四种命题间的相互关系.pdf

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1、1.1.2四种命题 11.3四种命题间的相互关系 学习目标1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四 种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题 知识点一四种命题的概念 思考 1初中已学过命题与逆命题的知识，什么叫做命题的逆命题？ 答案在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是 第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题 思考 2除了命题与逆命题之外，是否还有其它形式的命题？ 答案有 梳理 名称阐释 互逆命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和 条件，那么我们把这样的两个

2、命题叫做互逆命题其中一个命题叫做原 命题，另一个叫做原命题的逆命题 互否命题 对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的 否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题其中一个命 题叫做原命题，另一个叫做原命题的否命题 互为逆 否命题 对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的 否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题其中一 个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆否命题. 知识点二四种命题的相互关系 思考 1命题与其逆命题之间是什么关系？ 答案互逆 思考 2原命题与其逆命题、否命题、逆否命题之间又是什么关系？ 答案原命题与其逆命题是互逆

3、关系；原命题与其否命题是互否关系；原命题与其逆否命题 是互为逆否关系 梳理(1)四种命题间的关系 (2)四种命题间的真假关系 原命题逆命题否命题逆否命题 真真真真 真假假真 假真真假 假假假假 由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系： 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； 两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系 知识点三逆否证法 思考由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以我们在直接证明某一个命题为真命 题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题，这种证 明方法叫做逆否证法 譬如，求证：“若m0，则方程 x2xm0 有实根”为真命题 证明把

4、要证的命题视为原命题，则它的逆否命题为： “若方程 x2x m 0 无实根，则m0.” 若方程 x 2xm0 无实根，则 4m10，所以 m1 40，则方程x 2x m 0 有实根 ”为真命题 类型一四种命题的写法 例 1把下列命题写成“若p，则 q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题 (1)正数的平方根不等于0； (2)当 x2 时， x 2 x60； (3)对顶角相等 解(1)原命题：若a 是正数，则a 的平方根不等于0. 逆命题：若a 的平方根不等于0，则 a 是正数 否命题：若a 不是正数，则a 的平方根等于0. 逆否命题：若a 的平方根等于0，则 a 不是正数 (2)原命题

5、：若x2，则 x 2x6 0. 逆命题：若x2x60，则 x2. 否命题：若x2，则 x 2x 60. 逆否命题：若x2x6 0，则 x2. (3)原命题：若两个角是对顶角，则它们相等 逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角 否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等 逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角 反思与感悟由原命题写出其他三种命题的关键是找到原命题的条件和结论，根据其他三种 命题的定义，确定所写命题的条件和结论 跟踪训练1写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假 (1)实数的平方是非负数； (2)等底等高的两个三角形是全等三角形 解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则

6、这个数是实数真命题 否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数真命题 逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数真命题 (2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高真命题 否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等真命题 逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高假命题 类型二等价命题的应用 例 2证明：已知函数f(x)是(， )上的增函数， a，bR，若 f(a)f(b)f(a)f( b)，则 ab0. 证明方法一原命题的逆否命题为“ 已知函数 f(x)是(， )上的增函数， a，bR， 若 ab0，则 f(a)f(b)f( a) f(b

7、)” 若 ab0，则 ab，ba. 又f(x)在( ， )上是增函数， f(a)f(b)，f(b)f( a)， f(a)f(b)f(a)f(b) 即原命题的逆否命题为真命题 原命题为真命题 方法二假设 ab0，则 ab，ba. 又f(x)在( ， )上是增函数， f(a)f(b)，f(b)f( a) f(a)f(b)0，且 (x1)2 (y 1)2(z1)20 ab c0，这与 ab c0 矛盾， 因此 a、b、c 中至少有一个大于0. 反思与感悟(1)求解此类含有“至少 ”“ 至多 ”等命题，常利用反证法来证明用反证法证 明命题的一般步骤：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；从这个假

8、设出发， 经过推理论证，得出矛盾；由矛盾得出假设不正确，从而肯定命题的结论正确 (2)常见的一些词语和它们的否定词语对照如下： 原词 等于 () 大于 () 小于 (90 ， D 是 BC 边的中点，如图所示求 证： AD 1 2BC，由题意知 BDDC 1 2BC， 在ABD 中， ADBD，从而 BBAD； 同理 CCAD. BCBADCAD， 即BCBAC. BC180 BAC， 180 BAC BAC，则 BAC90 ， 与题设矛盾 由(1)(2)知 ADy，则 x|y|”的逆命题 B命题“若x1，则 x 2 1”的否命题 C命题“若x1，则 x 2x20”的否命题 D命题“若x 21

9、，则 x1”的逆否命题 答案A 解析对 A，即判断：若x|y|，则 xy 的真假，显然是真命题 3命题“若 x1，则 x0”的逆命题是_，逆否命题是 _ 答案若 x0，则 x1若 x0，则 x1 4在原命题“若ABB，则 ABA”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的 个数为 _ 答案4 解析逆命题为 “若 ABA，则 ABB”； 否命题为 “若 ABB，则 ABA”； 逆否命题为 “若 ABA，则 ABB”， 全为真命题 5已知命题p：“若 ac0，则二次不等式ax 2 bxc0 无解” (1)写出命题p 的否命题； (2)判断命题p 的否命题的真假 解(1)命题 p 的否命题为：“若

10、ac0 有解 ” (2)命题 p 的否命题是真命题 判断如下： 因为 ac0? b24ac0? 二次方程ax2bxc0 有实根 ? ax2bxc0 有解， 所以该命题是真命题 1由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆 命题，将条件和结论同时否定即得否命题，将条件和结论互换的同时，进行否定即得逆否命 题 2如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题 中的大前提不变 3反证法与逆否证法的区别 (1)反证法与逆否证法的目的不同，反证法否定结论的目的是推出矛盾，而逆否证法否定结论 的目的是推出否定条件 (2)反证法与逆否证法的

11、本质不同，逆否证法本质是证明一个新命题(逆否命题 )成立，而反证 法把否定的结论作为条件，连同原有的条件进行逻辑推理，直至推出矛盾，从而肯定原命题 的结论 一、选择题 1与命题“能被6 整除的整数，一定能被3 整除”等价的命题是() A能被 3整除的整数，一定能被6 整除 B不能被3 整除的整数，一定不能被6 整除 C不能被6 整除的整数，一定不能被3 整除 D不能被6 整除的整数，能被3 整除 答案B 解析即写命题 “若一个整数能被6 整除，则一定能被3 整除 ”的逆否命题 2若命题 p 的否命题为q，命题 p 的逆否命题为r，则 q 与 r 的关系是 () A互逆命题B互否命题 C互为逆否

12、命题D以上都不正确 答案A 解析设 p 为“若 A，则 B” ，那么 q 为“ 若? A，则 ? B”，r 为“ 若? B，则 ? A” 故 q 与 r 为互逆命题 3 用反证法证明某命题时，对结论： “自然数a，b，c 中恰有一个偶数”正确的反设为() Aa，b，c 都是奇数 Ba，b，c 都是偶数 Ca，b，c 中至少有两个偶数 Da，b，c 中至少有两个偶数或都是奇数 答案D 解析用反证法证明某命题时，对结论： “ 自然数 a，b，c 中恰有一个偶数”正确的反设是： a，b，c 中至少有两个偶数或都是奇数故选D. 4如果方程x 2(m1)xm220 的两个实根一个小于 1，另一个大于1，

13、那么实数m 的取值范围是() A(2，2) B (2,0) C(2,1) D(0,1) 答案D 解析由题意，构建函数f(x)x2(m1)xm22， 两个实根一个小于1，另一个大于1， f(1)0，f(1)0， 0m0”的否命题； “对顶角相等”的逆命题 其中真命题的个数是() A0 B 1 C2 D3 答案B 解析 否命题是 “若 xy0，则 x、y 不互为相反数” 真命题 原命题为假命题，从而逆否命题为假命题 否命题为 “若 x3，则 x2x60” 假命题 逆命题为 “若两角相等，则这两角为对顶角” 假命题 二、填空题 7命题：“若 |x| 1，则 x1”的否命题为 _ 答案若 |x|1，则

14、 x 1 8 已知命题“若m1xm1， 则 1x2”的逆命题为真命题，则 m 的取值范围是 _ 答案1,2 解析由已知得，若1x2 成立，则m1x1 4时， mx 2x10 无实根； (2)当 abc 0时， a 0或 b 0 或 c0. 解(1)逆命题：当mx2 x10 无实根时， m1 4；真命题； 否命题：当m 1 4时， mx 2x10 有实根；真命题； 逆否命题：当mx2x10 有实根时， m 1 4；真命题 (2)逆命题：当a0 或 b0 或 c0 时， abc0；真命题； 否命题：当abc0 时， a0 且 b0 且 c0；真命题； 逆否命题：当a0 且 b0 且 c0 时， a

15、bc0；真命题 13证明：已知x0，y0，若 xy2，则 1x y 与 1y x 至少有一个小于2. 证明证明原命题的逆否命题 将要证的命题“已知 x0， y0，若 xy2，则 1x y 与 1y x 至少有一个小于2”视为原命题， 只需证明其逆否命题，即证明： 已知 x0，y0，若1 x y 与 1y x 都不小于 2，则 xy2.若1x y 2，1 y x 2，则 1x2y， 1y2x，所以 1x 1y2y2x， 所以 xy2，这就证明了逆否命题的正确性，所以原命题得证 学习目标1.理解充分条件、必要条件与充要条件的概念.2.掌握判断充分不必要条件、必要 不充分条件、充要条件、既不充分也不

16、必要条件的方法 知识点一充分条件与必要条件 思考用恰当的语言表述下列语句的意义 一个人如果骄傲自满，那么就必然落后； 只有同心协力，才能把事情办好 答案如果不骄傲自满，那就可能不落后，也可能落后，骄傲自满是落后的充分条件 同心协力是办好事情的必要条件 梳理(1)一般地，“若p，则 q”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q.这时，我们就说， 由 p 可推出 q，记作 p? q，并且说p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件 (2)若 p? q，但 qp，称 p 是 q 的充分而不必要条件，若q? p，但 pq，称 p 是 q 的必要而 不充分条件 知识点二充要条件 思考在 ABC 中，

17、角 A、B、C 为它的三个内角，则“ A、B、C 成等差数列”是“B60 ” 的什么条件？ 答案因为 A、B、C 成等差数列，故2B AC，又因 AB C ，故 B60 ，反之，亦 成立，故“ A、 B、 C 成等差数列”是“B 60 ”的充分必要条件 梳理(1)一般地，如果既有p? q，又有 q? p，就记作p? q，此时，我们说，p 是 q 的充分 必要条件，简称充要条件 (2)充要条件的实质是原命题“若p，则 q”和其逆命题“若q，则 p”均为真命题，如果p 是 q 的充要条件，那么q 也是 p 的充要条件，即如果p? q，那么 p 与 q 互为充要条件 知识点三充分条件、必要条件和充要

18、条件的联系与区别 充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要是用来区分命题的条件p 和结论 q 之间的关系 (1)从逻辑关系上看 若 p? q，但 qp，则 p 是 q 的充分不必要条件； 若 q? p，但 pq，则 p 是 q 的必要不充分条件； 若 p? q，且 q? p，则 p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件； 若 pq，且 qp，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件 (2)从集合与集合之间的关系上看 如果 p，q 分别以集合A、集合 B 的形式出现，那么p，q 之间的关系可以借助集合知识来判 断 若 A? B，则 p 是 q 的充分条件； 若 A? B，则 p 是 q

19、的必要条件； 若 AB，则 p 是 q 的充要条件； 若 AB，且 B A，则 p 既不是 q 的充分条件，也不是q 的必要条件，即p 是 q 的既不充 分也不必要条件 (3)从传递性角度看 由于逻辑联结符号“? ”“ ?”“ ? ”具有传递性， 因此可根据几个条件之间的关系，经过若 干次的传递，判断所给的两个条件之间的关系 (4)从等价命题角度看 当某一命题不易直接判断条件与结论的充要关系时，可利用原命题与其逆否命题的等价性来 判断，即等价转化为判断其逆否命题是否成立 类型一充分条件、必要条件和充要条件的判断 例 1下列各题中，p 是 q 的什么条件？ (1)p：ab0，q：a 2b20；

20、(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形； (3)p：x1 或 x2，q：x1x1； (4)p：m1，q：x 2xm0 无实根； (5)p：ab0，q：直线 ax byc 0 与两坐标轴都相交 解(1)ab0D? /a2b20； a 2b20? a b0， p 是 q 的必要不充分条件 (2) 四边形的对角线相等四边形是矩形； 四边形是矩形? 四边形的对角线相等， p 是 q 的必要不充分条件 (3) x1 或 x2? x1x1； x1x1? x1 或 x2，p 是 q 的充要条件 (4)若方程 x 2xm0 无实根，则 14m0， 即 m 1 4.m1? m 1 4；m 1 4 mb”

21、是“ a 2b2”的 ( ) A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 答案D 解析可采用特殊值法进行判断，令 a1， b 1， 满足 ab， 但不满足a2b 2， 即条件 “ab” 不能推出结论“a 2b2”；再令 a 1，b0，满足 a2b2，但不满足 ab，即结论 “a 2b2” 不能推出条件“ab” 故选 D. 类型二递推法判断命题间的关系 例 2已知 p，q 都是 r 的必要条件， s是 r 的充分条件，q 是 s的充分条件，那么： (1)s 是 q 的什么条件？ (2)r 是 q 的什么条件？ (3)p 是 q 的什么条件？ 解方法一(1)q 是

22、s的充分条件，q? s. q 是 r 的必要条件，r? q. s 是 r 的充分条件， s? r，s? r? q. 即 s 是 q 的充要条件 (2)由 r? q，q? s? r，知 r 是 q 的充要条件 (3) p 是 r 的必要条件， r? p，q? r? p. p 是 q 的必要不充分条件 方法二如图所示 (1)由图可知q? s， s? r? q，所以 s 是 q 的充要条件 (2)因为 r? q，q? s? r，所以 r 是 q 的充要条件 (3)因为 q? s? r? p，而 pq， 所以 p是 q 的必要不充分条件 反思与感悟解决传递性问题的关键是画出结构图，也可以考虑命题之间的

23、关系 跟踪训练2如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么 () A丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C丙是甲的充要条件 D丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 答案A 解析如图所示， 甲是乙的必要条件，乙? 甲又 丙是乙的充分条 件，但不是乙的必要条件，丙? 乙，但乙丙综上，有丙? 乙 ? 甲， 甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 类型三充要条件的证明 例 3求证：一元二次方程ax 2 bxc0(a，b，c 是常数且 a0)有一正实根和一负实根的 充要条件是ac0，且 x1x2 c a0， ac0. 充分性：由ac

24、0 及 x1x2 c a0， 方程 ax 2bx c0(a0)有一正一负两实根 因此一元二次方程ax2bxc0(a0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac0， ab 10.ab1. 综上可知，当ab 0 时， ab1 的充要条件是a3b3ab a2b20. 类型四利用充分条件、必要条件求参数的取值范围 例 4已知 p： x2 8x200，q：x22x1a20.若 p 是 q 的充分不必要条件，求正实数 a 的取值范围 解设 p 对应的集合为A，q 对应的集合为B.解不等式 x28x200，得 A x|x10 或 x0，得 Bx|x1a 或 x0 依题意知 p? q，qp， 说明AB.于是有 a

25、0， 1 a10， 1 a2， (说明： “1a10”与“1a2”中等号不能同时取 到)解得 0a3. 正实数 a 的取值范围是00)，且 p 是 q 的充分不必要条 件，求实数m 的取值范围 解由题意知p：|1 x 1 3 |2? 2x1 3 12? 1x 1 3 3? 2x 10. q：x 22x1m20? x(1m) x(1m)0.(*) p 是 q 的充分不必要条件， 不等式 |1 x1 3 |2 的解集是x 22x1m20(m0)的解集的真子集 m0，不等式 (*) 的解集为 x|1mx1m ， 且 1m 2 与 1m10 不同时成立 1m 2， 1m10 ? m3， m9. m9.

26、 实数 m 的取值范围是 9， ). 1人们常说“无功不受禄”，这句话表明“受禄”是“有功”的() A充分条件B必要条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 答案A 解析无功不受禄可写为命题：若无功，则不受禄逆否命题为：若受禄，则有功显然受 禄是有功的充分不必要条件，因为有功不一定受禄 2设命题 p：x 23x20，q：x1 x20，则 p 是 q 的( ) A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 答案A 解析命题 p：1x2；命题 q：1x2，故 p 是 q 的充分不必要条件 3“ x 24x50”是“ x 5”的 ( ) A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条

27、件D既不充分也不必要条件 答案B 解析根据方程得x2 4x50，解得 x 1 或 x5，故“x24x 50”是“x5” 的必 要不充分条件，故选B. 4记不等式x 2x60 的解集为集合 A，函数 ylg(xa)的定义域为集合B.若“ xA”是 “xB”的充分条件，则实数a 的取值范围为_ 答案(， 3 解析由于Ax|x2 x60 x|3xa ，而 “xA”是 “xB”的充分条件，则有AB，则有 a3. 5试说明 0m0， m0， 3 m0， 0m1 3. 反之，若0m0， 3 m0， 412m0,04 12m0，且 2 m0， 3 m0. 因此 0m2 Cx 2y2 2 Dxy1 答案B 解

28、析若 x 1 且 y 1 时，可得xy2，反之不成立 (用特殊值即可判定)；故 x1 且 y1 是 xy2 的充分不必要条件，那么根据逆否命题的等价性可得xy2 是“当 x、y 中至少 有一个数大于1”的充分不必要条件 5 已知 ， 表示两个不同的平面， m 为平面 内的一条直线， 则“ ”是“ m ”的 () A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 答案B 解析由平面与平面垂直的判定定理知，如果m 为平面 内的一条直线，m ，则 ， 反过来则不一定，以“ ”是“m ”的必要不充分条件 6设 aR，则“ a 2”是“直线l1：ax2y10 与直线 l2：x(a1)y

29、4 0 平行” 的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 答案A 解析若 a 2，则直线l1： 2x2y 10 与直线 l2：xy40 平行，若 “直线 l1：ax 2y10 与直线 l2：x(a1)y40 平行 ”，a 1 2 a1，解得 a 2 或 a1，“ a 2”是“直线 l1：ax2y10 与直线 l2：x(a1)y40 平行 ”的充分不必要条件 7“ 0 m 1”是“函数f(x)sin xm1 有零点”的 () A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 答案A 解析函数 f(x)sin xm1 有零点 ? 方程 sin

30、 x1m 有根 ? 1 1m1? 0m 2， 所以 “0m1”是“函数 f(x)sin xm1 有零点 ”的充分不必要条件 二、填空题 8若函数 f(x)2 x(k23) 2 x，则 k2 是函数 f(x)为奇函数的 _条件 (选填“充分 不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) 答案充分不必要 解析当 k 2时， f(x)2x(k23)2 x2x 2x，此时函数 f(x)为奇函数；反之，当函数f(x) 为奇函数时，有f(x)f(x)2x(k23)2 x2x(k2 3)2x (4k2)(2x2x)0，则有 k 2 4，即 k 2；故 k2 是函数 f(x)为奇函数的充分不必要

31、条件 9“ sin cos ”是“ cos 2 0”的 _条件 答案充分不必要 解析由 cos 2 cos2 sin2 知，当 sin cos 时，有 cos 2 0，反之，由 cos 2 sin2 不一定有sin cos ，从而 “sin cos ”是“cos 2 0”的充分不必要条件故选A. 10给出下列三个命题： “ ab”是“ 3 a 3 b”的充分不必要条件； “ ”是“ cos b” 是“3 a3b”的充分必要条件，故 错误； 20，则 cos 2cos 0；cos 2cos 2 015 ，则 2 ”是“ cos cos ”的既不充分也不必要条件，故错误； “ a0”是 “函数 f

32、(x) x 3ax2(xR)为奇函数 ”的充要条件正确 三、解答题 11已知条件p：Ax|2axa 21 ，条件 q：Bx|x2 3(a1)x2(3a1)0 ，若 p 是 q 的充分条件，求实数a的取值范围 解化简 Bx|(x2)x(3a1)0， 当 a 1 3时， B x|2x3a1； 当 a1 3时， B x|3a1x 2 因为 p是 q 的充分条件， 所以 A? B，于是有 a1 3， a 213a1， 2a2， 或 a 1 3， a 212， 2a 3a1， 解得 1a3 或 a 1. 综上， a 的取值范围是a|1a3 或 a 1 12已知函数f(x)3 x2 2x 的定义域为A，g

33、(x)lg( xa1)(2ax)(a0， 即(xa1)(x2a)0， 又a2a， B x|2axa1 p 是 q 的必要不充分条件， BA， 2a1 或 a 11， 解得 1 2a1 或 a2. a 的取值范围为 ( ， 21 2，1) 13设 a，b，c 是 ABC 的三个内角A，B，C 所对的边求证：a 2b(bc)的充要条件是 A 2B. 证明充分性： A2B，ABB， 则 sin(AB)sin B， 则 sin Acos Bcos Asin Bsin B， 结合正弦、余弦定理得a a 2c2b2 2ac b b 2c2a2 2bc b，化简整理得a2b(bc)； 必要性：由余弦定理a2b 2c22bccos A，且 a2b(bc)，得 b2bcb2c22bccos A， 12cos A c b sin C sin B， 即 sin B2sin Bcos Asin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B， sin Bsin Acos Bcos Asin Bsin(AB)，由于 A、B 均为三角形的内角，故必有BAB，即 A2B. 综上，知a2b(bc)的充要条件是A 2B.