的什么位置？ 6、设 abcd ，求|xaxbxcxd的最小值。 7、abcde是一个五位数， abcde，求|abbccdde的 最大值。 8、设 1232006 ,a aaa都是有理数，令 1232005 ()Maa
6、aa 2342006 ()aaaa, 1232006 ()Naaaa 2342005 ()aaaa, 试比 较 M 、N的大小。 三、 【课堂备用练习题】 ： 1、已知( )|1|2 |3|2002 |f xxxxx求( )f x的最小值。 2、若|1|ab与 2 (1)ab互为相反数，求 321ab的值。 3、如果0abc，求 |abc abc 的值。 4、x是什么样的有理数时，下列等式成立？ （1）| (2)(4) | |2 |4 |xxxx（2）|(76)(35)| (76)(35)xxxx 5、化简下式： |xx x 第三讲数系扩张 -有理数（三） 一、 【能力训练点】： 1、运算的分
7、级与运算顺序； 2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。 （1）加法法则：同号相加取同号，并把绝对值相加；异号相加取绝对值较 大数的符号，并用较大绝对值减较小绝对值；一个数同零相加得原数。 （2）减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。 （3）乘法法则：几个有理数相乘， 奇负得负，偶负得正，并把绝对值相乘。 （4）除法法则：除以一个数，等于乘以这个数的倒数。 3、准确运用各种法则及运算顺序解题，养成良好思维习惯及解题习惯。 二、 【典型例题解析】 ： 1、计算： 351 0.752( 0.125)124 478 2、计算： （1） 、5 60 . 94 . 48 . 1 1 （2） 、
8、 （-18.75 ）+（+6.25）+（-3.25 ）+18.25 （3） 、 （-4 2 3 ）+ 111 362 324 3、计算： 232 3211.75 343 111 142 243 4、化简：计算：（1） 7111 4543 8248 （2） 3512 3.7540.125 8623 （3） 34 0 1154 77 （4） 235 713 346 （5）-4.035 127.535 12-36（ 7 9 57 618 ） 5、计算：（1） 324 2311 （2） 2 1998 1 110.533 3 （3） 22831 210.52 552142 6、计算： 3 4133 12
9、100.5 1644 7、 计算： 33232002 13471113 ()0.25() (51.254)(0.45)(2) ( 1) 81634242001 ： 第四讲数系扩张 -有理数（四） 一、 【能力训练点】： 1、运算的分级与运算顺序； 2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。 3、巧算的一般性技巧： 凑整（凑 0） ； 巧用分配律 去、添括号法则； 裂项法 4、综合运用有理数的知识解有关问题。 二、 【典型例题解析】 ： 1、计算： 23797 0.716.62.20.73.3 1173118 2、 1111111111 (1)()(1) 2319962341997231997
10、 1111 () 2341996 3、计算： 22 3 2( 2)|3.14| 3.14 | ( 1) 23 5324 3 ( 2)( 4)( 1) 7 4、 化简： 111 ()(2)(3)(9) 122389 xyxyxyxy并求当2,x9y时 的值。 5、计算： 2222 2222 2131411 2131411 n n S n 6、比较 1234 248162 nn n S与 2 的大小。 7、 计算： 33232002 13471113 ()0.25() (51.254)(0.45)(2) ( 1) 81634242001 8、已知a、b 是有理数，且 ab，含 2 3 ab c，
11、2 3 ac x， 2 3 cb y，请将 , , , ,a b c x y按从小到大的顺序排列。 三、 【备用练习题】： 1、计算（ 1） 11111 42870130208 （2） 222 1 33599 101 2、计算： 111111 20072006200520041 232323 3、计算： 1111 ( 1 )( 1 )( 1 )( 1) 2342006 4、如果 2 (1)|2 | 0ab，求代数式 22006 2005 ()() 2() baab abab 的值。 5 、 若a、 b 互 为 相 反 数 ，c、 d 互 为 倒 数 ，m的 绝 对 值 为2 ， 求 2221
12、( 12)abmm cd 的值。 第五讲代数式（一） 一、 【能力训练点】： （1）列代数式；（2）代数式的意义； （3）代数式的求值（整体代入法） 二、 【典型例题解析】 ： 1、用代数式表示： （1）比xy与的和的平方小x的数。 （2）比ab与的积的 2 倍大 5 的数。 （3）甲乙两数平方的和（差） 。 （4）甲数与乙数的差的平方。 （5）甲、乙两数和的平方与甲乙两数平方和的商。 （6）甲、乙两数和的2 倍与甲乙两数积的一半的差。 （7）比a的平方的 2 倍小 1 的数。 （8）任意一个偶数（奇数） （9）能被 5 整除的数。 （10）任意一个三位数。 2、代数式的求值： （1）已知 2
13、 5 ab ab ，求代数式 2(2)3() 2 abab abab 的值。 （2）已知 2 25xy的值是 7，求代数式 2 364xy的值。 （3）已知2ab；5ca ，求 62 4 abc abc 的值(0)c （4）已知 11 3 ba ，求 22 2 abab abab 的值。 （5）已知：当1x时，代数式 3 1Pxqx的值为 2007，求当1x时， 代数式 3 1Pxqx的值。 （6）已知等式(27 )(38 )810AB xABx对一切x都成立，求A、B 的值。 （7）已知 223 (1) (1)xxabxcxdx，求 abcd 的值。 （8）当多项式 2 10mm时，求多项式
14、 32 22006mm的值。 3、找规律： . （1） 22 (12)14(1 1)；（2） 22 (22)24(21) （3） 22 (32)34(31)（4） 22 (42)44(41) 第 N个式子呢？ . 已知 222 22 33 ； 233 33 88 ； 244 44 1515 ；若 2 1010 aa bb （a、b 为正整数），求?ab . 323323332 11 ;123 ;1236 ; 33332 123410 ;猜想： 33333 1234?n 三、 【备用练习题】： 1、若()mn个人完成一项工程需要m天，则n个人完成这项工程需要多少 天？ 2、已知代数式 2 326
15、yy的值为 8，求代数式 23 1 2 yy的值。 3、某同学到集贸市场买苹果，买每千克3 元的苹果用去所带钱数的一半， 而余下的钱都买了每千克2 元的苹果，则该同学所买的苹果的平均价格是每千克 多少元？ 4、已知 1 1 1 1 n n a a (1,2,3n求当 1 1a时， 122320 ?aaaaaa 第六讲代数式（二） 一、 【能力训练点】： （1）同类项的合并法则； （2）代数式的整体代入求值。 二、 【典型例题解析】 ： 1、已知多项式 222 259337yxxyxnxymy经合并后，不含有y 的项， 求 2mn的值。 2、当 2 50(23 )ab达到最大值时，求 22 14
16、9ab的值。 3、已知多项式 32 25aaa与多项式 N的 2 倍之和是 32 4224aaa，求 N ？ 4、若, ,a b c互异，且 xy abbcca ，求xyZ的值。 5、已知 2 10mm，求 32 22005mm的值。 6、已知 22 15,6mmnmnn，求 22 32mmnn的值。 7、已知,a b均为正整数，且1ab，求 11 ab ab 的值。 8、求证 2006120062 11112222 个个 等于两个连续自然数的积。 9、已知1abc，求 111 abc ababcbacc 的值。 10、一堆苹果，若干个人分，每人分4 个，剩下 9 个，若每人分 6 个，最后一
17、个 人分到的少于 3 个，问多少人分苹果？ 三、 【备用练习题】： 1、已知1ab，比较 M 、N的大小。 11 11 M ab ， 11 ab N ab 。 2、已知 2 10xx，求 3 21xx的值。 3、已知 xyz K yzxzxy ，求 K的值。 4、 554433 3 ,4,5abc，比较, ,a b c的大小。 5、已知 2 2350aa，求 432 412910aaa的值。 第七讲发现规律 一、 【问题引入与归纳】 我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“先从少数的事例中摸索出规律来，再从理论 上来证明这一规律的一般性，这是人们认识客观法则的方法之一” 。这种以退为进，寻找规 律
18、的方法，对我们解某些数学问题有重要指导作用，下面举例说明。 能力训练点： 观察、分析、猜想、归纳、抽象、验证的思维能力。 二、 【典型例题解析】 1、 观察算式： (13)2(15)3(17)4(19)5 13,135,1357,13579, 2222 按 规 律 填 空 ： 1+3+5+ +99= ？ ， 1+3+5+7+ +(21)n？ 2、如图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子。观察图形的变化规律， 写出第n 个小房子用了多少块石子？ 3、用黑、白两种颜色的正六边形地面砖 （如图 所示）的规律，拼成若干个图案： （1）第 3 个图 案中有白色地面砖多少块？ （2）第n个图案中有 白色地面
19、砖多少块？ 4、 观察下列一组图形，如图，根据其变化规律，可得第10 个图形中三角形的 个数为多少？第n个图形中三角形的个数为多少？ 5、 观察右图，回答下列问题： （1）图中的点被线段隔开分成四层，则第一层有1 个点，第二层有 3 个点，第三层有多少个点，第四层有多少个点？ （2）如果要你继续画下去，那第五层应该画多少个点，第n 层有多 少个点？ （3）某一层上有 77 个点，这是第几层？ （4）第一层与第二层的和是多少？前三层的和呢？前4 层的和呢？你有没 有发现什么规律？根据你的推测，前12层的和是多少？ 6、读一读：式子“ 1+2+3+4+5+ +100”表示从 1 开始的 100 个
20、连续自然数的 和， 由于上述式子比较长， 书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1+2+3+4+5+ +100”表示为 100 1n n，这里“”是求和符号，例如“ 1+3+5+7+9+ +99” （即从 1 开 始 的100以 内 的 连 续 奇 数 的 和 ） 可 表 示 为 50 1 (21); n n又 如 “ 3333333333 12345678910”可表示为 10 3 1n n，同学们，通过以上 材料的阅读，请解答下列问题： （1）2+4+6+8+10+ +100 （即从 2 开始的 100以内的连续偶数的和） 用求和 符号可表示为； （2）计算： 5 2 1 (1) n n=
21、 （填写最后的计算结果） 。 7、观察下列各式，你会发现什么规律？ 35=15，而 15=4 2-1 5 7=35，而 35=6 2-1 1113=143，而 143=12 2-1 将你猜想的规律用只含一个字母的式子表示出来。 8、 请你从右表归纳出计算1 3+23+33+n3 的分式，并算出 1 3+23+33+1003 的值。 三、 【跟踪训练题】 1 1、有一列数 1234 , n a aaaa其中： 1 a=62+1， 2 a=63+2， 3 a=64+3， 4 a=6 5+4；则第n个数 n a= ，当 n a=2001时，n= 。 2、将正偶数按下表排成5 列 第 1 列 第 2
22、列第 3 列第 4 列第 5 列 第一行2 4 6 8 第二行16 14 12 10 第三行18 20 22 24 28 26 根据上面的规律，则2006应在行列。 3、已知一个数列 2，5，9，14，20，x，35则x的值应为：（） 4、在以下两个数串中： 1，3，5，7，1991，1993，1995，1997，1999和 1，4，7，10，1990， 1993，1996，1999，同时出现在这两个数串中的数的个数共有（）个。A.333 B.334 C.335 D.336 5 、学校阅览室有能坐4 人的方桌，如果 多于 4 人，就把方桌拼成一行，2 张方桌 拼成一行能坐 6 人（如右图所示）
23、 按照这 种规定填写下表的空格： 拼成一行的桌子数1 2 3 n 人数4 6 6、给出下列算式： 4879 3857 2835 1813 22 22 22 22 观察上面的算式，你能发现什么规律，用代数式表示这个规律： 7 、通过计算探索规律： 15 2=225可写成 1001（1+1）+25 25 2=625可写成 1002（2+1）+25 35 2=1225可写成 1003（3+1）+25 45 2=2025可写成 1004（4+1）+25 75 2=5625可写成 归纳、猜想得：（10n+5） 2= 根据猜想计算： 1995 2= 8 、已知121 6 1 321 2222 nnnn，计算： 11 2+122+132+192= ； 9 、从古到今，所有数学家总希望找到一个能表示所有质数的公式，有位学者 提出：当 n 是自然数时，代数式n 2+n+41所表示的是质数。请验证一下，当 n=40 时，n 2+n+41的值是什么？这位学者结论正确吗？