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1、- 最短路径最小值问题专题训练 “将军饮马” 这个问题早在古罗马时代就有了，传说古希腊亚历山大里亚城有一位久负盛 名的学者，名叫海伦。有一天，有位罗马将军前来向他求教一个百思不得其解的问题：如 图，将军从A地出发到河边饮马，然后再到B地军营视察，显然有很多走法。问走什么样 的路线最短呢？精通数理的海伦稍加思考，便作了完善的回答。这个问题后来被人们称作 “将军饮马”问题广为流传。 事实上，不仅将军有这样的烦恼，运动着的车、船、飞机，包括人们每天走路都要 遇到这样的问题。古今中外的任何旅行者总希望寻求最佳的旅行路线，尽量走近道，少走 冤 枉路。我们把这类求近道的问题统称“最短路线问题”。另外，从某
2、种意义上说，一笔 画问题也属于这类问题。看来最短路线问题在生产、科研和日常生活中确实重要且应用广 泛。这个问题在我们中考中也是常考的热点问题，因此，我们要掌握其分析解决的方法。 下面我就几个例题来具体分析解决。 河流 【典例探究】 （?梧州）如图，抛物线y=ax 2+bx4（a 0）与 x 轴交于 A（4，0） 、B（ 1， 0）两点， 过点 A的直线 y=x+4 交抛物线于点C （1）求此抛物线的解析式； （2）在直线AC上有一动点E，当点 E在某个位置时，使BDE的周长最小，求此时E点 坐标； （3）当动点 E在直线 AC与抛物线围成的封闭线ACBDA上运动时，是否存在使 BDE为直角三角
3、形的情况，若存在，请直接写出符合要求的E点的坐标；若不存在，请说 明理由 优网版权所有 【分析】（ 1）利用待定系数法求出抛物线解析式； （2）先判断出周长最小时BE AC ，即作点B关于直线AC的对称点F，连接 DF，交 AC于 点 E，联立方程组即可； （3）三角形BDE是直角三角形时，由于BD BG ，因此只有 DBE=90 或 BDE=90 ，两 种情况，利用直线垂直求出点E坐标 【解答】 解： （ 1）抛物线y=ax 2+bx4（a0）与 x 轴交于 A （4，0） 、B （ 1，0）两点， ， ， 抛物线解析式为y=x 23x4， （2）如图 1， 作点 B关于直线AC的对称点F，连接 DF交 AC于点 E， 由（ 1）得，抛物线解析式为y=x 23x4， D（0， 4） ， 点 C是直线 y=x+4与抛物线的交点， 联立解得，（舍）或， C（ 2，6） ， A（4，0） ， 直线 AC解析式为y=x+4， 直线 BF AC，且 B（ 1，0） ， 直线 BF解析式为y=x+1， 设点 F（m ，m+1 ） ， G（，） ， 点 G在直线 AC上，