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1、Virial定理及Hellmann-Feynman定理的应用摘 要：Virial定理及Hellmann-Feynman定理在原子分子物理，粒子物理以及处理分子结构中得到广泛的应用。本文首先着重论述了Virial定理及Hellamnn-Feynman定理的基本内容，并分别对其进行了证明，进而通过两定理的推导过程分析两定理之间的内在联系。最后介绍了Virial定理及Hellmann-Feynman定理的推广及应用。研究得知Virial定理及Hellmann-Feynman定理用于量子体系中某些力学量平均值和能量本征值的讨论，而无需涉及研究体系能量本征函数的具体表示形式；同时Hellmann-Fey
2、nman也能够用于其它定理的证明，并且采用力学量算符对易方法，能够推导出新的能量计算公式。关键词：Virial定理；Hellmann-Feynman定理；推广；应用The applications of Virial and Hellmann-Feynman theorem Abstract: The Virial theorem and Hellmann-Feynman theorem were widely applied in the atomic and molecular physics, the particle physics and the structure of molec
3、ules. In this paper, the Virial theorem and Hellmann-Feynman theorem were introduced and proved. Furthermore, some examples were recited. In addition, the generalization of the Virial theorem and Hellmann-Feynman theorem was also given. From our study, we realize that the Virial theorem and Hellmann
4、-Feynman theorem were used in dealing with energy average values and the certification of other theorems. By the operator commutation method, we are able to obtain the new energy calculation formulas. Key words: Virial theorem; Hellman-Feynman theorem; Generalization; Applications引言当今，量子力学在科学各研究领域得到
5、了广泛的应用，它打破了我们对相当一部分自然规律的一贯认识。正如Feynman所说的那样，“要理解这个世界上我们所见到的几乎所有现象的背后，自然界真正如何运行，我们非违背常识不可”。其中，包括许多量子力学的基本定理，它们的应用极大地简化了计算，减少了运算量。本论文着重论述了Virial定理及Hellamnn-Feynman定理的基本内容，进而通过两定理的推导过程分析两定理之间的内在联系。当然，文章以实例列举了它们在计算力学量平均值以及分析体系的能级结构中的重要作用，并进一步探究两定理的推广形式，讨论它们的应用。1.定理的证明量子力学中的体系存在一种特殊的状态定态。在该态下，体系的一切力学量的平均
6、值和概率分布都将不随时间而改变。而在定态条件下，平均值随时间的变化遵循一个特殊的定理，即Virial定理。1.1 Virial定理1.1.1广义的Virial定理我们设粒子处于势场中，其Hamilton量可表示为 （1）力学量的平均值随时间的变化将遵循Ehrenfest关系，即 （2）我们对（2）式右边进行如下求解不难求出，其余项类似，于是 代入（2）式，可得 （3）对（3）式，我们已经知道，在定态下，任何力学量的平均值都不随时间变化，即有 （4） （5）结合动能平均值，可得Virial定理表达式为 （6）1.1.2狭义的Virial定理设粒子所处势场为n次齐次函数，即有 （7）简记为，则此时
7、的Virial定理可表示为 （8）对线性谐振子，即为的齐次函数，于是有；对库仑场，即为的齐次函数，于是有。1.2 Hellmann-Feynman定理束缚态下，设体系的Hamilton量中含有某参量，为的本征值，对应的归一化本征函数为，其中n为一组完备的量子数。按上述假设，我们有 （9）（7）式两边同时参量求偏导，则有整理上式，我们得到 （10）再对（8）式两边左乘左矢，可得进一步得到 （11）对（9）式左边结合为厄米算符进行化简，有于是，我们得到而与态函数无关，即 或简记为 （12）上式（12）即为Hellmann-Feynman定理，简称H-F定理。2.两定理之间的联系Virial定理和H
8、ellmann-Feynman定理之间有着较为紧密的联系，我们可以从Hellmann-Feynman定理推导出Virial定理。由（10）式我们知道Hellmann-Feynman定理向我们表示了能级对某参量的偏微分与Hamilton量对该参量的偏微分在态下的平均值之间的关系。在坐标表象中，体系的Hamilton量，我们取为参量，有 （13）由Hellmann-Feynman定理， （14）在动量表象中，体系的Hamilton量，其中仍取为参量，有 （15）同理可知 （16）由（12）、（14）两式可得 （17）此即在态下的Virial定理。分析上述求解我们知道，Virial定理可认为是Hel
9、lmann-Feynman定理的特殊形式，但有时运用Virial定理求解问题较为简洁，有时只能运用H-F定理，有时却要将两者结合起来运用。 3.定理的应用例1.质量为的粒子在中心力场（其中）中运动，证明：（1）存在束缚态的条件为;（2）在存在无数多个束缚态能级.解：（1）根据狭义的Virial定理（8）式，可知 （18）粒子能量（以动能平均值表示） （19）动能平均值0，而束缚态要求能量，即有 （20）结合题干，可得 （21）（2）由（18）式关系，粒子能量（以势能平均值表示） （22）当很大且，附近存在无数个使得，即在存在无数多个束缚态能级，证毕.例2.质量为的粒子在三维幂势中运动，试求能量
10、本征态中动能平均值和势能平均值的关系，并讨论存在束缚态的条件。解：该粒子的Hamilton算符 （23）设存在束缚态，且波函数可归一化，根据Virial定理 （24）可知动能平均值和势能平均值之间的关系为 （25）粒子能量 （26）将动能平均值和势能平均值分别用能量表示，可得 （27） （28）当时，即有，而总是正值（），总能量也为正值，即且 （29）易得当时，即有，而总是正值（），对于束缚态，总能量需满足（结合前提势能条件），即且 （30）解得整理上述情况，得 （31）例3.三维各向同性谐振子，总能量算符为，对于的共同本征态求其离心势能和径向动能平均值、. 对于束缚态，需满足，故为可能值.解
11、：三维各向同性谐振子能级 （其中） （32）谐振子的Hamilton算符 （33）根据H-F定理，可知 （34） 对和求偏导结果应相同，即有 （35）将（1）式代入（3）式，结合（4）式，可得 （36）于是我们得到如下结果 （37）该谐振子的离心势能应为，对应平均值 （38）谐振子的径向动能平均值应为 （39） 这里我们省略了标示量子数的下标或.例4.质量为的粒子在中心力场中运动，.试利用H-F定理及Virial定理分析能级构造式对于、的依赖关系.解：此中心力场恰为狭义Virial定理中的中心力场形式，根据狭义Virial定理，对于该束缚定态，存在 （40）即分别有 （41） （42）两者分别
12、对应的能级 （43） （44）将动能平均值、势能平均值以能级表示 （45） （46）粒子Hamilton量为 （47）选定某一确定值，由H-F定理，在束缚态下，有 （48） （49） （50）对求全微分 （51）移项并积分，得 （52）解得 （53）上式中为常数，此即能级构造式对于、的依赖关系.例5.类氢离子（核电荷）中电子于束缚态，计算，.解：类氢离子的能级为，（其中，Bohr半径）（54）类氢离子Hamilton量 （55）、对的情况，根据Virial定理，可得到如下关系 （56）即有 （57）而离子能量（能级） （58）由上式容易解出. （59）、对的情况，我们知道粒子球坐标下离心势能项
13、含有，于是采用球坐标系，则波函数可表示为的共同本征函数形式 （60）此时Hamilton算符可表示为 （61）满足能量本征方程 （62）取为参数，对上述求偏导，由H-F定理，有 （63）而，即对和求偏导结果相同，取为参数，于是（其中） （64）联立上述两式可得. （65）、对的情况，在中心力场中的束缚态满足如下关系 （66）当（即态）时，才不为零，即有 （67）当时，此时有 （68）而已知，于是有下述关系 （69）代入的值，解得 （70）对上式取，满足时的情形，故上式对所有均成立.4.定理的推广及应用4.1 Virial定理的推广及应用带电量为，周围有N个电子运动的体系，若忽略自旋和相对论效应
14、，对体系的任一束缚态，Virial定理将被推广至多粒子作用情形此时，总能量的Hamilton算符其中 （71） （72）我们令，则动能可表示为 （73）势能满足 （74）Coulomb势中，粒子所处势场为1次齐次函数，即仿照上述Virial定理的推导过程，我们得到 （75）而能量，于是有 （76）此即多粒子体系的Virial定理，亦即Virial定理的推广。4.2 Hellmann-Feynman定理的推广及应用4.2.1 H-F定理的推广设算符A为含参数的可观测量，H为含参数的Hamilton算符，则 （77）两边对求偏导，可得 （78）上式左乘，可得 (79）进一步简化，得结合及其复共轭，
15、于是有又算符A与Hamilton量H对易，即，于是 （80）移项为等式或简记为 （81）上式即为Hellmann-Feynman定理的推广形式。4.2.2 H-F定理的推广应用例：已知类氢离子所带电荷为，试分别求出其动能平均值和势能平均值以及动能平方的平均值和势能平方的平均值.解：对于类氢离子，其Hamilton量为 （82）对应能级为 （83）取，（6）式对求偏导，得 （84）同理，（7）式对求偏导，得 （85）由（5）式，可得 （86）取，同理可得 （87）取，（6）式对求偏导，得 （88）取，（6）式对求偏导，得 （89）化简上式，得 （90）结合例5中的结果，解得 （91） （92）5
16、.结语通过对Virial定理和Hellmann-Feynman定理的具体推导过程，我们深刻地体会到每一个定理得来过程的严谨性；通过分析两定理的关系，我们又看到了两定理的变通性和灵活性；当然，最为重要的是我们通过对五个典型例题的分析深刻体会到两定理在量子力学领域的重要应用，并试图通过对定理的合理推广发掘它的更为广阔的应用前景。可以说，两定理的应用为我们解决与力学量平均值以及能级结构相关的问题提供了一个合理的方法和途径。参考文献：1曾谨言.量子力学 卷IM.第四版.北京：科学出版社，2007.156-157,218-225.2钱伯初，曾谨言.量子力学习题精选与剖析M.第三版. 北京：科学出版社,2
17、008.3张鹏飞等.量子力学习题解答与剖析M.第一版. 北京：科学出版社,2011.4 H.Hellmann.Acta Physicochimica URSSJ. 1935,6(913).5 H.Hellmann.Acta Physicochimica URSS J. 1936,2(225).6 R.P.Feynman.Phys.Rev. J.1939,56(340).7史守华.量子力学-考研辅导教材M.北京：清华大学出版社，2003.59-60,69-70.8査新未.费曼-海尔曼定理的推广及应用J.西安邮电学院学报，2000,5（3）：60-61.9王明泉.海尔曼-费曼定理的推广和应用J.烟台师范学院学报，1992,8（4）：73-76.10马广清，肖鸿飞.计算力学量平均值的一种方法.沈阳大学学报，2005,17（2）：98-100.