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1、初中数学竞赛专题分类解析：特殊三角形 一、基础知识： 1）等腰三角形：对称性；底边上的高、中线和角平分线三线合一。 2）正三角形：旋转中的不变性，60 度和 120 度；重心、外心、内心、垂 心四心合一；内部任何一点到三边的距离和为定值； 3）直角三角形：勾股定理；代数化与数形结合；射影定理；斜边中线；共 圆； 4）特殊的直角三角形：等腰直角三角形 对称性，旋转不变性；含 30 度角的直角三角形 30 度角所对直角边是斜边的一半，包含一个等边三角形 和一个顶角为 120 度的等腰三角形。 二、例题分析 例 1、如下左图，在四边形ABCD 中，B=135 度，C=120 度，AB=2， BC=4
2、-2，CD=4，求 AD 的长度。 例 2、如上右图，四边形ABCD，对角线 AC、BD 交于点 E，I 是 BEC 的内心， BDAC，且 BD=AC=BC，M 是 BC 的中点，求证： IMAD，AD=2IM. 例 3、如下左图 ABC 中，AB=AC，在 AB 边上有两点 P 和 Q，在 AC 边上有两 点 R 和 S，且 PQ=RS，M 和 N 分别是 PR 和 QS 的中点，求证： MNBC。 例 4、如上右图，等腰 ABC 中，AB=AC，BE=CD，BD=CF，作C 的平分线交 DF 于点 G，DG=3，BC=16，若 BED=2 DFC，求 BE 的长。 例 5、如下左图，等边
3、 ABC 的边长为 4，D 是 AC 边上的动点，连接BD，以 BD 为斜边向上作等腰直角三角形BDE，连接 AE，求 AE 长的最小值。 例 6、如上右图， ABC 中，BAC=60 度，ATC=B TC= CT A=120 度，M 是 BC 的中点，求证： 2AM=TA+TB+TC。 例 7、如下图， ABC 中，AB=AC，ADBC 于点 D， DFAB 于点 F，AE CF 于点 E 且交 DF 于点 M，求证， M 是 DF 的中点。 三、练习题 1、如下左图，在 ABC 中，AD 和 BE 是中线，且C AD= CBE=30 度，求证： ABC 是正三角形。 2、如上右图，在 AB
4、C 中，AB AC ，AD 是角平分线， E、F 分别在 AB、AC 上， 且 BE=CF，连接 EF，分别取 EF、BC 的中点 M、N，连接 MN，求证： MN?AD 3、如下左图，在 ABC 中，BAC=90 度，AB=AC=2 ，线段 BC 上一动点 P 从 C 点开始运动，到B 点停止，以 AP 为边在 AC 的右侧作等边 APQ，求点 Q 的 运动轨迹的长度。 4、如上右图，在等边 ABC 中，点 D 为 BC 的中点， CE、BF 分别为ACB 和 ABC 的角平分线，EDF=90 度，求证：EDF=150 度。 5、如下左图，在 ABC 中，BAC=60 度，D 是 AC 上的一点， CD=AB，连接 BD，E 是 BD 的中点，连接 AE，求证： BC=2AE。 6、如上右图， PQ 分别是凸四边形 ABCD 的边 BC 和 AD ， BPDQBD PCQAAC 直线 PQ 与对角线 AC、BD 分别交于点 M 、N，求证： CMP= DNQ 。