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1、1 / 54 初中数学 最值问题 专题分类讲解全书 平面几何中的最值问题 几何的定值与最值 最短路线问题 对称问题 巧作 对称点 妙解最值题 数学最值题的常用解法 求最值问题 有理数的一题多解 2 / 54 平面几何中的最值问题 在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在 一起，统称最值问题如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来，可以达到最经济、 最节约和最高效率下面介绍几个简例 在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、 图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。 最值问题的解决方法通常有两种： （1） 应用几
2、何性质： 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 两点间线段最短； 连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短； 定圆中的所有弦中，直径最长。 运用代数证法： 运用配方法求二次三项式的最值； 运用一元二次方程根的判别式。 例 1、A、B 两点在直线 l 的同侧，在直线L 上取一点 P，使 PA+PB 最小。 分析：在直线 L 上任取一点 P ，连结 A P ，BP ， 在 ABP 中 AP +BP AB，如果 AP +BP AB,则 P 必在线段 AB 上，而线段 AB 与 直线 L 无交点，所以这种思路错误。 取点 A 关于直线 L 的对称点 A ，则 AP AP
3、， 3 / 54 在 A BP中 A P+B PA B, 当 P 移到 A B 与直线 L 的交点处 P 点时 A P+B P AB，所以这时 PA+PB 最小。 1 已知 AB 是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDC 是内接半圆的梯形，试 问怎样剪这个梯形，才能使梯形ABDC 的周长最大 (图 391)？ 分析 本例是求半圆 AB 的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为R由于 ABCD， 必有 AC=BD若设 CD=2y，AC=x，那么只须求梯形 ABDC 的半周长 u=x+y+R 的最大值 即可 解 作 DEAB 于 E，则x 2=BD2=AB BE2R (R-y)2R2-2Ry，
4、所以 所以求 u 的最大值，只须求 -x2+2Rx+2R2最大值即可 -x 2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)23R2， 上式只有当 x=R 时取等号，这时有 所以2y=R=x 所以把半圆三等分，便可得到梯形两个顶点C，D， 这时，梯形的底角恰为60 和 120 2 .如图 392是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为8 米(m)，怎样才能得出 最大面积，使得窗户透光最好？ 4 / 54 分析与解设 x 表示半圆半径， y 表示矩形边长 AD，则必有2x+2y+ x=8 ， 若窗户的最大面积为S，则 把代入有 即当窗户周长一定时，窗户下部矩形宽恰为半径时，窗户面积最大 3. 已知 P
5、 点是半圆上一个动点，试问P 在什么位置时， PA+PB最大(图 393)？ 分析与解因为 P 点是半圆上的动点， 当 P 近于 A 或 B 时，显然 PA+PB 渐小，在极限 状况(P 与 A 重合时 )等于 AB因此，猜想 P 在半圆弧中点时， PA+PB 取最大值 设 P 为半圆弧中点，连PB，PA，延长 AP 到 C，使 PC=PA，连 CB，则 CB 是切线 5 / 54 为了证 PA+PB最大，我们在半圆弧上另取一点P ，连 PA，PB ，延长 AP 到 C ， 使 PC =BP ，连 C B，CC ，则PC B=PBC= PCB=45 ， 所以 A，B，C ，C 四点共圆，所以
6、CC A= CBA=90 ， 所以在 ACC 中，ACAC ，即 PA+PBPA+P B 4 如图 394，在直角 ABC 中，AD 是斜边上的高， M，N 分别是 ABD， ACD 的内心， 直线 MN 交 AB，AC 于 K，L求证： SABC2SAKL 证 连结 AM ，BM，DM ，AN，DN，CN 因为在 ABC 中，A=90 ，ADBC 于 D， 所以 ABD=DAC，ADB=ADC=90 因为 M，N 分别是 ABD 和 ACD 的内心，所以 1=2=45 ，3=4， 所以 ADNBDM， 又因为 MDN=90 =ADB，所以 MDN BDA， 所以BAD=MND 由于 BAD=LCD，所以MND= LCD ， 所以 D，C，L，N 四点共圆，所以ALK= NDC=45 同理， AKL= 1=45 ，所以 AK=AL 因为 AKM ADM ， 所以AK=AD=AL 而 而