第二章 静电场理论.pdf

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1、第二章 静电场理论第二章 静电场理论 1、电荷与电场、电荷与电场 2、导体与电场、导体与电场 3、电介质与电场、电介质与电场 4、电场能、电场能 5、静电驰豫、静电驰豫 1、电荷与电场、电荷与电场 库仑定律库仑定律 1875年，库仑在实验研究的基础上，总结出 点电荷间相互作用力，库仑定律： 年，库仑在实验研究的基础上，总结出 点电荷间相互作用力，库仑定律： 21 2 0 21 12 4 r r qq F r = 为相对介电常数 r mF /1085. 8 12 0 = F12为点电荷为点电荷2对点电荷对点电荷1的作用力，的作用力，q1和和q2分别 为两个点电荷的电量， 分别 为两个点电荷的电量

2、， 电场电场 在带电体周围存在着电场，其它带电体所受到的电 力（即电场力）是电场给予的。这种作用可表示如下： 在带电体周围存在着电场，其它带电体所受到的电 力（即电场力）是电场给予的。这种作用可表示如下： 电荷场电荷 电荷激发电场，电场对处于其中的其它电荷具有作 用力。 电荷激发电场，电场对处于其中的其它电荷具有作 用力。 场与分子、原子等组成的实物一样，也具有能量、 动量和质量，所以，场也是一种物质。相对于观察者 为静止的电荷或带电体周围所存在的场。称为静电场。 场与分子、原子等组成的实物一样，也具有能量、 动量和质量，所以，场也是一种物质。相对于观察者 为静止的电荷或带电体周围所存在的场。

3、称为静电场。 电场强度电场强度 （1）试验电荷）试验电荷 尺寸小，看成点电荷；尺寸小，看成点电荷； 电量少，对被测电场影响小。电量少，对被测电场影响小。 （2）点电荷电场中的场强）点电荷电场中的场强 r r q q F E r 4 2 00 = r （3）多个点电荷组成系统的场强）多个点电荷组成系统的场强 i ir i n i n r r q EEEE 4 2 01 21 = =+= r L rrr （4）电力线）电力线 由正电荷出发终止于负电荷。由正电荷出发终止于负电荷。 从带电量从带电量qC的电荷发出的电力线数为的电荷发出的电力线数为q/根。根。 电力线在某点的密度表示该点场强的大小。电力

4、线在某点的密度表示该点场强的大小。 电力线上各点的切线方向为该点的电场方向。电力线上各点的切线方向为该点的电场方向。 电位、电势差电位、电势差 = = qp p p dlEdlEqUpUpqU dlEUpU )()()( )( 电位（势）差： 电位（势）： 若是点电荷：若是点电荷： qrpr prr p r q r q qUpUpqU r q EdrUpU p 00 0 44 )()()( 4 )( = = 电位（势）差： 电位（势）： 若是多点电荷：若是多点电荷： = i i rir i r p r q r q EdrUpU p 00 4 1 4 )(电位（势）： 即电位的叠加为代数和的叠加

5、。等势面即电位的叠加为代数和的叠加。等势面 在均匀电场中，如果用在均匀电场中，如果用L表示由表示由a点，沿电力线 方向到 点，沿电力线 方向到b点的距离，其间电压为点的距离，其间电压为 Uab=E L 式中，式中，Uab静电电压（静电电压（V） E电场强度（电场强度（V/m） La与与b点之间距离（点之间距离（m） 在电场中，电压是电场力对单位正电荷所做的功。在电场中，电压是电场力对单位正电荷所做的功。 高斯定理高斯定理 在电场中任一点取一面积元在电场中任一点取一面积元ds与该点场强方向垂直， 设穿过 与该点场强方向垂直， 设穿过ds的电力线有的电力线有dN条，则比值条，则比值dN/ds叫该点

6、的电力 线数密度。电场中任一点的电力线数密度与该点的场强 大小成比例，若令比例系数为 叫该点的电力 线数密度。电场中任一点的电力线数密度与该点的场强 大小成比例，若令比例系数为1，则有：，则有： SdEEdsdN ESd ds dN E rr rr = = cos 的方向不垂直，则有：与场强如果 dN这个物理量称为电通量，穿过曲面这个物理量称为电通量，穿过曲面S的总电通量为的总电通量为 = )(S SdEN rr 高斯定理表述：高斯定理表述：通过电场中任意闭合曲面通过电场中任意闭合曲面S的总电 通量 的总电 通量N等于该面包围的所有电荷的代数和等于该面包围的所有电荷的代数和qiqi除以除以 0

7、 0，即：，即： = )(0 1 S i i qSdEN rr 高斯定理反映了电通量及其高斯定理反映了电通量及其“源源”之间的关系之间的关系。积分 形式的高斯定理表示一个大范围的关系，对场的研究 还要知道高斯定理的微分形式。 。积分 形式的高斯定理表示一个大范围的关系，对场的研究 还要知道高斯定理的微分形式。 为了确定电场中某点附近通量及其源之间的关系，把 闭合面缩小，使包括这点在内的体积 为了确定电场中某点附近通量及其源之间的关系，把 闭合面缩小，使包括这点在内的体积V趋近于零，再 取下面的极限： 趋近于零，再 取下面的极限： V SdE s V )( 0 lim rr 这个极限值称为场强矢

8、量这个极限值称为场强矢量E在该点的散度，记为在该点的散度，记为 divE或或EE，即，即 V SdE Ediv s V = )( 0 lim rr r 由此可见，电场中某点场强由此可见，电场中某点场强E的散度，即为该点电通 量密度的极限值，它是一个标量，单位为 的散度，即为该点电通 量密度的极限值，它是一个标量，单位为V/m2。 把高斯定理应用于此小闭合面，则得把高斯定理应用于此小闭合面，则得E的的散度散度为为 0 0 0 )( 0 / limlim = = = V q V SdE EdivE V s V rr rr 即电场中某点电场强度即电场中某点电场强度E的散度等于该点上电荷密 度 的散度

9、等于该点上电荷密 度和真空介电常数和真空介电常数0 0的比值。 在均匀介质中高斯定理的微分形式为 的比值。 在均匀介质中高斯定理的微分形式为 =E r 上式指出电场的某点上上式指出电场的某点上00，即，即正正电荷存在，电荷存在，divE0divE0，表示 该点有 ，表示 该点有E E通量发出；电场的某点上通量发出；电场的某点上0，即，即负负电荷存在，电荷存在， divE0，表示有，表示有E通量终止于该点；电场的某点上通量终止于该点；电场的某点上=0，即，即无无 电荷存在，电荷存在，divE=0，E通量是连续的，电力线只是通过该点。通量是连续的，电力线只是通过该点。 将空间一点的电位将空间一点的

10、电位代入上面两个微分公式，得代入上面两个微分公式，得 （有空间电荷）泊松方程： （没有空间电荷）拉普拉斯方程： 0 2 2 0)( = =graddiv 静电场环路定理和旋度静电场环路定理和旋度 旋度所反映的是场的环流性质。静电场的电力线分 布是没有漩涡状结构，因而可以推想静电场是无旋的。 通过点电荷的库仑定律公式可以证明（略），得到： 旋度所反映的是场的环流性质。静电场的电力线分 布是没有漩涡状结构，因而可以推想静电场是无旋的。 通过点电荷的库仑定律公式可以证明（略），得到： =0l dE rr 把上式化为微分形式就可以求出静电场旋度：把上式化为微分形式就可以求出静电场旋度： 0 max 0

11、 0lim 0 = = = = E ErotE S ldEn S r vr vr r 电场力的功电场力的功 先分析试验电荷先分析试验电荷q0在电场中沿某一路径从一点移到 另一点时，电场力所做的功， 在电场中沿某一路径从一点移到 另一点时，电场力所做的功， = b a ab l dEqA vr 0 电压电压 ba ba b a ab ab UU rr q l dE q A V= = 11 4 00 rr 2、导体与电场、导体与电场 导体上的电荷分布导体上的电荷分布 导体内部存在的自由电荷，在电场的作用下要发生 移动，从而改变其电荷分布，电荷分布的改变又将影 响电场的分布。当电荷和电场达到平衡分布

12、时，电荷 不在发生移动，电荷静止的条件是导体内部电场强度 处处为零。即： 导体内部存在的自由电荷，在电场的作用下要发生 移动，从而改变其电荷分布，电荷分布的改变又将影 响电场的分布。当电荷和电场达到平衡分布时，电荷 不在发生移动，电荷静止的条件是导体内部电场强度 处处为零。即： 0 , 0 0 0 = = = Ediv E EgradUU r r r 有：静电平衡，导体内部 一定， 导体导体 静电平衡：静电平衡： （1）导体内部任意一点的电场强度等于零。）导体内部任意一点的电场强度等于零。 （2）导体表面上任一点的场强必定垂直于导体表面。）导体表面上任一点的场强必定垂直于导体表面。 （3）导体

13、在平衡条件下是等位体，导体表面是等位面。）导体在平衡条件下是等位体，导体表面是等位面。 （4）在静电平衡条件下，电荷都分布在导体的表面 上，导体内部任一小体积元内的净电荷等于零。 ）在静电平衡条件下，电荷都分布在导体的表面 上，导体内部任一小体积元内的净电荷等于零。 （5）导体在电场中达到静电平衡时，其表面上电荷的 分布不一定是均匀的，一般地讲，表面曲率大的地方， 电荷密度大；表面曲率小的地方，电荷密度小。 ）导体在电场中达到静电平衡时，其表面上电荷的 分布不一定是均匀的，一般地讲，表面曲率大的地方， 电荷密度大；表面曲率小的地方，电荷密度小。 静电感应静电感应 =0 E=0 =0 E=0 -

14、 - - - + + + + 处在电场中的孤立导体，则外加电场对导体的自由电子将产生 力的作用，使它们逆着电场的方向运动。结果是导体的一端出现 负电荷，而另一端出现正电荷，这种现象称为静电感应。见图示。 处在电场中的孤立导体，则外加电场对导体的自由电子将产生 力的作用，使它们逆着电场的方向运动。结果是导体的一端出现 负电荷，而另一端出现正电荷，这种现象称为静电感应。见图示。 当外电场撤掉时，正、负感应电荷中和。静电感应可以使原来 不带电的物体发生电荷的重新分布，在外力的作用下变为静电带 电体，也可能形成局部静电放电，在分析静电危害和防护时应特 别注意。 当外电场撤掉时，正、负感应电荷中和。静电

15、感应可以使原来 不带电的物体发生电荷的重新分布，在外力的作用下变为静电带 电体，也可能形成局部静电放电，在分析静电危害和防护时应特 别注意。 静电屏蔽静电屏蔽 由导体静电平衡的条件和特点可知，导体在电场中达 到静电平衡后，导体内部任何点的场强均为零。所以， 导体外部的电力线只能终止 由导体静电平衡的条件和特点可知，导体在电场中达 到静电平衡后，导体内部任何点的场强均为零。所以， 导体外部的电力线只能终止(或起始或起始)于导体表面，并与 导体表面垂直，不能穿过导体进入内部。也就是说，空 腔导体内部的物体不会受到外部电场的影响。 于导体表面，并与 导体表面垂直，不能穿过导体进入内部。也就是说，空

16、腔导体内部的物体不会受到外部电场的影响。 空腔导体使其内部不受外电场影响的性质叫静电屏蔽。空腔导体使其内部不受外电场影响的性质叫静电屏蔽。 在静电防护领域，为了使对静电敏感的器件不受外界 静电场的影响，通常将敏感器件装在屏蔽袋中。 在静电防护领域，为了使对静电敏感的器件不受外界 静电场的影响，通常将敏感器件装在屏蔽袋中。 如果空腔导体不接地，虽然可以屏蔽外电场，但 当空腔内有电荷存在 如果空腔导体不接地，虽然可以屏蔽外电场，但 当空腔内有电荷存在(净电荷不为零净电荷不为零)时，空腔导体 内部的电荷会在导体外部激发电场。 时，空腔导体 内部的电荷会在导体外部激发电场。 当导体接地时，不仅导体外部

17、的电场对空腔内部 无影响，而且导体壳内的电荷对导体外部空间也无 影响，这也是一种静电屏蔽。 当导体接地时，不仅导体外部的电场对空腔内部 无影响，而且导体壳内的电荷对导体外部空间也无 影响，这也是一种静电屏蔽。 这是接地导体对其内部电荷的屏蔽。这是接地导体对其内部电荷的屏蔽。 外表面不接地外表面不接地外表面接地外表面接地 静电屏蔽腔静电屏蔽腔 3、电介质与静电场、电介质与静电场 电介质的极化电介质的极化 电介质是指导电率很小的物质。其特点是分子中正 负电荷束缚的很紧，在一般条件下，正负电荷不能 分离，因而介质内部自由电荷极少，导电能力很弱。 电介质是指导电率很小的物质。其特点是分子中正 负电荷束

18、缚的很紧，在一般条件下，正负电荷不能 分离，因而介质内部自由电荷极少，导电能力很弱。 电介质的种类电介质的种类 无极分子电介质和有极分子电介质。无极分子电介质和有极分子电介质。 无极分子无极分子的正负电荷中心在无外电场存在时是重 合的，整个分子没有电偶极矩，如 的正负电荷中心在无外电场存在时是重 合的，整个分子没有电偶极矩，如H2、N2和和CCl4等。 这类分子在外电场作用下，分子中正负电荷中心将 发生相对位移形成电偶极子（矩）， 等。 这类分子在外电场作用下，分子中正负电荷中心将 发生相对位移形成电偶极子（矩），电偶极矩方向 与外电场方向相同， 电偶极矩方向 与外电场方向相同，在电介质内部正

19、负电荷互相抵 消呈电中性，只有介质的两个与外电场方向垂直的 端面出现电荷，称为电介质极化。无极分子电介质 这种极化方式称为 在电介质内部正负电荷互相抵 消呈电中性，只有介质的两个与外电场方向垂直的 端面出现电荷，称为电介质极化。无极分子电介质 这种极化方式称为位移极化位移极化。 有极分子有极分子的正负电荷中心即使在无外电场存在时 也是不重合的，如 的正负电荷中心即使在无外电场存在时 也是不重合的，如H2O等。但是由于分子热运动物 规则，平均电偶等于零，宏观上不显电性。在外电 场作用下，每个分子的 等。但是由于分子热运动物 规则，平均电偶等于零，宏观上不显电性。在外电 场作用下，每个分子的电偶极

20、矩都受一个力矩作用 使分子电矩转向电场方向 电偶极矩都受一个力矩作用 使分子电矩转向电场方向，这样所有分子固有电矩 的矢量和就不等于零，但这种偏转是不完全的，随 外电场强度变化。对于整个电介质来说，在与外电 场方向垂直的端面出现电荷，称为电介质极化。有 极分子电介质这种极化方式称为 ，这样所有分子固有电矩 的矢量和就不等于零，但这种偏转是不完全的，随 外电场强度变化。对于整个电介质来说，在与外电 场方向垂直的端面出现电荷，称为电介质极化。有 极分子电介质这种极化方式称为取向极化取向极化。 电极化强度电极化强度 当电介质处于极化状态时，在电介质内部任一宏 观小体积元 当电介质处于极化状态时，在电

21、介质内部任一宏 观小体积元VV内分子的电极矩矢量和不等于零。为 了定量描述电介质的极化程度，引入一个矢量 内分子的电极矩矢量和不等于零。为 了定量描述电介质的极化程度，引入一个矢量P P，它 等于电介质单位体积内分子电矩的矢量和， 即： ，它 等于电介质单位体积内分子电矩的矢量和， 即： EP V p P V rr r r 0 0 lim = = 电介质极化程度电介质极化程度P P与电场强度与电场强度E E成正比，成正比，称为介 质的电极化率，与 称为介 质的电极化率，与E E无关，与介质种类有关。无关，与介质种类有关。 束缚电荷束缚电荷 电介质极化，在电介质表面产生束缚电荷。如果 非均匀的电

22、介质，除了电介质表面出现极化电荷， 在电介质内部也将产生体极化电荷。 那么束缚电荷与极化强度是什么关系， 电介质极化，在电介质表面产生束缚电荷。如果 非均匀的电介质，除了电介质表面出现极化电荷， 在电介质内部也将产生体极化电荷。 那么束缚电荷与极化强度是什么关系， )( )( 微分形式束缚电荷密度： 积分形式束缚电荷： P SdPdVq p Sv p r rr = = 对于介质表面，束缚电荷面密度与极化强度关系是：对于介质表面，束缚电荷面密度与极化强度关系是： np PPnP=cos r r 束缚电荷也会产生电场，因此电介质内部的电场 是外加电场和极化电荷电场的叠加。设外电场强 度为 束缚电荷

23、也会产生电场，因此电介质内部的电场 是外加电场和极化电荷电场的叠加。设外电场强 度为E0，极化电荷产生的附加电场强度为，极化电荷产生的附加电场强度为E，而 电介质的合成场强为 ，而 电介质的合成场强为E，那么三者有如下的关系：，那么三者有如下的关系： r EE EEE / 0 0 r rrr = += 电位移矢量电位移矢量 应用高斯定理应用高斯定理 ED EEEPED qSdD PED qSdPE qq SdE r r S S S rr rrrrrr rr rrr rrr rr = += =+ +=+=+= = += =+ + = )1(1 )1( )1( )( )( 00 0000 0 0

24、0 的值是大于 介质中的高斯定理 静电场的边界条件静电场的边界条件 当计算分区均匀介质中的电场时，必须知道在经过 两种媒质分界面时，场强 当计算分区均匀介质中的电场时，必须知道在经过 两种媒质分界面时，场强E和电位移矢量和电位移矢量D将如何变化。将如何变化。 1 2 2 1 2211 21 21 r r n n nrnr nn tt E E EE DD D EE D = = = 法线分量连续，即：电荷，电位移矢量介质分界面上没有自由 即：的切线矢量分量连续，电场强度矢量 r r 即相对介电常数大的，介质中电场强度的法向矢量小。对 于平行板电场，电场的法向矢量即为电场强度。 即相对介电常数大的，

25、介质中电场强度的法向矢量小。对 于平行板电场，电场的法向矢量即为电场强度。 电容和部分电容电容和部分电容 12 21 0 0 12 4 2 ln /ln 2 4 RR RR C R h C RR C d S C rC V Q C = = = = = = 球形电容器： ：两根输电线之间的电容 同轴圆柱电容器： 平行板电容器： 孤立导体球的电容： 式中式中d是平行板距离，两轴线之间距离是平行板距离，两轴线之间距离2h。 部分电容（或称分布电容）：部分电容（或称分布电容）： 在静电防护工程中，经常会遇到在静电防护工程中，经常会遇到多个未接地导体多个未接地导体的情况。 当研究其中某两个导体间的静电放电

26、时，不仅需要了解研究 对象之间的关系，还要 的情况。 当研究其中某两个导体间的静电放电时，不仅需要了解研究 对象之间的关系，还要考虑周围导体对研究对象的影响考虑周围导体对研究对象的影响，这 就要利用部分电容的概念。 当一群（ ，这 就要利用部分电容的概念。 当一群（n个n个）导体存在时，由场的叠加原理可知，其中任 一个导体（第 ）导体存在时，由场的叠加原理可知，其中任 一个导体（第i i个导体）的电位不仅和该导体上的电荷个导体）的电位不仅和该导体上的电荷QiQi有 关，而且也和其余各导体上的电荷有关。此时电位和电荷的 关系是线性的，即： 有 关，而且也和其余各导体上的电荷有关。此时电位和电荷的

27、 关系是线性的，即： = = n j iiji QU 1 式中式中ijij称为电位系数。称为电位系数。 该公式叫做麦克斯韦的静电方程式该公式叫做麦克斯韦的静电方程式 电位系数电位系数ijij具有相同下标时，如具有相同下标时，如iiii在数值上等于 当导体 在数值上等于 当导体i i上的电荷为上的电荷为1 1而其余各导体上的电荷等于而其余各导体上的电荷等于零零时 导体 时 导体i i的电位值；具有不同下标时，如的电位值；具有不同下标时，如ijij，在数值上 等于当导体 ，在数值上 等于当导体j j上的电荷为上的电荷为1 1而其余各导体上电荷为而其余各导体上电荷为零零时 在导体 时 在导体i i上

28、的电位值。上的电位值。iiii的值永远是正的。根据互换 原理，具有同样两个数字下标但排列次序不同的 的值永远是正的。根据互换 原理，具有同样两个数字下标但排列次序不同的值 是相等的，即 值 是相等的，即 jiij = 有时已知的不是各导体上的电荷，而是各导体的电位，可 得到各导体上的电荷值， 有时已知的不是各导体上的电荷，而是各导体的电位，可 得到各导体上的电荷值， = = n j jiji UQ 1 式中式中ijij称为电容系数。称为电容系数。 该公式叫做麦克斯韦的静电方程式的另一种形式。该公式叫做麦克斯韦的静电方程式的另一种形式。 电容系数电容系数ijij具有相同下标时，如具有相同下标时，

29、如iiii，在数值上等于当导 体 ，在数值上等于当导 体i i上的电位为上的电位为1 1而其余各导体上的电位等于而其余各导体上的电位等于零零时导体时导体i i的电荷 量；具有不同下标时，如 的电荷 量；具有不同下标时，如ijij，在数值上等于当导体，在数值上等于当导体j j上的电 位为 上的电 位为1 1而其余各导体上电位为而其余各导体上电位为零零时在导体时在导体i i上的电荷量。上的电荷量。ii 的值永远是正的，而ij的值永远是负的。 ii 的值永远是正的，而ij的值永远是负的。根据互换原理， 具有同样两个数字下标但排列次序不同的 根据互换原理， 具有同样两个数字下标但排列次序不同的值是相等

30、的。值是相等的。 jiij = iii n j jiij n j iij n j jiiji UCUUCUUUQ+=+= =111 )()( 如果上面的电荷和电位方程中的如果上面的电荷和电位方程中的U U不用绝对电位值表示，而 用各导体互相间的电位差表示，则变成 不用绝对电位值表示，而 用各导体互相间的电位差表示，则变成 (1) C C和和之间显然存在着下列关系，即之间显然存在着下列关系，即 = = = n j ijii ijij C C 1 具有相同下标具有相同下标CijCij，如，如CiiCii，其数值等于全部导体的电位均为，其数值等于全部导体的电位均为 1 1时导体时导体i i的电荷量；

31、具有不同下标的的电荷量；具有不同下标的CijCij，如，如CijCij，其数值等于 当导体 ，其数值等于 当导体j j上的电位为上的电位为1 1而其余各导体上电位为而其余各导体上电位为零零时在导体时在导体i i上的 电荷量（但符号相反）。具有同样两个数字下标但排列次序 不同的 上的 电荷量（但符号相反）。具有同样两个数字下标但排列次序 不同的CijCij值是相等的,即值是相等的,即Cij=CjiCij=Cji 如图所示的电容网络方程式和（1）是完全一样的，因此各如图所示的电容网络方程式和（1）是完全一样的，因此各C C 值的意义也应当是一样的。这些电容叫做部分电容，值的意义也应当是一样的。这些

32、电容叫做部分电容， CijCij叫做导体叫做导体i i和和j j之间的部分电容（之间的部分电容（i i和和j j间的互部分电容）；间的互部分电容）； CiiCii叫做导体叫做导体i i和大地之间的部分电容（和大地之间的部分电容（i i的自部分电容）。 因此在导体群中不能只谈一个导体的电容是多少，而应该研 究一个导体和其它各导体之间的部分电容是多少。 的自部分电容）。 因此在导体群中不能只谈一个导体的电容是多少，而应该研 究一个导体和其它各导体之间的部分电容是多少。 C11 Cii Cjj C1j C1i Cij U1Uj Ui 由部分电容形成的网络由部分电容形成的网络 自部分电容：自部分电容：

33、在多导体系中，某导体在多导体系中，某导体i中的自部分 电容 中的自部分 电容Cii，是指该导体和参考导体（大地）之间的部 分电容。在数值上等于导体系中各导体与参考导体 （大地）之间均建立 ，是指该导体和参考导体（大地）之间的部 分电容。在数值上等于导体系中各导体与参考导体 （大地）之间均建立1V的电位差时，导体的电位差时，导体i上的电 荷量。 互部分电容：它是多导体系中，任意两导体 上的电 荷量。 互部分电容：它是多导体系中，任意两导体i和和j 之间的部分电容之间的部分电容Cij。在数值上等于导体。在数值上等于导体j的电位为的电位为 1V，而其余各导体的电位均为零时，在，而其余各导体的电位均为

34、零时，在i导体上感 应的电荷量的负值。 导体上感 应的电荷量的负值。 例题：已知两个孤立小球的带电体系，如图所示，半径为例题：已知两个孤立小球的带电体系，如图所示，半径为r r，间距 为 ，间距 为d d，d rd r，两球电位分别为，两球电位分别为U1U1和和U2U2。求两个小球的部分电容。求两个小球的部分电容。 d Q1Q2 根据叠加原理可得根据叠加原理可得U1U1和和U2U2的表达式的表达式 r Q d Q U d Q r Q U 44 ; 44 21 2 21 1 + 解得：解得： r d r d r rd dr CC r rd rd C rd rd C rd dr rd rd U d

35、 r U rd rd QU d r U rd rd Q 4 44 4 4 ; 4 4 ; 4 )( 4 );( 4 2 22 2 1221 222122121111 22 2 2112 22 2 2211 12 22 2 221 22 2 1 = = + =+= + =+= = = 所以 即 可见，当有两个球存在时，每个球的自部分电容可见，当有两个球存在时，每个球的自部分电容C11C11要比只有一个 球时稍小一些，这是因为两个球的电场相互排斥的关系。一般 来说，当导体间的距离大于导体本身的尺寸时，导体群中每个 导体对大地的自部分电容 要比只有一个 球时稍小一些，这是因为两个球的电场相互排斥的关

36、系。一般 来说，当导体间的距离大于导体本身的尺寸时，导体群中每个 导体对大地的自部分电容CmmCmm约为该导体孤立存在时电容约为该导体孤立存在时电容C C的 50%-99%。 的 50%-99%。 C12C11C12C11的事实说明，在导体间的距离比导体本身的尺寸大 得多的情况下，导体间的互部分电容 的事实说明，在导体间的距离比导体本身的尺寸大 得多的情况下，导体间的互部分电容CmnCmn要比导体对大地的自 部分电容 要比导体对大地的自 部分电容CmmCmm或或CnnCnn小得多，显然小得多，显然CmnCmn也要比当各导体孤立时各 自的电容值 也要比当各导体孤立时各 自的电容值C C小得多。小

37、得多。C12C12之所以这样小，它不过等于当之所以这样小，它不过等于当U1=0U1=0， U2=+1U2=+1时在导体时在导体1 1上被感应的电量上被感应的电量-Q-Q。由于大地的面积要比球。由于大地的面积要比球1 1 大得多，所以此时从导体大得多，所以此时从导体2 2出发的总电通量绝大部分都终止到 大地上，而只有一少部分是终止到球 出发的总电通量绝大部分都终止到 大地上，而只有一少部分是终止到球1 1上称为上称为-Q-Q，所以，所以|Q1| Q2 |Q1| Q2，于是，于是C12C12就很小了。就很小了。 4、静电场的能量 静电能量是静电控制技术或静电防灾工作中的重要 数据之一。 、静电场的

38、能量 静电能量是静电控制技术或静电防灾工作中的重要 数据之一。 点电荷系统的静电场能量点电荷系统的静电场能量 均匀介质中均匀介质中n个点电荷的静电场能量等于把个点电荷的静电场能量等于把n个点电 荷从无限远处移放在它们最后位置上所需要做的功。 个点电 荷从无限远处移放在它们最后位置上所需要做的功。 = = n i iie UqW 1 2 1 如果知道一组点电荷的各自电量和对应点处的电位 （其他点电荷在该点处建立的电位），就可以计算出 该点电荷系统的静电储能。 如果知道一组点电荷的各自电量和对应点处的电位 （其他点电荷在该点处建立的电位），就可以计算出 该点电荷系统的静电储能。 电荷连续分布时的静

39、电场的能量电荷连续分布时的静电场的能量 可以设想不断把电荷元可以设想不断把电荷元dVdV从无穷远处移到物体 上，把上面的求和改成积分形式，得到电荷连续分布 时的电场能量 从无穷远处移到物体 上，把上面的求和改成积分形式，得到电荷连续分布 时的电场能量 vUdW V e = 2 1 如果电荷具有面分布，则有如果电荷具有面分布，则有 sUdW S e = 2 1 n个导体组成的带电系统的静电场能量n个导体组成的带电系统的静电场能量 这种情况可以由导体的性质和电荷面分布电场能 量计算出 这种情况可以由导体的性质和电荷面分布电场能 量计算出 sUdsUdsUdW n SSS e += 2 1 2 1

40、2 1 21 K 式中式中S1、S2、SnS1、S2、Sn为各导体的表面。由于每一 个导体表面都是等位面，所以对于 为各导体的表面。由于每一 个导体表面都是等位面，所以对于k k号导体，其电场 能量为 号导体，其电场 能量为 sUdsUdsUdW n SSS e += 2 1 2 1 2 1 21 K n n个导体总的电场能量为个导体总的电场能量为 = = n k kke UqW 1 2 1 电容器的储能电容器的储能 可以利用计算带电导体静电能公式计算电容器 的静电场储能的能量 可以利用计算带电导体静电能公式计算电容器 的静电场储能的能量 C q CVW qVUUqUqqUW ee ee 2

41、2 2121 2 1 2 1 2 1 )( 2 1 )( 2 1 2 1 = =+= 若电极面积为若电极面积为S、电极间间距为、电极间间距为l的平行板电容器的 极板上储有的电荷（忽略边缘效应），则可求： 的平行板电容器的 极板上储有的电荷（忽略边缘效应），则可求： S Q l lU F SQVlUu SlQQlVlU lSlVQlC SQlEllV SQE SQ 0 2 2 0 2 0 2 0 0 00 2 )( )2/()(/ )( )2/(2/)()( /)(/)( )/()( )/(/ / = = = = = = = = ：作用在极板上的静电力 体积能量密度： 能量： 电容： 电位差：

42、电场强度： 电极的面电荷密度： 5、静电驰豫、静电驰豫 驰豫过程：驰豫过程：由非平衡状态变化为平衡状态，或由不稳定状态变 化为稳定状态的过程，或称由暂态转变到稳态的过程。 由非平衡状态变化为平衡状态，或由不稳定状态变 化为稳定状态的过程，或称由暂态转变到稳态的过程。 静电驰豫：静电驰豫：静电状态由不稳定状态变化为稳定状态的现象，称 为静电驰豫。 静电状态由不稳定状态变化为稳定状态的现象，称 为静电驰豫。 迁移率：迁移率：媒质中的自由电荷在电场作用下沿电场方向移动，其 移动速率 媒质中的自由电荷在电场作用下沿电场方向移动，其 移动速率V是和电场强度是和电场强度E成比例的，比例常数成比例的，比例常

43、数 m2/(Vs) 称为迁移率。 m2/(Vs) 称为迁移率。 电流密度：电流密度：电荷定向移动形成电流，单位面积上电流称为电流 密度 电荷定向移动形成电流，单位面积上电流称为电流 密度J JA/m2A/m2 Ev= 称为媒质的导电率/mSqnK KEEqnqnvJ = = 两种带电体的静电驰豫问题两种带电体的静电驰豫问题 电荷泄放过程（指数驰豫）电荷泄放过程（指数驰豫） 假设闭合曲面分布体电荷密度为假设闭合曲面分布体电荷密度为的电荷的电荷Q Q，若，若Q Q减 少，则减少的速率与从闭合曲面流出的电流相等，即： 减 少，则减少的速率与从闭合曲面流出的电流相等，即： K t t KEKKEJ t

44、 dSJdv tdt dQ vS / 0 )/exp( / 0 0 = = = = = = 即 。是电荷驰豫的时间常数时的电荷密度，是 电荷储积过程（双曲线驰豫） 在非常好的绝缘物体中， 电荷储积过程（双曲线驰豫） 在非常好的绝缘物体中，K可认为是与可认为是与成正比的，成正比的， K=K=，这种情况下单位时间内的电荷增量关系为：，这种情况下单位时间内的电荷增量关系为： )/1/( 0)/( 00 2 t E t += =+ 匀分布，方程解得：忽略第三项，电荷为均 举例：设电荷密度举例：设电荷密度带电液体以流量带电液体以流量U U（m3/s）流入已接 地的金属储罐中，计算开始流入经时间 （m3/

45、s）流入已接 地的金属储罐中，计算开始流入经时间t t后的金属储罐 内的电荷 后的金属储罐 内的电荷Q Q和驰豫时间常数和驰豫时间常数。 储罐中的电荷增加率是流入储罐的电流 。 储罐中的电荷增加率是流入储罐的电流UU和从储 罐出来的驰豫电流 和从储 罐出来的驰豫电流Q/Q/之差之差 )/exp(1 )/exp(1 )( 00 / tI tUtQ Qt QU t Q = = = = 则 时，初始条件为 Q U 0 t UQ C UQ C R R 驰豫关系曲线驰豫关系曲线等效电路图等效电路图 则：驰豫常数为=CR则：驰豫常数为=CR 小 结小 结 （1）深入理解导体与介质和电场的相互作用关系。）深入理解导体与介质和电场的相互作用关系。 （2）导体的静电平衡、电荷分布、静电屏蔽和静 电感应。 ）导体的静电平衡、电荷分布、静电屏蔽和静 电感应。 （3）介质极化、束缚电荷、极化强度、电极化率、 电位移矢量。 ）介质极化、束缚电荷、极化强度、电极化率、 电位移矢量。 （4）部分电容概念及其物理意义。）部分电容概念及其物理意义。 （5）电场能量）电场能量