初中数学知识点总结(北师大).pdf

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1、初中数学知识点总结 ( 北师大 ) 第2页 第一章实数 考点一、实数的概念及分类（3 分） 1、实数的分类 正有理数 有理数零有限小数和无 限循环小数 实数负有理数 正无理数 无理数无限不循环小 数 负无理数 2、无理数 在理解无理数时， 要抓住“无限不循环” 这一时之， 归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如 3 2,7 等； （2）有特定意义的数，如圆周率 ，或化简后含有 的数，如 3 +8 等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001 等； （4）某些三角函数，如sin60 o 等 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值（3 分） 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号

2、不同的两个 第3页 数叫做互为相反数， 零的相反数是零），从数轴上看， 互 为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与 b 互为相反数，则有a+b=0，a=b，反之亦成立。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距 离，|a| 0。零的绝对值时它本身， 也可看成它的相反数， 若|a|=a，则 a 0；若|a|=-a，则 a 0。正数大于零，负数 小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反 而小。 3、倒数 如果 a 与 b 互为倒数， 则有 ab=1，反之亦成立。 倒 数等于本身的数是1 和-1。零没有倒数。 考点三、平方根、算数平方根和立方根（310 分） 1、平

3、方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a 的 平方根（或二次方跟） 。 一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方 根是零；负数没有平方根。 正数 a 的平方根记做“ a” 。 2、算术平方根 正数 a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作 “ a” 。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方 第4页 根是零。 a （ a 0） 0a aa 2 ；注意 a的双重非负性： - a（a0 b0 y 0 x 图 像 经 过 一 、 二、三象限， y 随 x 的增大而增大。 b0 y 0 x 图 像 经 过 一 、 二、四象限， y 随 x 的增大而减小 b0 时，图像经过第一、三象

4、限， y 随 x 的增 大而增大； （2）当 k0 时， y 随 x 的增大而增大 （2）当 k0 k0 时， 函数图像的 两个分支分别 在第一、三象限。在每 个象限内， y 随 x 的增大而减小。 x 的取值范围是 x 0， y 的取值范围是 y 0； 当 k0 a a b 2 时，y 随 x 的增大而 增大， 简记左减右增； （4）抛物线有最低点， 当 x= a b 2 时， y 有最小值， （1）抛物线开口向下， 并向下无限延伸； （2）对称轴是 x= a b 2 ， 顶 点 坐 标 是 （ a b 2 ， a bac 4 4 2 ） ； （3）在对称轴的左侧， 即当 x a b 2 时

5、， y 随 x 的增 大而减小，简记左增 右减； （4）抛物线有最高点， 当 x= a b 2 时，y 有最 第39页 a bac y 4 4 2 最小值大值， a bac y 4 4 2 最大值 2、二次函数 )0,( 2 acbacbxaxy是常数， 中， cb、a 的含义： a表示开口方向：a0 时，抛物线开口向上 a0 时，图像与 x 轴有两个交点； 当 =0 时，图像与 x 轴有一个交点； 当 r点 P 在O 外。 考点八、过三点的圆（3 分） 1、过三点的圆 不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2、三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 3、三角形的外心 三角

6、形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分 线的交点，它叫做这个三角形的外心。 4、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件） 圆内接四边形对角互补。 考点九、反证法（3 分） 先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引 出矛盾，判定所做的假设不正确， 从而得到原命题成立， 这种证明方法叫做反证法。 考点十、直线与圆的位置关系（35 分） 直线和圆有三种位置关系，具体如下： （1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和 圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点； （2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和 圆相切，这时直线叫做圆的切线， （3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆

7、相离。 第76页 如果 O的半径为 r ，圆心 O到直线 l 的距离为 d, 那 么： 直线 l 与O相交dr； 考点十一、切线的判定和性质（38 分） 1、切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的 切线。 2、切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径。 考点十二、切线长定理（3 分） 1、切线长 在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线 段的长叫做这点到圆的切线长。 2、切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆 心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 考点十三、三角形的内切圆（38 分） 1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内

8、切圆。 2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线 第77页 的交点，它叫做三角形的内心。 考点十四、圆和圆的位置关系（3 分） 1、圆和圆的位置关系 如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相 离分为外离和内含两种。 如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相 切，相切分为外切和内切两种。 如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。 2、圆心距 两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。 3、圆和圆位置关系的性质与判定 设两圆的半径分别为R 和 r，圆心距为 d，那么 两圆外离dR+r 两圆外切d=R+r 两圆相交R-rr） 两圆内含dr） 4、两圆相切、相交的重要性质

9、如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴 对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连 心线垂直平分两圆的公共弦。 考点十五、正多边形和圆（3 分） 1、正多边形的定义 第78页 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 2、正多边形和圆的关系 只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆 的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。 考点十六、与正多边形有关的概念（3 分） 1、正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 2、正多边形的半径 正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 3、正多边形的边心距 正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正

10、 多边形的边心距。 4、中心角 正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个 正多边形的中心角。 考点十七、正多边形的对称性（3 分） 1、正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形。 一个正 n 边形共有 n 条对 称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心。 2、正多边形的中心对称性 边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中 心是正多边形的中心。 3、正多边形的画法 第79页 先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。 考点十八、弧长和扇形面积（38 分） 1、弧长公式 n的圆心角所对的弧长l 的计算公式为 180 rn l 2、扇形面积公式 lRR n S 2 1 360 2 扇 其中 n

11、 是扇形的圆心角度数， R 是扇形的半径， l 是 扇形的弧长。 3、圆锥的侧面积 rlrlS?2 2 1 其中 l 是圆锥的母线长， r 是圆锥的地面半径。 补充： （此处为大纲要求外的知识，但对开发学生智力， 改善学生数学思维模式有很大帮助） 1、相交弦定理 O 中，弦 AB 与弦 CD 相交与点 E， 则 AE ?BE=CE?DE 第80页 2、弦切角定理 弦切角：圆的切线与经过切点的弦所 夹的角，叫做弦切角。 弦切角定理：弦切角等于弦与切线夹 的弧所对的圆周角。 即： BAC= ADC 3、切割线定理 PA为O切线， PBC 为O 割线， 则 PCPBPA? 2 第81页 第十三章图形

12、的变换 考点一、平移（35 分） 1、定义 把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图 形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这 种移动叫做平移变换，简称平移。 2、性质 （1）平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每 个点都沿同一方向进行了移动 （2）连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上） 且相等。 考点二、轴对称（35分） 1、定义 把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个 图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称， 该直线叫做对称轴。 2、性质 （1）关于某条直线对称的两个图形是全等形。 （2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是 第82页 对应点连线的

13、垂直平分线。 （3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线 段或延长线相交，那么交点在对称轴上。 3、判定 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分， 那么这两个图形关于这条直线对称。 4、轴对称图形 把一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分 能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直 线就是它的对称轴。 考点三、旋转（38 分） 1、定义 把一个图形绕某一点O 转动一个角度的图形变换叫 做旋转，其中 O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 2、性质 （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 考点四、中心对称（3 分） 1、定义 把

14、一个图形绕着某一个点旋转180，如果旋转后的 图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中 心对称图形，这个点就是它的对称中心。 2、性质 第83页 （1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过 对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或 在同一直线上）且相等。 3、判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这 一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 4、中心对称图形 把一个图形绕某一个点旋转180，如果旋转后的图 形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心 对称图形，这个店就是它的对称中心。 考

15、点五、坐标系中对称点的特征（3 分） 1、关于原点对称的点的特征 两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即 点 P（x，y）关于原点的对称点为P （-x，-y） 2、关于 x 轴对称的点的特征 两个点关于x 轴对称时，它们的坐标中，x 相等， y 的符号相反， 即点 P （x，y）关于 x 轴的对称点为 P（x， -y） 3、关于 y 轴对称的点的特征 两个点关于y 轴对称时，它们的坐标中，y 相等， x 的符号相反，即点 P （x， y） 关于 y 轴的对称点为 P（-x， 第84页 y） 第85页 第十四章图形的相似 考点一、比例线段（3 分） 1、比例线段的相关概念 如果选用同一长

16、度单位量得两条线段a，b 的长 度分别为 m，n，那么就说这两条线段的比是，或 n m b a 第86页 写成 a：b=m：n 在两条线段的比a：b 中，a 叫做比的前项， b 叫做比 的后项。 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条 线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例 线段 若四条 a，b，c，d 满足或 a：b=c：d，那么 a， b，c，d 叫做组成比例的项，线段a，d 叫做比例外 项，线段 b，c 叫做比例内项，线段的d 叫做 a，b，c 的第四比例项。 如果作为比例内项的是两条相同的线段，即 c b b a 或 a： b=b：c，那么线段 b 叫做线段 a，c

17、的比例中项。 2、比例的性质 （1）基本性质 a：b=c：dad=bc a：b=b：c acb 2 （2）更比性质（交换比例的内项或外项） d b c a （交换内项） d c b a a c b d （交换外项） a b c d （同时交换内项和外项） （3）反比性质（交换比的前项、后项） ： d c b a 第87页 c d a b d c b a （4）合比性质： d dc b ba d c b a （5）等比性质： b a nfdb meca nfdb n m f e d c b a )0( 3、黄金分割 把线段 AB 分成两条线段 AC，BC（ACBC ） ，并且 使 AC 是 AB

18、 和 BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金 分 割 ， 点C 叫 做 线 段 AB的 黄 金 分 割 点 ， 其 中 AC= 2 15 AB 0.618AB 考点二、平行线分线段成比例定理（35 分） 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 推论： （1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边 的延长线），所得的对应线段成比例。 逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延 长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三 角形的第三边。 （2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截 得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。 考点三、相似三角形（38 分） 1、相似三角形的概

19、念 第88页 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角 形。相似用符号“”来表示，读作“相似于” 。相似三 角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。 2、相似三角形的基本定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长 线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 用数学语言表述如下： DEBC， ADE ABC 相似三角形的等价关系： （1） 反身性：对于任一 ABC ， 都有 ABC ABC ； （2）对称性：若 ABC A B C ，则 A B C ABC （3）传递性：若 ABC A B C ，并且 A B C ABC，则 ABC ABC。 3、三角形相似的判定 （1）三角形相似的

20、判定方法 定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形 相似 第89页 平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或 两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三 角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简 述为两角对应相等，两三角形相似。 判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三 角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三 角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三 角形相似。 判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三 角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可 简述为三边对应成比例，两三角形相似 （2）直角三

21、角形相似的判定方法 以上各种判定方法均适用 定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与 另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那 么这两个直角三角形相似 垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角 三角形与原三角形相似。 4、相似三角形的性质 （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例 （2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应 角平分线的比都等于相似比 第90页 （3）相似三角形周长的比等于相似比 （4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。 5、相似多边形 （1）如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对 应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似 多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数） （2）相似多边形的性质 相似多边形的对应角相等，对应边成比例 相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似 比 相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似 多边形的相似比 相似多边形面积的比等于相似比的平方 6、位似图形 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在 直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图 形，这个点叫做位似中心，此时的相似比叫做位似比。 性质：每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们 到位似中心的距离之比都等于位似比。 由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。 利用位似变换可以把一个图形放大或缩小。