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1、原创文档作者：HsinTsao 1/10 电容器的充电和放电理论计算电容器的充电和放电理论计算&仿真仿真&实验验证实验验证 将电容 C、电阻 R 和电动势为 的电源以及刀键 SW 连成图 1.1 的所示的电路。当 SW 与 a 端 接触时电容器充电，其电量从零开始增大。充电完毕后，将 SW 倒向和 b 端接触，电容器又通 过电阻 R 放电，其电量又逐渐减小。 图 1.1 充电情形：充电情形：设在充电的某一时刻电流为 i，电容器上的电量为 q，电容两极间电压为 u，则在此 时刻，整个回路以电流方向为正方向（红色标示的方向）的基尔霍夫定律KVL有以下方程 0iRu(1.1) 在充电过程中电容器上的
2、电量的增加是电流输入电荷的结果， 而且在单位时间内电量的增加就 等于电流，即 dq i dt (1.2) 电容器上电压 u 与电量 q 的关系为 q u c (1.3) 将（1.2）和（1.3）式代入(1.1)式 dqq R dtc (1.4) 结合起始条件t=0 时，q=0,可解得 (1) t RC qCe (1.5) R C SW ab -q +q ii i - - - - i - - - - 0 i ii i u 原创文档作者：HsinTsao 2/10 并可由此得 t RC dq ie dtR (1.6) (1) t RC q ue C (1.7) 以下为对(1.5)等式的推导过程 以
3、下为对(1.5)等式的推导过程 为使整个推导过程清晰和方便阅读，现将(1.4)式重写如下 dqq R dtc (1.4) 对上式等号两边同时乘以C（C为电容器容量） ， dq RCqC dt (1.8) 对 (1.8)式移项变换得 dq RCCq dt 11 dqdt CqRC (1.9) 对 (1.9)式等式两边取积分 11 dqdt CqRC (1.10) 求解(1.10)等式的右半部分不定积分得 1t dtM RCRC （注：M为常数项 ） (1.11) 求解(1.10)等式的左半部分不定积分：令 11 Cqy ，则yCq ，1 dy dq 原创文档作者：HsinTsao 3/10 11
4、11 ( 1)( 1)dqCq dqdydy CqCqyy ln|ln|yNCqN 即 1 dq Cq ln|CqN（注：N为常数项 ） (1.12) 由(1.10)、(1.11)和(1.12)有 ln| t MCqN RC 即 ln| t CqMN RC （注：M、N为常数项 ） (1.13) 因为()CqCuCCu 且u （u为电容器两极的电压,不可能超过电 动势为 的电源） ，所以0Cq () t MN RC Cqe （注：M、N为常数项 ） (1.14) 结合给出的初始条件电容器在t=0时,q=0,代入(1.14)得 0 () 0 MN RC Ce ()MN eC (1.15) 如果初
5、始条件电容器在t=0时，q=Q0(即电容器初始电压不为零，设为U0= Q0/C，由(1.14)有 () 0 MN eCQ (1.16) 据(1.14)和(1.15)式可求得（初始条件t=0 时,q=0，即电容器两极的电压为零） ()() () ttt MNMN MN RCRCRC qCeCeCee (1) tt RCRC CCeCe 即 (1) t RC qCe (1.5)推导完成 原创文档作者：HsinTsao 4/10 据(1.14)和(1.16)式可求得（初始条件t=0 时，q=Q0，即电容器两极的电压不为零） 000 ()(1)( tt RCRC CQCQqCeeQ (1.17_1)
6、0 00 0 (1)(1)()() tt RCRC t Q uu Qq ue CC e C (1.17_2) 据（1.5） 、 （1.6）和（1.7）式分析（为方便阅读分析重写以上表达式如下） ： (1) t RC qCe (1.5) t RC dq ie dtR (1.6) (1) t RC q ue C (1.7) 由以上三式可知，电量、电流和电压均按指数规律变化，电量由零增大到最大值 Q=C，电流 由最大值 /R 减小到零， 电容器两端电压由零增大到最大值 u=。 变化的快慢由乘积 RC 决定， 这一乘积叫做电路的时间常量。以 表示时间常量，=RC。 的意义表示当经过时间 时，电 量将增
7、大到与最大值的差值为最大值的 1/e 倍（约 37%） ，而电流减小到它的最大值的 1/e 倍。 从（1.5）、（1.6）和（1.7）式来看，只有当 t时，电量、电压才能达到最大值，而 电流才减小到零。但是实际上，当 t=10 时，由于 e -101/(2X 104),电量、电压已增大到离最 大值不到它的二万分之一， 而电流已降到了初值的二万分之一以下。 实际上可以认为充电完毕。 放电情形：放电情形：图 1.1 中电容充电至带电量为 Q 后，如果将 SW 倒向 b 边，则电容器开始放电。以 电流方向为回路的正方向（绿色标示的方向），在电容的电量为 q 而电流为 i 时的基尔霍夫第 二方程为 0
8、iRu (1.18) 此时的电流 i 应等于电容器的电量的减少率，即 dq i dt (1.19) 原创文档作者：HsinTsao 5/10 而 q u C ，和(1.19)式代入式(1.18)则有 0 dqq R dtC (1.20) 结合起始条件 t=0 时，q=Q,可解得 t RC qQe (1.21) 可进一步得出 t RC Q ie RC (1.22) tt RCRC qQ ueUe CC （注：U 为 t=0 时刻电容器两极的电压） 即 t RC uUe (1.23) 以下为对(1.21)等式的推导过程 以下为对(1.21)等式的推导过程 为使整个推导过程清晰和方便阅读，现将(1.
9、20)式重写如下 0 dqq R dtC (1.20) 对(1.20)式变换 11 dqdt qRC (1.24) 对 (1.24)式等式两边取积分 11 dqdt qRC (1.25) 求解(1.25)等式的右半部分不定积分得 1 () t dtM RCRC （注：M为常数项 ） (1.26) 原创文档作者：HsinTsao 6/10 求解(1.25)等式的左半部分不定积分得 1 ln|dqqN q （注：N为常数项 ） (1.27) 据(1.25)、(1.26)和(1.27)有 ln|() t qNM RC ln| t qMN RC （注：M、N为常数项，且q0 ） t MN RC qe
10、(1.28) 结合给出的初始条件电容器在 t=0 时,q=Q,代入(1.28)得 0 MN MN RC Qee (1.29) 据(1.28)和(1.29)式可求得（初始条件 t=0 时,q=Q） ttt MN MN RCRCRC qeeeQe 即 t RC qQe (1.21)推导完成 据（1.21） 、 （1.22）和（1.23）式分析（为分析方便重写以上表达式如下） ： t RC qQe (1.21) t RC Q ie RC (1.22) t RC uUe (1.23) 注：U 为 t=0 时刻电容器两端的端电压 据以上三式可知，电量、电流和电压均按指数规律变化，时间常数也是 =RC。
11、原创文档作者：HsinTsao 7/10 仿真分析（基于 Pspice，Cadence_SPB16.5_P003） 仿真分析（基于 Pspice，Cadence_SPB16.5_P003） 图 1.2 电容器充电仿真电路原理图 图 1.3 电容器充电时两极电压 Vs 充电时间（初始条件 t=0,q=0，10） 图 1.4 电容器充电时两极电压 Vs 充电时间（初始条件 t=0,q=0，1） R1 10k C1 10u V1 12Vdc 0 U3 TCLOSE = 0.1 12 U4 TOPEN = 0.1 12 V R2 10 原创文档作者：HsinTsao 8/10 图 1.5 电容器放电仿
12、真电路原理图 图 1.6 电容器放电时两极电压 Vs 充电时间（初始条件 t=0,q=Q，10） 图 1.7 电容器放电时两极电压 Vs 充电时间（初始条件 t=0,q=Q，1） R1 10k C1 10u V1 12Vdc 0 U1 TCLOSE = 2 12 U2 TOPEN = 2 12 R2 10 V 原创文档作者：HsinTsao 9/10 图 1.8 电容器充电仿真电路原理图（初始条件 t=0,q=Q） 图 1.9 电容器充电时两极电压 Vs 充电时间（初始条件 t=0,q=Q（即 UO=6V） ，10） 图 1.10 电容器充电时两极电压 Vs 充电时间（初始条件 t=0,q=Q（即 UO=6V） ，1） R1 10k C1 10u V1 12Vdc 0 U3 TCLOSE = 0.1 12 U4 TOPEN = 0.1 12 R2 10 R3 10 V 原创文档作者：HsinTsao 10/10 实验验证 实验验证 图 1.11 电容器充电时两极电压 Vs 充电时间（初始条件 t=0,q=0即 UO=0V，10） 图 1.12 电容器充电时两极电压 Vs 充电时间（初始条件 t=0,q=Q即 UO=6V ，10） 图 1.13 电容器放电时两极电压 Vs 放电时间（初始条件 t=0,q=Q即 UO=12V ，10）