北师大版八年级数学下期末专题复习.pdf

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1、1 / 31 C E A D B 八年级（下）期末复习资料 一、三角形 考点一、特殊三角形 1、已知，等腰三角形的一条边长等于 6，另一条边长等于 3，则此等腰三角形的周长是（ ） A 9 B12C 15 D12或 15 2. 等腰三角形的底角为15 ,腰上的高为16,那么腰长为 _ 3、等腰三角形的一个角是80 度，则它的另两个角是_ 4、等腰三角形的顶角为120 ，腰长为4，则底边长为 _ 考点二、三角形的特殊线段 一、垂直平分线 1、 如图 1， 在ABC 中， 已知 AC=27 ， AB 的垂直平分线交AB 于点 D， 交 AC 于点 E， BCE 的周长等于50，求 BC 的长 .

2、2、如图： ABC 中， AB=AC, BAC=1200,EF 垂直平分AB, EF=2,求 AB 与 BC 的长。 二、角平分线 1、如图， 在ABC 中，C=90 ， A 的平分线交BC 于 E，DEAB 于 D，BC=8 ，AC=6 ， AB=10 ，则 BDE 的周长为 _。 B C A E D 图 1 E B F C A 2 / 31 2、如右下图，在ABC 中， ACB=90,BE 平分 ABC ，DEAB 于 D，如果 AC=3 cm ， 那么 AE+DE 等于。 A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm 3.如右图，已知BEAC 于 E，CFAB 于 F，BE、C

3、F 相交于点D，若 BD=CD. 求证： AD 平分 BAC. 考点三、三角形全等 1、.如下图，已知ABC= ADC=90 ，E 是 AC 上一点， AB=AD ，求证： EB=ED. 2、如右图，已知ABC 和 BDE 都是等边三角形，求证：AE=CD. 拓展与提高 1如图 24，在ABC中， AB=AC ， AB 的垂直平分线交AB 于点 N，交 BC 的延长线于点 M，若 0 40A. （1）求NMB的度数； （2）如果将（ 1）中A的度数改为 0 70，其余条件不变，再求NMB的度数； （3）你发现有什么样的规律性，试证明之； （4）若将（ 1）中的A改为钝角，你对这个规律性的认识是

4、否需要加以修改？ 图 24 3 / 31 2.如图，在 ABC 中， AB=AC 、D 是 AB 上一点， E 是 AC 延长线上一点，且CE=BD ，连 结 DE 交 BC 于 F。 （1）猜想 DF 与 EF 的大小关系； （2）请证明你的猜想。 3.如图， ABC 和 DEF 是两个全等的等腰直角三角形，BAC= EDF=90 ，DEF 的顶 点 E 与ABC 的斜边 BC 的中点重合将DEF 绕点 E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线 段 AB 相交于点 P，线段 EF 与射线 CA 相交于点Q （ 1）如图，当点Q 在线段 AC 上，且 AP=AQ 时，求证： BPE CQE； 考点

5、四、直角三角形 1.如图， ABC 中， C=90 ，AC=2 ，BC=1，顶点A、 C 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上滑 动，求点 B 到原点的最大距离。 4 / 31 2.（1）在 ABC 中， AB AC ，AB 的垂直平分线交AB 于 N，交 BC 的延长线于M， A 0 40，求 NMB 的大小 （2）如果将（ 1）中 A 的度数改为 0 70，其余条件不变，再求NMB 的大小 （3）你发现有什么样的规律性？试证明之. （4）将（ 1）中的 A 改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改 3.在ABC 中， AB 的中垂线DE 交 AC 于 F，垂足为D，若 AC=6 ，B

6、C=4，求 BCF 的周 长。 E C F A D B 二、不等式（组） 考点一、不等式的基本性质 例 1、若ba，则下列不等式中不成立的是（） A.55baB.ba55C.0baD.ba55 练习： 1、如果 ab，那么下列不等式中不成立的是（） A、a-3b-3 B、-3a-3b C、 33 ba D、ba 2、已知不等式（a+1）x 2 的解集是x1，则 a 的值为 A B C N M A B C N M A B C N M 5 / 31 考点二、不等式（组）的解集 例 1、把不等式组 1 1 x x 的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ） ABCD 例 2、不等式组 0 01 x

7、x 的解集为（） A. 1x B. 0x C. 01x D. 1x 练习： 1、关于x的不等式12ax的解集如图所示，则a的取值是（） A.0 B.-3 C.-2 D.-1 2、不等式2-x0 的解集在数轴上表示正确的是（） A、B. C.D. 3.直线 1 l：bxky 1 与直线 2 l：xky 2 在同一平面直角坐标系中的图象 如图所示，则关于x 的不等式bxkxk 12 的解集为（） A、1xB、1xC、2xD、2x 考点三、含有参数的不等式 例 1、若关于x 的不等式03mx的解集是x2，则关于x 的不等式03mx的解 集是。 练习： 1、关于x的一元一次不等式组 23 2 bx b

8、x 有解，则直线bxy不经过第 _象限 2、已知不等式03ax的整实数解恰巧是1、2、3，则 a 的取值范围是（） 3、如果关于x 的方程1 39 2 2 x x x m 的解也是不等式组 1 3 21 10)1(3 x x xx 的一个解，求 m 的取值范围是。 4、若 | ()xxym450 2 ，求当 y0时， m 的取值范围 。 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 6 / 31 5、若不等式组 0 122 xa xx 有解，则 a的取值范围是。 考点四、解不等式 1、把不等式组 23 2 1 1 2 3 x xx 的解集在数轴上表示出来，并求出不等式组的整数解。 2、解不等

9、式组 3 2 2 8 1 3 7 x x x ，并把解集在数轴上表示出来； 3、解不等式组 1 3 21 4)2(3 x x xx ，并写出不等式组的非负数解。 7 / 31 考点五、不等式应用 例 1、某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用3.2 万元购进了一批这种运动服， 上市后很快脱销，商场又用6.8 万元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的 2 倍，但每套进价多了10 元 （1）该商场两次共购进这种运动服多少套？ （2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于35%，那么每套售 价至少是 多少元？（利润率100% 利润 成本 ） 练习： 1、某企业在

10、生产甲、乙两种节能产品时需用A、B 两种原料，生产每吨节能产品所需原料 的数量如下表所示： A原料（吨）B 原料（吨） 甲种产品3 3 乙种产品1 5 本次销售甲、乙两种产品的利润m（万元）与销售量n（吨）之间的函数关系如图所示已 知该企业生产了甲种产品x 吨和乙种产品y 吨，共用去A 原料 200 吨 （1）写出 x 与 y 满足的关系式； （2）为保证生产的这批甲种、乙种产品售后的总利润不少于220 万元，那么至少要用B 原 料多少吨？ 8 / 31 2、某电器城经销A 型号彩电，今年四月份毎台彩电售价为2000 元与去年同期相比，结 果卖出彩电的数量相同的，但去年销售额为5 万元，今年销

11、售额为4 万元 （1）问去年四月份每台A 型号彩电售价是多少元？ （2）为了改善经营，电器城决定再经销B 型号彩电，已知A 型号彩电每台进货价为1800 元，B 型号彩电每台进货价为1500 元，电器城预计用不多于3.3 万元且不少于3.2 万元的资 金购进这两种彩电共20 台，问有哪几种进货方案？ （3） 电器城准备把A 型号彩电继续以原价每台2000 元的价格出售， B 型号彩电以每台1800 元的价格出售， 在这批彩电全部卖出的前提下，如何进货才能使电器城获利最大？最大利润 是多少？ 3、某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降。今 年三月份的电脑售价比去年同期每台降

12、低1000元，如果卖出相同数量的电脑， 去年销售额为 10万元，今年售价 8万元 （1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？ （2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为 3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于 4.8万元的资 金购进这两种电脑共15台，共有哪几种进货方案？ （3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为了打开乙种电脑的销路，公司决定每售出 一台乙种电脑，返还顾客现金a元，要使（ 2）中所有方案获利相同，a 值应是多少？ 此时，哪种方案对公司更有利？ 9 / 31 三、因式分解 考点一、提公因式法.：ma+mb+mc=m

13、(a+b+c) 例(1)多项式 32223 15520m nm nm n 的公因式是 ( ) A、 5mn B、 22 5m n C、 2 5m n D、 2 5mn (2) 23 2xyyx；(3) 23nnn aaa； 考点二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公 式，例如： (1) (a+b)(a-b) = a 2-b2 a 2-b2=(a+b)(a-b) ； (2) (a b) 2 = a2 2ab+b2 a 2 2ab+b2=(a b)2； (3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3 a3+b3=(a+b)(a 2-

14、ab+b2)； (4) (a-b)(a2+ab+b2) = a 3-b3 a 3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 下面再补充两个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a 2+b2+c2-ab-bc-ca)； 1.已知abc， ，是ABC的三边， 且 222 abcabbcca，则ABC的形状是 （） A.直角三角形B 等腰三角形C 等边三角形D 等腰直角三角形 2、分解因式 （1） 1 4 a2b2 1 (2) 1 4 xy30.09xy； （3） (x2) 216(x1)2 (4) 2222

15、 4)1(4) 1(aaaa(5) 222 ) 1(4aa(6) 22222 4)(baba 10 / 31 3 在实数范围内分解因式 （1）x22；（ 2）5x23 （3） 44 4ab 4 求证：当n 为自然数时， 22 57nn能被 24 整除 5已知： a，b，c 是三角形的三边，且满足 2222 3cbacba求证：这个三 角形是等边三角形。 6 计算： 2222 1111 1111 23910 L 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 1、分解因式： (1)bnbmanam(2)bxbyayax5102 (3)bcacaba 2 (4)1yxxy 11 / 31 （二）分组

16、后能直接运用公式 2、分解因式： (1)ayaxyx 22 (2) 222 2cbaba (3) yyxx39 22 （4） yzzyx2 222 四、十字相乘法. （一）二次项系数为1 的二次三项式 直接利用公式 )()( 2 qxpxpqxqpx进行分解。 特点： （1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积； （3）一次项系数是常数项的两因数的和。 1 分解因式： (1)65 2 xx(2)152 2 yy （二）二次项系数不为1 的二次三项式cbxax 2 条件： （1） 21a aa 1 a 1 c （2） 21c cc 2 a 2 c （3） 1221 cacab 1221

17、cacab 分解结果：cbxax 2 =)( 2211 cxacxa 2 分解因式： (1)10113 2 xx（2）273 2 xx（3）31710 2 xx （三）二次项系数为1 的齐次多项式 3 分解因式 (1) 22 1288baba(2) 22 86nmnm(3) 22 6baba （四）二次项系数不为1 的齐次多项式 12 / 31 (1) 22 672yxyx(2)23 22 xyyx（ 3）abcxcbaabcx)( 2222 五、换元法 分解因式（ 1） 2 )6)(3)(2)(1(xxxxx （2）90-)384)(23( 22 xxxx（3） 222222 )3(4)5(

18、)1(aaa 六、添项、拆项、配方法 分解因式（ 1）326 23 xx（2）67 3 xx（3）12 24 xx 七、待定系数法 1、分解因式6136 22 yxyxyx 2、 （ 1）当m为何值时，多项式65 22 ymxyx能分解因式，并分解此多项式。 （ 2）如果8 23 bxaxx有两个因式为1x和2x，求ba的值。 13 / 31 中考链接： 1、（ 2014?毕节地区）下列因式分解正确的是（） A 2x22=2（x+1）（ x1）B x2+2x 1=（x 1） 2 C x2+1=（x+1） 2 D x2x+2=x（x1） +2 2、（ 2014 台湾，第17 题 3 分） (3x

19、2)(x63x 5)(3x2)(2x6x5)(x1)(3x64x5) 与下列哪一个式子相同？( ) A(3x64x5)(2x1) B(3x64x5)(2x 3) C (3x64x5)(2x1) D (3x64x5)(2x3) 3、（2014?广西玉林市、防城港市）下面的多项式在实数范围内能因式分解的是（） A x2+y2Bx2y C x2+x+1 D x22x+1 3、 （ 2014?襄阳，第 18题5分）已知： x=1，y=1+，求 x2+y2xy2x+2y 的值。 4、关于 x 的分式方程 2 3 42 2 2 xx ax x 无解，则a的值为 5、先化简： 444 ()(m4)3m(1)

20、 2 m mmm ，再任选一个你喜欢的整数m 代入并 求值。 6、已知实数满足方程 2 2 23 2 2 xx xx ，则 2 2x x 14 / 31 四、分式 题型一、分式的意义及分式的值 1、若分式应满足有意义，则 x xx x )1)(3( 1 。 2、_ 4 1 的取值范围是中，自变量在x x x y 3、_0 2 1 2 2 的值是，则的值是已知分式x xx x 4、组的整数值共有分式_ 1 32 x x 5、当 x 发生变化时，分式的最小值是 题型二、解分式方程 x x 1 2 x 2 x 1 = 0 1 3 x )1( 2 xx x =0 题型三、化简求值 （1） 2 2 11

21、 1 aa a ，其中21a （2）先化简下列式子， x xx x x xx x 3 96 2 3 44 62 2 2 再从 2， 2，3，4，-3 中选择 一个合适的数进行计算 15 / 31 （3）化简并求值：，其中 a 的值从不等式组的解集 中选取一个你认为合适的整数 （4）先化简 .再求值 . 22 2 211 yxyx y yxyx 其中21x21y. （5）已知 11 3 )1)(1( 273 2 x B x A xx xx ，A、B 为常数，求2A+3B 的值 （6）设 m n0，m2n24mn，求 22 mn mn 的值 （7）若 a、b、c 两两不等，求 bcacaba cb

22、a 2 2 + acbcabb acb 2 2 + abbcacc bac 2 2 16 / 31 题型四、关于增根、无解及解的正负 1、 若方程 11 3 1 4 2 x k xx 有增根 ,则k的值为 2、 若关于 x的方程 1 1 1 2 2 x x x k x x 不会产生增根，求 k 的值？ 3、 若关于x的方程 3 1 x9 3 3 2 x k x k 无解，则k 的为 4、 当 a为何值时 , )1)(2( 2 1 2 2 1 xx ax x x x x 的解是负数 题型五、应用题 1、某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20 天可完成甲工程队单独施工比乙工程队 单独施工多用3

23、0 天完成此项工程 （1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？ （2）若甲工程队独做a 天后，再由甲、乙两工程队合作天（用含 a 的代数式 表示）可完成此项工程； （3）如果甲工程队施工每天需付施工费1 万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5 万元， 甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、 乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使 施工费不超过64 万元？ 17 / 31 2、某商店第一次用600 元购进 2B 铅笔若干支，第二次又用600 元购进该款铅笔，但这次每支 的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30 支 （1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？ （2）若要求这两次购

24、进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420 元，问每支售价至少 是多少元？ 3、某一项工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程 队工程款1.5 万元，乙工程队工程款l1 万元，工程领导小组根据甲乙两队的投标书测算， 可有三种施工方案： （1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成； （2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5 天； （3）若甲、乙两队合作4 天，余下的工程由乙队单独也正好如期完成 问：甲、乙两队单独完成这项上程各需多少天？在不耽误工期的情况下，你觉得那一种施工 方案最节省工程款？ 4、为了美化都匀市环境，打造中国优秀旅游城市，现欲将剑江河进行清淤

25、疏通改造，现有 两家清淤公司可供选择，这两家公司提供信息如表所示： （1）若剑江河首批需要清淤的淤泥面积大约为1.2 万平方米， 平均厚度约为0.4 米，那么请 哪个清淤公司进行清淤费用较省，请说明理由（体积可按面积 高进行计算） （2）若甲公司单独做了2 天，乙公司单独做了3 天，恰好完成全部清淤任务的一半；若甲 公司先做2 天，剩下的清淤工作由乙公司单独完成，则乙公司所用时间恰好比甲公司单独完 成清淤任务所用时间多1 天，则甲、乙两公司单独完成清淤任务各需多少时间？ 18 / 31 中考链接： 1 （2014 浙江金华） 在式子 11 ,x2,x3 x2x3 中，x 可以取 2和 3 的是

26、（） A 1 x2 B 1 x3 C x2 Dx3 2、（ 2014?呼和浩特）下列运算正确的是（） A ?= B =a3 C（+） 2 （ ） =D（a） 9 a3=（ a）6 3、（ 2014?济宁）如果从一卷粗细均匀的电线上截取1 米长的电线，称得它的质量为a 克， 再称得剩余电线的质量为b 克，那么原来这卷电线的总长度是米 4、（ 2014?德州）分式方程1=的解是（） Ax=1 B x=1+Cx=2 D无解 5、（ 2014?泰州）已知a2+3ab+b2=0（a0 ，b0 ），则代数式+的值等于（） 6、（ 2014?广西贺州）张华在一次数学活动中，利用“ 在面积一定的矩形中，正方形

27、的周长 最短 ” 的结论，推导出“ 式子 x+（ x0）的最小值是2” 其推导方法如下：在面积是1 的矩 形中设矩形的一边长为x，则另一边长是，矩形的周长是2（ x+）；当矩形成为正方形时， 就有 x=（00），解得x=1，这时矩形的周长2（x+） =4 最小，因此x+（x0）的最小值 是 2模仿张华的推导，你求得式子（ x0）的最小值是（） A2B1C6D10 7、由于货源紧缺， 小王、小李两名商贩连续再次以不同的价格在同一公司购进了A 型香米， 两次的购买单价分别为a、b（ab，单位：元 /千克） ，小王的采购方式为：每次购进c千克 大米，小李的购买方式为：每次购进d 元的大米。若只考虑采

28、购单价，下列结论正确的是 （） A、小王合算B、小李合算C、一样合算D、无法确定谁更合算 8（ 2014?广西贺州）马小虎的家距离学校1800 米，一天马小虎从家去上学，出发10 分钟 后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校200 米的地方追上 了他，已知爸爸的速度是马小虎速度的2 倍，求马小虎的速度。 19 / 31 9、（ 2014?四川自贡，第21 题 10 分）学校新到一批理、化、生实验器材需要整理，若实验 管理员李老师一人单独整理需要40 分钟完成，现在李老师与工人王师傅共同整理20 分钟后， 李老师因事外出，王师傅再单独整理了20 分钟才完成任务 （1）王

29、师傅单独整理这批实验器材需要多少分钟？ （2）学校要求王师傅的工作时间不能超过30 分钟， 要完成整理这批器材，李老师至少要工 作多少分钟？ 五、图形的平移和旋转 一、填空题 1. 平移不改变图形的和，只改变图形的。 2钟表的分针匀速旋转一周需要60 分，它的旋转中心是_,经过 20 分,分针旋转 _度。 3、如图，在四边形ABCD 中， AD BC，BCAD ， B 与 C 互余，将AB，DC 分别平 移 到EF 和EG的 位置，则 EFG为 _ 三 角 形 ，若AD=2cm ， BC=8cm ， 则 FG=_ 4、如图，小正六边形沿着大正六边形的边缘顺时针滚动，小正六边形的边长是大正六边形

30、 边长的一半， 当小正六边形由图位置滚动到图位置时，线段OA绕点O顺时针转过的角 度为度 5、如图， 将AOB绕点O逆时针旋转90 o，得到 A OB若点A的 坐标为ab，则点A的坐标为 A O 图 A O A O A O 图 y A B O B A ab， x 20 / 31 三、解答题 1、如图所示：正方形ABCD 中 E 为 BC 的中点，将面ABE 旋转后得到 CBF. （1）指出旋转中心及旋转角度（ 2）判断 AE 与 CF 的位置关系 （3）如果正方形的面积为18cm2，BCF 的面积为4cm2,问四边形 AECD 的面积是多少？ 2如图，已知正方形ABCD ，点 E、F 分别在

31、BC、CD 上，且 AE=BE+FD ，请说出AF 平 分 DAE 的理由。 3、操作：在 ABC 中， ACBC2， C900，将一块等腰三角形板的直角顶点放在 斜边 AB 的中点 P 处，将三角板绕点P旋转， 三角板的两直角边分别交射线AC 、CB 于 D、E 两点图、是旋转三角板得到的图形中的3 种情况研究： （1）三角板绕点P 旋转，观察线段PD 和 PE 之间有什么数量关系？并结合图 加以证明 （2）三角板绕点P 旋转， PBE 能否为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写 出PBE为 等腰三角形时CE的长）；若 不能，请说明理 由 21 / 31 4、(青岛市 )如图， P 是正三角

32、形ABC 内的一点，且PA 6，PB8，PC10若 将 PAC 绕点 A 逆时针旋转后， 得到 PAB ， 则点 P与点 P 之间的距离为多少，APB ？ 、 图9 B P P/ C A 22 / 31 23 / 31 六、平行四边形 平行四边形的性质及判定 例 1.能判别一个四边形是平行四边形的是（） A.一组对边相等，另一组对边平行B.对角线相等 C.对角线互相垂直平分D.一条对角线平分另一条对角线 变式 : 1、.四边形 ABCD 中,AD 平行且等于CB，则下列结论中错误的是（） A. A= B B.AB=CD C. AB CD D.对角线互相平分 例 2如上右图所示，对四边形ABCD

33、 是平行四边形的下列判断，正确的打“ ” ，错误的打 “” （1）因为 AD BC，AB=CD ，所以 ABCD 是平行四边形 （） （2）因为 AB CD，AD=BC ，所以 ABCD 是平行四边形 （） （3）因为 AD BC，AD=BC ，所以 ABCD 是平行四边形 （） （4）因为 AB CD，AD BC，所以 ABCD 是平行四边形 （） （5）因为 AB=CD ，AD=BC ，所以 ABCD 是平行四边形 （） （6）因为 AD=CD ，AB=AC ，所以 ABCD 是平行四边形 （） 平行四边形的判定 1.两组对边分别平行的四边形为平行四边形 例 3、 如图所示：四边形ABCD

34、 是平行四边形，DE 平分BFADC,平分ABC试证明 四边形 BFDE 是平行四边形 2.两组对边分别相等的四边形为平行四边形 例 4：已知：如图，在平行四边形中，点，分别是，的中点，点 ，在上，且 求证：四边形是平四边形 A D B C G H E F 24 / 31 3.一组对边平行且相对的四边形为平行四边形 例 5.如图， ABCD中， E、F 分别在 BA、DC 的延长线上，且AE= 2 1 AB，CF= 2 1 CD，试证 明 AECF 为平行四边形 . 4.两组对角分别相等的四边形为平行四边形 例 6.如图，在平行四边形ABCD 中,ABC 的平分线交CD 于 E,ADC 的平分

35、线交AB 于 点 F.试证明四边形DFBE 为平行四边形. 5.对角线互相平分的四边形为平行四边形 例 提高： 13.已知：如图，在平行四边形中，分别是，上的两点，且 ，相交于点，相交于点 求证：四边形是平行四边形（要求不用三角形全等来证） N M B A C D E F 25 / 31 矩形 典型例题： 1.矩形的性质 例题 1： （2012?泰安）如图，在矩形ABCD 中， AB=2 ，BC=4 ，对角线AC 的垂直平分线分 别交 AD 、AC 于点 E、O，连接 CE，则 CE 的长为（） A 3 B3.5 C 2.5 D2.8 变式 1.如图 19-23，已知矩形ABCD 中， AC

36、与 BD 相交于 O，DE 平分 ADC 交 BC 于 E， BDE15 ，试求 COE 的度数。 例 2. E 是矩形 ABCD 边 AD 上一点，且 BE=ED ， P是对角线 BD 上任一点，PFBE， PGAD ， 垂足分别为F、G，则 PFPG=AB 成立吗？为什么？ 二、矩形的判定 例 1 已知：如图（1） ，ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E， F，G，H求证： 四边形 EFGH 是矩形 图 19-23 26 / 31 AB C B D E P 三、 折叠 例 1、如图，在矩形ABCD 中， AB=4 ，BC=3 ，按下列要求折叠，试求出所要求的结果： （1）如图，把矩形A

37、BCD 沿对角线BD 折叠得 EBD ，BE 交 CD 于点 F，求 SBFD； （2）如图，折叠矩形ABCD ，使 AD 与对角线BD 重合，求折痕DE 的长； （3）如图，折叠矩形ABCD ，使点 B 与点 D 重合，求折痕EF 的长； （4）如图（同13 题图） ， E 为 AD 上一点，把矩形ABCD 沿 BE 折叠，若点A 恰好落在 CD 上的点 F 处，求 AE 的长； 变式 1：矩形纸片ABCD 中， AB 3，AD4，将纸片折叠，使点B 落在边 CD 上的 B 处， 折痕 AE在折痕AE 上存在一点P 到边 CD 的距离与到点B 的距离相等，则此相等距离为 _ 菱形 基础例题：

38、 1、（2012?山西）如图，已知菱形ABCD的对角线ACBD、的长分别为6cm、 8cm，AEBC 于点E，则AE的长是（） A.5 3B.2 5C. 48 5 D. 24 5 2、 （ 2013 四川内江， 16，5 分）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6 和 8，MN、分别 是边BCCD、的中点，P是对角线BD上一点，则PMPN的最小值 = F E D C B A A B C D E F O A B CD E F CD A B E F 27 / 31 判定定理例题： 判定一：一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义） 例 1、 （2013?安顺）如图，在ABC中，DE、分别是ABAC、的中

39、点，2BEDE，延 长DE到点F，使得 EFBE，连接CF （1）求证：四边形BCFE是菱形； （2）若4CE，120BCF，求菱形BCFE的面积 判定二：有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 例 1：如图，在 ? ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点 O，点 E，点 F 在 BD 上，且BE=DF 连接 AE 并延长，交BC 于点 G，连接 CF 并延长，交AD 于点 H （1）求证： AOE COF； （2）若 AC 平分 HAG ，求证：四边形AGCH 是菱形 28 / 31 判定三：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 例 2： （2013?曲靖） 如图， 在? ABCD 中，对

40、角线 AC 与 BD 相交于点O，过点 O 作 EFAC 交 BC 于点 E，交 AD 于点 F，连接 AE、CF求证：四边形AECF 是菱形。 判定四：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 例 4： （2012.咸丰二模）如图，O 为平行四边形ABCD 对角线交点，过O 点的两条直线m、 n 互相垂直，且与四边形各边相交于点E、F、G、 H.是判断四边形ABCD的形状，并给出 理由。 判定五：四条边都相等的四边形是菱形 例 5：2、 （2013?泰安）如图，在四边形ABCD 中， AB=AD ，CB=CD ，E 是 CD 上一点， BE 交 AC 于 F，连接 DF （1）证明： BAC= D

41、AC ， AFD= CFE； （2）若 ABCD，试证明四边形ABCD 是菱形； （3）在（ 2）的条件下，试确定E 点的位置， EFD= BCD，并说明理由 29 / 31 变式练习： 1、 （2013?四川宜宾） 如图，在 ABC 中， ABC=90，BD 为 AC 的中线， 过点 C 作 CEBD 于点 E，过点 A 作 BD 的平行线，交CE 的延长线于点F，在 AF 的延长线上截取FG=BD ， 连接 BG、 DF若 AG=13 ，CF=6，则四边形BDFG 的周长是多少？ 能力提升： 1、 （2013?娄底） 某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60 角的直 角

42、三角板 ABC 与 AFE 按如图 （1）所示位置放置放置，现将 Rt AEF 绕 A 点按逆时针方向 旋转角 （0 90 ） ，如图（ 2） ，AE 与 BC 交于点M，AC 与 EF 交于点 N，BC 与 EF 交于点 P （1）求证： AM=AN ； （2）当旋转角=30时，四边形ABPF 是什么样的特殊四边形？并说明理由 正方形 例题讲解 一、 正方形的性质 例 1、判断下列命题是否正确： （1）四条边相等的四边形是正方形（） （2）两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形（） 30 / 31 （3）两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形（） （4）两条对角线互相垂直的矩形是正方形

43、（） 例 2、如图 4-60，正方形 ABCD 的对角线相交于O，EFAB ，并且分别与OA，OB 相交于 E，F若 BE=3 厘米，求CF 的长 练习 1 （2010 天津） 如图，已知正方形ABCD 的边长为3， E 为 CD 边上一点，1DE以 点 A为中心，把 ADE顺时针旋转90 ，得 ABE，连接EE，则EE的长等于 练习 2（ 2008 佛山 12）如图，已知P 是正方形 ABCD 对角线 BD 上一点，且BP = BC，则 ACP 度数是 二、 正方形的面积： 例 1、 （2010 南宁） 正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如 图所示，点G在线段DK上，正方形

44、BEFG的边长为4，则DEK的面积为（） （ A）10 （B）12 （C） 14 （D）1 练习 1. 边长为 1 的正方形ABCD 绕点 A 逆时针旋转30 得到正方形AB CD，两图叠成一 个“ 蝶形风筝 ” （如图所示阴影部分） ，则这个风筝的面积是（） 。 A2 3 3 B 3 32 C2 4 3 D2 三、正方形的有关计算 例 1、 如图，四边形ABCD 为正方形，以AB 为边向正方形外做等边三角形ABE ，交 BD 31 / 31 于 F，求 AFD 的度数。 练习 1、在正方形ABCD 中， E 在 BC 上，且 BE=2，EC=1，点 P 在 BD 上，求 PE+PC 的 最小值； 练习 2、 如图 4-4-2，正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在 BC、CD 上，AM EF，垂足为 M， 且 AM=AB 。 （1）求证： EF=BE+DF （2）连接 AE、AF，求 EAF 的度数。 A D B C E F 图 4-4-2