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1、1 / 6 1 / 6 二次函数的图象与性质 【教学目标】 1、掌握二次函数的图象与性质并达到熟练应用； 2、熟悉二次函数解析式的各种形式和对应的求解方法； 3、理解二次函数与一元二次方程之间的关系且会应用。 【课型课时】 针对第一轮复习的中考学员，复习课，难度中等，时长20 分钟。 【教学重点】 二次函数的图像与性质，二次函数解析式的确定。 一、二次函数的图象与性质 （一）二次函数的三种表达式 1、一般式： 2 (a,b,ca0)yaxbxc为常数, 2、顶点式： 2 (a,h,ka0)ya xhk为常数,二次函数图像的平移 3、两点式： 1212 (a,a0)ya xxxxxx 为常数，交
2、点与一元二次方 程的关系（不是每个二次函数都可以用两点式表示） 【例题 1】如果函数 2 3 +2 3+1 kk ykxkx 是二次函数，则k 一定是 _。 分析： 2 3 +2 3+1 kk ykxkx 是二次函数，则30k， 2 3 +22kk，可 解得0k。 【练习1】 关于 x 的函数 2 11ymxmxm（）（ ），当0m时，它是 _ 函数；当1m 时，它是 _函数。 【例题 2】把二次函数 2 243yxx化成 2 ya x hk（ ）的形式是 _。 【练习 2】函数 2 241yxx 写成 2 ya x hk（ ）的形式是 _，抛 物线 2 241yxx 的顶点坐标是 _，对称轴
3、是 _。 （二）二次函数的图象与性质 表达式 2 (a0)yaxbxc 2 (a0)ya xhk 图像形状抛物线 开口方向0a，开口向上；0a，开口向下。 顶点坐标 2 4 , 24 bacb aa ,h k 2 / 6 对称轴 2 b x a xh 图象 0a0a 增减性 0a，以对称轴为界，左减右增 0a，以对称轴为界，左增右减 最值 0a，当 2 b xh a 或时， 2 4 = 4 acb yk a 最小值 或 0a，当 2 b xh a 或时， 2 4 = 4 acb yk a 最大值 或 【例题 3】对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交于,0（1），,0（3 ）两点，則它的对称 轴
4、为 _。 分析：对于两点式： 1212 (a,a0)ya xxxxx x 为常数， 对称轴为 12 2 xx x 。所以 1 3 2 2 x 【例题 4】已知二次函数 2 1yxmx，当4x时，函数值y 随 x 的增大而减小， 则 m 的取值范围是_。 分析：先化成顶点式 2 2 1 24 mm yx，因为0a，所以开口向上，函数图 象以对称轴 2 m x为界左减右增，因为当4x时，函数值y 随 x 的增大而减小，所以 4 2 m ，即8m。 【练习 4-1】已知两点 15,yA ， 23,yB 均在抛物线 2 (a0)yaxbxc上， 点 00 ,yC x是该抛物线的顶点，若 120 yyy
5、，则 x0的取值范围是 _。 【练习4-2】设 1 2,yA， 2 1,yB， 0 2,yC是抛物线 2 1ayx上的 三点，则y1、y2、y3的大小关系为_。 （三）二次函数图象与系数a、b、c 的关系 项目 字母 字母符号图象特征 a 0a开口向上 3 / 6 3 / 6 0a开口向下 b 0b 对称轴为y 轴 0ab（a、b 同号）对称轴在y 轴左侧 左同右异 0ab（a、b 异号）对称轴在y 轴右侧 c 0c与 y 轴的负半轴相交 =0c经过原点 0c与 y 轴的正半轴相交 【例题 5】如图，已知二次函数的图象如图所示，下列4 个结论：0abc； bac；420abc； 2 40bac
6、。其中正确的结论有_。 分析：因为抛物线图象开口向上，所以0a；因为抛物线图象 与 y 轴的交点在正半轴，所以0c；因为对称轴2x，0a， 所以2 2 b a ，0b，即4ba；因为顶点在第四象限， 所以 2 4 0 4 acb a ，（ 2 4 422 acbbb ccb aa ），即0cb； 综上，0a，0b，0c，4ba，0cb 所以正确的结论有 注：424440abcabbcaabcbc 【方法指导】判断a、b、c及 2 4bac 确定 a：看开口； 确定 c：y 轴交点； 确定 a、b 关系及 b：看对称轴位置，左同右异定符号； 确定 2 4bac：看 x 轴交点个数，决定 2 4b
7、ac的正负。 【练习 5-1】已知二次函数 2 (a0)yaxbxc的图象如图所示，给出以下结论： 0abc；0abc；20ba；0abc。其中所有正确结论的序 号是 _。 【练习5-2 】 若整数x， y 满足条件 22 260xxy，则 22 5xyx的最大值是 _。 二、二次函数解析式的确定 （一）待定系数法（每年必考压轴题第一问） 1、一般式： 2 (a0)yaxbxc。若已知三个点坐标，则可设所求二次函数为 2 (a0)yaxbxc，将已知三点坐标代入即可求出a、b、c 的值。 4 / 6 2、顶点式： 2 (a0)ya xhk。若已知顶点坐标方程或对称轴与最大（小） 值，即可设所求
8、二次函数为 2 (a0)ya xhk，将已知条件代入，求出待定系数 a，最后将顶点式化为一般式。 3、两点式： 12 (a0)ya xxxx。若已知二次函数图象与x轴的两个交 点 坐 标 12,0,0xx 和 第 三 点 坐 标 或 其 他 条 件 ， 则 可 设 所 求 二 次 函 数 解 析 式 为 1 ya xx 2 (a0)xx，将已知的第三点或其他条件代入，求出待定系数a，最 后将所求解析式化为一般式。 【例题 7】已知抛物线 2 yxbxc经过坐标原点，并与x 轴交于2 0A （ ， ），则抛 物线的表达式是_。 分析：把0 0（ ， ）代入可得出c 的值，0c；再把2 0A （
9、， ）代入 2 yxbx得 b 的值， 2b，即可得出抛物线的表达： 2 2yxx。 【练习 7】抛物线 2 yaxbxc经过点(2, 4)与8（ -2 ，），则 b=_ 。 （二）平移法 该方法仅适用于顶点式： 2 (a0)ya xhk，故使用此方法之前应先将要平 移的解析式化为顶点式。 规律左加右减（x），上加下减（y）。 【例题 8】将二次函数 2 25yx的图象向右平移3 个单位，再向上平移4 个 单位，则得到的函数解析式为_。 分析：向右平移3 个单位，左加右减， 22 223xx， 再向上平移4 个单位，上加下减， 22 252354yxyx 即 2 59yx或 2 1034yxx
10、。 【练习 8】 将二次函数 2 38yx的图象向左平移7个单位，再向下平移3 个 单位，则得到的函数解析式为_。 三、二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程 2 0axbxc 的根就是二次函数 2 (a0)yaxbxc与 x 轴交 点的横坐标。 1 、 二 次 函 数 2 (a0)yaxbxc与x 轴 有 两 个 不 同 交 点方 程 2 0axbxc有两个不等实根 2 40bac； 2、二次函数 2 (a0)yaxbxc与 x 轴有一个交点方程 2 0axbxc有 两个相等的实根 2 40bac； 3、二次函数 2 (a0)yaxbxc与 x 轴无交点方程 2 0axbxc无实数 根
11、2 40bac。 5 / 6 5 / 6 【例题 9】 若二次函数 2 21ykxx的图象与x 轴只有一个交点，则常数k 的取 值范围为 _。 分 析 ： 因 为 二 次 函 数 2 21ykxx的 图 象 与 x 轴 只 有 一 个 交 点 ， 则 方 程 2 210kxx有两个相等的实数根，即 2 240k，所以1k。 【练习9-1】若函数 2 21ykxx的图象与x 轴只有一个交点，则常数k 的取值 范围为 _。 【练习9-2】若函数 2 21ykxx的图象与x 轴没有交点，则常数k 的取值范围 为_。 家庭作业 1、已知反比例函数 k y x 的图象如图所示，则二次函数 22 2ykx
12、xk的图象大 致为（） A B C D 2、二次函数 2 yaxbxc的图象如图所示，则这几个式子中abc， 2 4bac， abc，bca， 2 b a ，值为正数的有（） A 4 个B 3 个C 2 个D 1 个 3、当 21x 时，二次函数 22 1yxmm（）有最大值4，则实数m 的值为 _。 4、已知抛物线的顶点坐标是21（ ， ），且抛物线的图象3 0（ ， ）点，则这条抛物线的解析 式是 _。 5、若将抛物线 2 yx向右平移 2 个单位，再向上平移3 个单位，则所得抛物线的 表达式为 _。 6、二次函数 2 0yaxbxc abca（ ， ， 为常数，且）中的 x 与 y 的部分对应值 如下表： X 1 013 6 / 6 y1353 下列结论： （1）0ac； （2）当1x时， y 的值随 x 值的增大而减小； （3）3 是方程 2 10axbxc（ ） 的一个根； （4）当13x 时， 2 10axbxc（ ）。 正确的有 _。 7、若函数 2 812ykxx的图象与x 轴有一个交点，则常数k 的取值范围为 _。