初三圆章节教案.pdf

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1、共页第页1 数学学科辅导讲义 教学内容圆阶段复习 教学目标 1. 理解圆周角的概念及相关性质，并会结合分类、转化等数学思想解决实际问题 2. 理解直线与圆的三种位置关系、会作三角形的内切圆 3. 会运用切线长的性质 教学重点 1. 圆内接四边形及其性质 2. 直线与圆的位置关系的性质与判定 3. 切线的性质 教学难点 1. 圆周角定理及圆周角与直径的关系 2. 切线的判定及切线长定理 教学过程 前课回顾 对称性 圆的基本性质弧弦圆心角之间关系 同弧上的圆周角与圆心角的关系 点和圆的位置关系三角形外接圆 性质 切线 与圆有关的位置关系直线和圆的位置关系判定 三角形外切圆 圆和圆心的位置关系 正多

2、边形和圆等分圆周 弧长 有关圆的计算扇形面积 圆锥的侧面积和全面积 、 知识详解 题型一与圆有关的角的综合 知识概述 一、圆心角： 1、的角叫圆心角 . 2、圆心角定理：在中，相等的圆心角所对的相等，所对的也相等； 3、圆心角定理推论： 在同圆或等圆中，两个、 两条、两条、两条弦的中有一组量相等，其余各组量都相等。 二、圆周角 1、顶点在，两条边的角叫做圆周角 共页第页2 P B O A C D E D O C A B 2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 3、圆周角定理的推论： 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧 推论 2：(或)所对的圆

3、周角等于90 ；90 的圆周角所对的弦是 4、圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角 推论：圆内接四边形的任何一个外角等于它的 圆心角和圆周角之间的换算 例 1、 已知：如图，AB 为 O 的直径，弦CD 交 AB 于 P，且 APD 60 ， COB30 ，求 ABD 的度数 例 2、 如图， ABC 中， ABAC， A80 ，以 AB 为直径的半圆交AC 于 D，交 BC 于 E求AD DE BE 、所 对圆心角的度数 例 3、 如图，圆的弦AB、CD 延长线交于P 点， AD、BC 交于 Q 点， P28 ， AQC92 ，求 ABC 的度数 Q B D O P A C 与圆周角有

4、关的证明 例 4、 如图， ABC 内接于 O，AEBC 于 D，交 O 于 E，AF 为 O 的直径 求证： BAF CAE (2) 求证： AB ACAD AF； (3)若过 O 作 ONAB 于 N，则 ON 与 CE 之间有何数量关系？ D FE O A BC 例 5、 如图， ABC 是 O 的内接三角形，O 的直径 BD 交 AC 于 E， 共页第页3 AFBD 于 F，延长 AF 交 BC 于 G求证： AB 2BG BC 例 6、 已知： O1的圆心 O1在 O2上，且两圆交于A、 B 两点， O1D 为 O2的弦，交 O1于 C，求证： O1C 2O 1E O1D E C B

5、 A O2 O1 D 点评： 在圆中有弧中点时，常用以下三种辅助线 过弧中点作半径；连等弧对的圆心角和圆周角；连等弧对的弦 与圆的内接四边形的有关计算问题 例 8、 如图，已知AB 是半圆 O 的直径， BAC40 ，D 是 AC 上任意一点，那么D 的度数是 _ C B AO D 练习 1 如图， AB 是 O 的直径， BC 是弦， ODBC 于 E，交弧 BC 于 D (1)请写出四个不同类型的正确结论； (2)若 BC8，ED2，求 O 的半径 （3）连CD，设 BDC， ABC，探究与之间的关系式，并给给予 适当的说明。 与圆的内接四边形有关的证明问题 例 9、如图，已知： AB 是

6、 O 的直径，弦CDAB 于 E，G 是AC上任意一点， AG、DC 的延长线交于 F求证： FGC AGD G E C B A O D F 巧妙构造四点共圆解题. G F D O A B C 共页第页4 例 10、在等腰 ABC 中， ACBC， C1000，点 P 在 ABC 的外部，并且PCBC，求 APB 的度数。 思路点拨： 由题中的条件ACBC PC，联想到圆的定义，画出以点C 为圆心， AC 为半径的圆，巧妙地构造出 圆心角 ACB100 0， 圆周角 APB500 问题，使此题得以突破与解决。 练习 已知，如图： AB 为O 的直径， ABAC，BC 交 O 于点 D，AC 交

7、 O 于点 E， BAC45。给出以下五 结论： EBC22.5； 1 2 BD DC； 1 2 AE2EC；劣弧AE是劣弧DE的 2 倍； AE BC。其中正确结论的序 号是。 2、如图，量角器外沿上有A、B 两点，它们的读数分别是70 、40 ，则 1 的度数为. 3、 如图 8, AB 是 O 的直径，点C 在 O 上， BAC30，点 P 在线段 OB 上运动 . 设 ACPx，则 x 的取 值范围是 . 4 如图所示， ABAC，AB 为 O 的直径， AC、 BC 分别交 O 于 E、D，连结 ED、BE （1）试判断DE 与 BD 是否相等，并说明理由； （2）如果 BC 6，A

8、B5，求 BE 的长 5 如图 8，半圆的直径AB10，点 C 在半圆上， BC=6 （1）求弦 AC 的长； （2）若 P 为 AB 的中点， PEAB 交 AC 于点 E，求 PE 的长 6 如图，已知AB 是 O 的直径，点C 是 O 上一点，连结BC，AC，过点 C 作直线 CDAB 于点 D，点 E是 AB 上一点，直线CE 交 O 于点 F，连结 BF，与直线CD 交于点 G求证： 2 BCBG BF E D C B A O 第 1 题图 （第 2 题图） O A O BCD E P B C E A 共页第页5 7 如图， AD 是 O 的直径 (1)如图，垂直于AD 的两条弦B1

9、C1，B2C2把圆周 4 等分，则 B1的度数是， B2的度数 是； (2)如图，垂直于 AD 的三条弦 B1C1，B2C2，B3C3把圆周 6 等分，分别求B1，B2，B3的度数； (3)如图，垂直于AD 的 n 条弦 B1C1，B2C2，B3 C3， BnCn把圆周 2n 等分，请你用含 n 的代数式表示Bn 的度数 (只需直接写出答案) 8 如图，在Rt ABC 中， ACB90， AC5， CB12，AD 是 ABC 的角平分线过A、C、D 三点的圆与 斜边 AB 交于点 E，连接 DE （1）求证： ACAE； （2）求 ACD 外接圆的半径 E D CB A 9 如图，圆 O 的直

10、径为5，在圆 O 上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点 P，已知 BC：CA4：3，点 P 在半圆 弧 AB 上运动（不与A、B 两点重合），过点C 作 CP 的垂线 CD 交 PB 的延长线于D 点 （1）求证： ACCDPCBC； （2）当点 P 运动到 AB 弧中点时，求CD 的长； （3）当点 P 运动到什么位置时，PCD 的面积最大？并求出这个最大面积S。 D A B O C P C B A F G D O E 图3 图2 图1 C1 B3 C2 B2 C3 B1 O O B2C2 C1 B1 O A DD A D AB1 C1 B2 C2 Bn-2 Cn-2 Bn-1 Cn-1

11、Bn Cn B3 C3 共页第页6 直线与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系只有以下三种，如下图所示： 如果一条直线与一个圆没有公共点，那么就说这条直线与这个圆相离 ，如图（ 1）所示 如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆相切 ，如图（ 2）所示此时这条直线叫 做圆的 切线 ，这个公共点叫做切点 如果一条直线与一个圆有两个公共点，那么就说这条直线与这个圆相交 ，如图（ 3）所示此时这条直线叫做 圆的 割线 图 23.2.6 “位置关系”与“数量关系”的互相转化 如上图，设 O 的半径为r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，从图中可以看出： 若dr直线 l 与 O 相

12、离； 若dr直线 l 与 O 相切； 若dr直线 l 与 O 相交； 所以， 若要判断圆与直线的位置关系，必须对 圆心到直线的距离与圆的半径 进行比较大小， 由比较的结果得出 结论。 例1 如图，已知 PA是 BAC的平分线，角的一边AB与 O相切，求证：另一边AC也与 O相切 . C AB O 点评：不知直线是否经过圆上的点，要证为切线，则作垂直，证半径. 练习 如下图，直线 AB、CD相交于点 O， AOC30，半径为 1的 P的圆心在射线OA上，开始时， PO6cm，如果 P以1cm/秒的速度沿由A向B的方向移动，那么当P的运动时间 t（秒）满足什么条件时，P与直线 CD相 离？相切？相

13、交？ 如图，半径为 2的 P的圆心在直线y 2x1上运动 . 当 P和x轴相切时，写出点P的坐标； 当 P和y轴相切时，写出点P的坐标； 共页第页7 P是否能同时与 x轴和 y轴相切？若能，写出点P的坐标？若不能，说明理由. x y O P 切线的判定 切线的判定定理：过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 切线的判定方法： 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）； 和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线（dr）； 经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线（判定定理法）； 应根据题目的特点选择合适的判定方法。 例 1： 如图，直线AB 经过 O 上的点 C，并且 OA OB，CA

14、 CB， 求证：直线AB 是 O 的切线。 点评： 已知直线经过圆上的点，要证为切线，则连半径，证垂直. 仿解：如图， AB 是 O 的直径， ABT 45， ATAB，求证： AT 是 O 的切线。 例 2： 如图，直角梯形ABCD 中， A B90， AD BC，E 为 AB 上一点， DE 平分 ADC ，CE 平分 BCD ， 求证：以 AB 为直径的圆与边CD 相切。 点评：不知直线是否经过圆上的点，要证为切线，则作垂直，证半径. 练习 A B D C E A O B T A O C B 共页第页8 如图，已知AB是O的直径，点C在O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，ACPC，

15、 2COBPCB （1）求证：PC是O的切线；（ 2）求证： 1 2 BCAB； （3）点M是AB的中点，CM 交AB于点N，若4AB，求MN MC的值 如图，在 RtABC 中， C90oBE 平分 ABC 交 AC 于点 E，点 D 在 AB 上， DEEB 于点 E （1）求证： AC 是 DBE 外接圆的切线； （2）若 AD6，AE62，求 BC 的长 已知：如图，中，以为直径的交于点，于点 （1）求证：是的切线； （2）若，求的值 如图所示， AB 是O直径，OD 弦BC于点F，且交O于点E，若AECODB （1）判断直线BD和O的位置关系，并给出证明； （2）当108ABBC，时

16、，求BD的长 切线长定理及三角形内切圆 问题 1：如图纸上有一O，PA 为 O 的一切线，沿着直线PO 将纸对折，设圆上与点A 重合的点为B，这时， OB 是 O 的半径吗？利用图形的轴对称，说明图中的PA 与 PB， APO 与 BPO 有什么关系？ B A D E C A O B P A O P 共页第页9 概念：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 归纳： 切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 问题 2：如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？ 概

17、念：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 ，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角 形的 内心 。 切线的性质及性质判定的综合 如果直线 l 是O 的切线，切点为 A，则半径 OA 与直线 l 是不是一定垂直呢？ 分析：（用反证法） 假设 OA 与 l 不垂直，过点O 作 OM l，垂足为M，根据垂线段最短的 性质，有 OMOA ，这说明圆心O 到直线 l 的距离小于半径OA ，于是直线l 与圆相交，而这与直线l 是 O 的 切线矛盾，因此，半径OA 与直线 l 垂直。 归纳： 切线的性质：圆的切线. 例题 图-（1），ABC内接于O，点P是ABC的内切圆的圆心，AP交边BC于点D，交O于点E，经过 点E作O的切线分别交ABAC，延长线于点FG， （1）求证：BCFG； （2）探究：PE与DE和AE之间的关系； （3）当图 -（1）中的FEAB时，如图 -（2），若3FB，2CG，求AG的长 如图所示，圆O是ABC的外接圆，BAC与ABC的平分线相交于点I，延长AI交圆O于点D，连结 BDDC、 （1）求证：BDDCDI； （2）若圆O的半径为10cm，120BAC，求BDC的面积 A B C B C A A B C G E F P O D 图-（1） A B C G E F P O D 图-（2） O A l 共页第页10 教学反思