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1、2020年中考数学必考经典题讲练案【苏科版】专题18几何变式探究和类比变换综合类问题【方法指导】图形的类比变换是近年来中考的常考点，常以三角形、四边形为背景，与翻折、旋转相结合，考查三角形全等或相似的性质与判定，难度较大此类题目第一问相对简单，后面的问题需要结合第一问的方法进行类比解答根据其特征大致可分为：几何变换类比探究问题、旋转综合问题、翻折类问题等解决此类问题要善于将复杂图象分解为几个基本图形，通过添加副主席补全或构造基本图形，借助转化、方程、数形结合、分类讨论等数学思想解决几何证明问题，计算则把几何与代数知识综合起来，渗透数形结合思想，考查学生分析问题的能力、逻辑思维和推理能力.【题型
2、剖析】【类型1】几何类比变换综合题【例1】（2018秋盐都区期中）【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题（1）如图1，是等边三角形，点是边下方一点，探索线段、之间的数量关系解题思路：延长到点，使，连接，根据，可证易证得，得出是等边三角形，所以，从而探寻线段、之间的数量关系根据上述解题思路，请直接写出、之间的数量关系是_；【拓展延伸】（2）如图2，在中，若点是边下方一点，探索线段、之间的数量关系，并说明理由；【知识应用】（3）如图3，两块斜边长都为的三角板，把斜边重叠
3、摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离的长分别为_【变式1-1】（2019亭湖区二模）【阅读材料】小明遇到这样一个问题：如图1，点在等边三角形内，且，求的长小明发现，以为边作等边三角形，连接，得到；由等边三角形的性质，可证，得；由已知，可知的大小，进而可求得的长（1）请回答：在图1中，_，_【问题解决】（2）参考小明思考问题的方法，解决下面问题：如图2，中，点在内，且，求的长【灵活运用】（3）如图3，在中，且，点在外，且，直接写出长的最大值【变式1-2】（2018亭湖区二模）如图，在等腰与等腰中，（1）连接，（如图，请直接写出线段，的数量关系_；（2）在（1）的基础上，延长交于点，连接（
4、如图，试探究线段，的数量关系，并证明你的结论；（3）连接，取的中点，连接（如图，若，求的长【类型2】几何旋转变换综合题【例2】（2019海州区一模）如图1，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中，（1）操作发现：如图2，固定，使绕点旋转，当点恰好落在边上时，填空：线段与的位置关系是_；设的面积为，的面积为，则与的数量关系是_（2）猜想论证：当绕点旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中与的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了和中、边上的高，请你证明小明的猜想（3）拓展探究已知，点是角平分线上一点，交于点（如图，若在射线上存在点，使，请求出相应的的长【变式2-1】（2019辽阳模拟）旋转变换
5、是解决数学问题中一种重要的思想方法，通过旋转变换可以将分散的条件集中到一起，从而方便解决问题已知，中，点、在边上，且（1）如图1，当时，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，求的度数；求证：；（2）如图2，当时，猜想、的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当，时，请直接写出的长为_【变式2-2】（2019宜兴市二模）【问题提出】如图1，四边形中，求四边形的面积【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题（1）如图2，连接，由于，所以可将绕点顺时针方向旋转，得到，则的形状是_（2）在（1）的基础上，求四边形的面积类比应用如图3，四边形中，求四边形的面积【类型
6、3】几何翻折变换综合题【例3】（2019江都区三模）如图1，有一张矩形纸片，已知，现将纸片进行如下操作：首先将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上（如图；然后将纸片沿折痕进行第二次折叠，使点落在第一次的折痕上的点处，点在上（如图（1）如图2，判断四边形的形状，并说明理由；（2）如图3，求的长【变式3-1】（2019广陵区校级二模）如图，将矩形先过点的直线翻折，点的对应点刚好落在边上，直线交于点；再将矩形沿过点的直线翻折，使点的对应点落在上，的延长线交于点（1）当四边形是平行四边形时，求的度数（2）当点与点刚好重合时，试判断的形状，并说明理由【变式3-2】（2018深圳模拟）已知矩形纸
7、片中，操作：将矩形纸片沿折叠，使点落在边上探究：（1）如图1，若点与点重合，你认为和全等吗？如果全等，请给出证明，如果不全等，请说明理由；（2）如图2，若点与的中点重合，请你判断、和之间的关系，如果全等，只需写出结果，如果相似，请写出结果和相应的相似比；（3）如图2，请你探索，当点落在边上何处，即的长度为多少时，与全等【达标检测】1如图1，在RtABC中，ABAC，D、E是斜边BC上两动点，且DAE45，将ABE绕点A逆时针旋转90后，得到AFC，连接DF（1）试说明：AEDAFD；（2）当BE3，CE9时，求BCF的度数和DE的长；（3）如图2，ABC和ADE都是等腰直角三角形，BACDAE
8、90，D是斜边BC所在直线上一点，BD3，BC8，求DE2的长2如图，在等腰ABC和ADE中，ABAC，ADAE，且BACDAE120（1）求证：ABDACE；（2）把ADE绕点A逆时针方向旋转到图的位置，连接CD，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，连接MN、PN、PM，判断PMN的形状，并说明理由；（3）在（2）中，把ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD4，AB6，请分别求出PMN周长的最小值与最大值3如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，42），B（42，0），C（42，0），D（0，42），连接AB，AC，BD，点P是线段AB上的一个动点，连接PD，过点P作PEPD，交线段A
9、C于点E，将线段EP绕点E逆时针旋转90至EF（1）过点P的横坐标为-2，则AE_；（2）当点P在线段AB上运动到何处时，线段AE最长？求出此时点P的坐标；（3）连接OF当点P在线段AB上运动时，线段OF的长度随之变化，求线段OF长度的最小值4如图1，RtABC中，C90，AB15，BC9，点D，E分别在AC，BC上，CD4x，CE3x，其中0x3（1）求证：DEAB；（2）当x1时，求点E到AB的距离； （3）将DCE绕点E逆时针方向旋转，使得点D落在AB边上的D处在旋转的过程中，若点D的位置有且只有一个，求x的取值范围5在ABC中，B45，C30，作APAB，交BC于P点（1）如图1，若A
10、B32，求BC的长；（2）点D是BC边上一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90，得到线段AE如图2，当点E落在AC边上时，求证：CE2BD；如图3，当ADBC时，直接写出CE2AB2的值6【操作发现】如图1，ABC为等边三角形，点D为AB边上的一点，DCE30，将线段CD绕点C顺时针旋转60得到线段CF，连接AF、EF，请直接写出下列结果：EAF的度数为_；DE与EF之间的数量关系为_；【类比探究】如图2，ABC为等腰直角三角形，ACB90，点D为AB边上的一点，DCE45，将线段CD绕点C顺时针旋转90得到线段CF，连接AF、EF则EAF的度数为_；线段AE，ED，DB之间有什么数量
11、关系？请说明理由；【实际应用】如图3，ABC是一个三角形的余料，小张同学量得ACB120，ACBC，他在边BC上取了D、E两点，并量得BCD15、DCE60，这样CD、CE将ABC分成三个小三角形，请求BCD、DCE、ACE这三个三角形的面积之比7综合与实践：如图1，已知ABC为等边三角形，点D，E分别在边AB、AC上，ADAE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点（1）观察猜想在图1中，线段PM与PN的数量关系是_，MPN的度数是_；（2）探究证明把ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，判断PMN的形状，并说明理由；求MPN的度数；（3）拓展延伸若ABC为直角三角形，BAC9
12、0，ABAC10，点DE分别在边AB，AC上，ADAE4，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点把ADE绕点A在平面内自由旋转，如图3，请直接写出PMN面积的最大值8【问题提出】在ABC中，ABACBC，点D和点A在直线BC的同侧，BDBC，BAC，DBC，且+120，连接AD，求ADB的度数（不必解答）【特例探究】小聪先从特殊问题开始研究，当90，30时，利用轴对称知识，以AB为对称轴构造ABD的轴对称图形ABD，连接CD（如图2），然后利用90，30以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：DBC的形状是_三角形；ADB的度数
13、为_【问题解决】在原问题中，当DBCABC（如图1）时，请计算ADB的度数；【拓展应用】在原问题中，过点A作直线AEBD，交直线BD于E，其他条件不变若BC7，AD2请直接写出线段BE的长为_9点D为ABC外一点，ACB90，ACBC（1）如图1，DCE90，CDCE，求证：ADCBEC；（2）如图2，若CDB45，AEBD，CECD，求证：AEBD；（3）如图3，若ADC15，CD=2，BDn，请直接用含n的式子表示AD的长10如图，ABC是等边三角形，D是BC边的中点，以D为顶点作一个120的角，角的两边分别交直线AB、直线AC于M、N两点以点D为中心旋转MDN（MDN的度数不变），当DM
14、与AB垂直时（如图所示），易证BM+CNBD（1）如图，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC上时，BM+CNBD是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC的延长线上时，BM+CNBD是否仍然成立？若不成立，请写出BM，CN，BD之间的数量关系，不用证明11在ABC中，ACB90，ACBC，点P在边AB上，点D、Q分别为边BC上的点，线段AD的延长线与线段PQ的延长线交于点F，连接CP交AF于点E，若BPFAPC，FDFQ（1）如图1，求证：AFCP；（2）如图2，作AFP的平分线FM交AB于点M，交BC于点N
15、，若FNMN，求证：DQ=13BC；（3）在（2）的条件下，连接DM、MQ，分别交PC于点G、H，求EGHP的值12已知ABC和ADE都是等腰直角三角形，ACBADE90，点F为BE中点，连结DF，CF（1）如图1，点D在AC上，请你判断此时线段DF，CF的关系，并证明你的判断；（2）如图2，在（1）的条件下将ADE绕点A顺时针旋转45时，若ADDE2，AB6，求此时线段CF的长13如图，将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点A坐标是（3，0），点C坐标是（0，2），点O的坐标是（0，0），点E是AB的中点，在OA上取一点D，将BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处（1）求点E
16、、F的坐标；（2）如图2，若点P是线段DA上的一个动点（点P不与点D，A重合），过P作PHDB于H，设OP的长为x，DPH的面积为S，试用关于x的代数式表示S14如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A，点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP，BH（1）求证：BP平分APH；（2）当点P在边AD上移动时，PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论15已知：矩形ABCD中，AB4，BC3，点M、N分别在边AB、CD上，直线MN交矩形对角线AC于点E，将AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，且点P在射线CB上（）如图，当EPBC时，求证CECN；求CN的长；（）请写出线段CP的长的取值范围，及当CP的长最大时MN的长