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1、第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 2.1.1 2.1.1 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程 帮 巧 喝 蒜 裔 刃 焉 举 癌 蒙 音 速 彰 项 尔 腔 赊 琳 菱 槛 视 长 硫 疮 傍 椽 钡 荧 饵 悯 沈 捧 2 . 1 . 1 椭 圆 及 其 标 准 方 程 （ 2 4 P P T ） 数 学 子 课 题 组 信 息 技 术 与 高 中 数 学 数 字 化 课 堂 教 学 模 式 的 实 验 研 究 用一个平面去截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶 点时，可得到 ；当平面与圆锥面的轴垂直时 ，截线（平面与圆锥面的交线）是一个 当改变截面与圆锥面的轴的相对位置时，观察截线的变
2、化 情况，并思考： 用平面截圆锥面还能得到哪些曲线？这些曲线具有哪些几 何特征？ 两条相交直线 圆 纯 硬 阻 毒 沃 峡 休 锭 观 械 盐 骨 卫 捞 溉 宏 氨 摘 佐 兜 想 轿 琳 佳 猩 剩 部 曹 惩 擂 棱 戳 2 . 1 . 1 椭 圆 及 其 标 准 方 程 （ 2 4 P P T ） 数 学 子 课 题 组 信 息 技 术 与 高 中 数 学 数 字 化 课 堂 教 学 模 式 的 实 验 研 究 椭圆双曲线抛物线 箕 杰 抬 辰 伦 隶 佃 值 濒 书 胃 提 唇 把 叛 楔 塔 肥 惯 绣 韭 莆 印 每 牟 妊 崩 皮 惠 那 闭 矽 2 . 1 . 1 椭 圆 及
3、 其 标 准 方 程 （ 2 4 P P T ） 数 学 子 课 题 组 信 息 技 术 与 高 中 数 学 数 字 化 课 堂 教 学 模 式 的 实 验 研 究 一、引入 结论：平面内到两定点F1，F2的距离之和等于常 数的点的轨迹为椭圆。 常数必须大于两定点的距离 温 警 蒲 琢 厨 狼 朔 鞋 锈 傲 咏 甭 喇 敦 杜 穗 擒 萄 煽 牺 父 阔 园 兢 雅 锹 粕 碧 饥 腿 狡 糕 2 . 1 . 1 椭 圆 及 其 标 准 方 程 （ 2 4 P P T ） 数 学 子 课 题 组 信 息 技 术 与 高 中 数 学 数 字 化 课 堂 教 学 模 式 的 实 验 研 究 1、
4、椭圆的定义： 平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（ 大于|F1F2|）的动点M的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离 叫做椭圆的焦距|F1F2|=2c 。 M 几点说明： 1、椭圆定义式：|MF1| + |MF2| = 2a |F1F2|=2c. 则M点的轨迹是椭圆. 2、若|MF1| + |MF2| = 2a = |F1F2|=2c ，则M点的轨迹是线段F1F2. 3、若|MF1| + |MF2| = 2a |F1F2|=4，故点M的轨迹为椭圆 。 (2)因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故点M的轨迹不是椭 圆(是线段F1F2)。 (3)因|MF1
5、|+|MF2|=32c)的动 点M的轨迹方程。 解：以F1F2所在直线为X轴，线段F1F2 的垂直平分线为Y轴，建 立平面直角坐标系，则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、 (c,0)。 (- c,0) (c,0 ) (x,y ) 设M（x,y)为所求轨迹上的任意一点， 则:|MF1|+ |MF2|=2a 且2a2c 2、椭圆标准方程及其推导 求曲线轨迹方程的步骤：1、建系 2、设标 3 、列式 4、化简 5、检验（可省略不写） 舔 篇 皿 扛 栖 乓 锈 侈 职 现 使 房 庸 叙 嘲 倒 鸥 梧 弱 果 恿 顺 慌 刺 余 帆 魔 淌 矢 傅 秤 杜 2 . 1 . 1 椭 圆 及 其
6、 标 准 方 程 （ 2 4 P P T ） 数 学 子 课 题 组 信 息 技 术 与 高 中 数 学 数 字 化 课 堂 教 学 模 式 的 实 验 研 究 O X Y F1F2 M (- c,0) (c,0 ) (x,y ) 两边平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2 即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) 因为2a2c，即ac，所以 a2-c20，令a2-c2=b2，其 中b0，代入上式可得： b2x2+a2y2=a2b2 两边同时除以a2b2得： (ab0) 这个方程叫做椭圆的标准方程， 它所表示的椭圆的焦点在x 轴上 。 a c
7、b 没 子 涨 播 诊 式 渠 把 独 秩 祝 翁 啪 奥 刷 勇 坊 挞 坑 耐 痊 愤 壳 亦 羔 叉 棋 捞 庞 避 棱 决 2 . 1 . 1 椭 圆 及 其 标 准 方 程 （ 2 4 P P T ） 数 学 子 课 题 组 信 息 技 术 与 高 中 数 学 数 字 化 课 堂 教 学 模 式 的 实 验 研 究 O X Y F1F2 M (- c,0) (c,0 ) O X Y F1 F2 M (0,-c) (0 , c) 椭圆的标准方程的几点说明： （1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1 （2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。 （3）
8、椭圆的标准方程中：x2与y2的分母哪一个大，则焦点在 哪一条轴上，大分母为a2 ，小分母为b2. 椭圆的标准方程 志 唇 弧 篡 邢 序 雪 箔 驴 怠 汁 咸 臃 灭 孽 缠 魏 台 颊 康 扑 乍 沼 仁 迈 锭 屏 诸 泡 坤 暮 戴 2 . 1 . 1 椭 圆 及 其 标 准 方 程 （ 2 4 P P T ） 数 学 子 课 题 组 信 息 技 术 与 高 中 数 学 数 字 化 课 堂 教 学 模 式 的 实 验 研 究 分母哪个大，焦点就在哪个轴上 标准方程 相 同 点 焦点位置的判断 不 同 点 图 形 焦点坐标 定 义 a、b、c 的关系 a2-c2=b2 3、椭圆的标准方程
9、小结 |MF1|+|MF2|=2a (2a2c0) 1 2 y o FF M x y xo F 2 F1 M 馏 持 魁 氧 征 列 镐 帕 去 口 烃 救 剪 七 德 思 健 搔 娄 参 埠 弟 运 褥 川 劳 酉 肥 倪 合 帘 巫 2 . 1 . 1 椭 圆 及 其 标 准 方 程 （ 2 4 P P T ） 数 学 子 课 题 组 信 息 技 术 与 高 中 数 学 数 字 化 课 堂 教 学 模 式 的 实 验 研 究 例3、椭圆的两个焦点的坐标分别是（4，0），（4，0），椭圆上一点 P到两焦点距离之和等于10，求椭圆的标准方程。 例4、动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0
10、)的距离之和为8，则动点P的轨迹 为（ ） A.椭圆 B.线段F1F2 C.直线F1F2 D.不能确定B 例例5 5、椭圆椭圆 上一点上一点P P到一个焦点的距离等于到一个焦点的距离等于3 3，则它到，则它到 另一个焦点的距离是（另一个焦点的距离是（ ） A.5 B.7 C.8 D.2 A.5 B.7 C.8 D.2 B 例6、动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是7，则动点P的轨迹为（ ） A.椭圆 B.线段F1F2 C.直线F1F2 D.无轨迹 D 巩 洞 澄 诱 尊 扑 义 鸟 荤 僻 盏 匡 谐 脐 姓 濒 恼 黎 磺 疼 否 谩 真 情 蹬 糕 肉 伞 慰 眶 摘
11、紊 2 . 1 . 1 椭 圆 及 其 标 准 方 程 （ 2 4 P P T ） 数 学 子 课 题 组 信 息 技 术 与 高 中 数 学 数 字 化 课 堂 教 学 模 式 的 实 验 研 究 例2.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0), 并且经过点 , 求它的标准方程. 解法一:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为 由椭圆的定义知 所以 又因为 ,所以 因此, 所求椭圆的标准方程为 堰 旨 艰 乞 谤 缨 团 缨 汝 扇 铰 豁 云 胞 帮 栓 处 痘 霞 僚 蚜 枢 凶 宦 辆 化 吕 诚 慨 亏 钨 也 2 . 1 . 1 椭 圆 及 其 标 准 方 程 （
12、 2 4 P P T ） 数 学 子 课 题 组 信 息 技 术 与 高 中 数 学 数 字 化 课 堂 教 学 模 式 的 实 验 研 究 例2.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0), (2,0), 并且经过点 , 求它的标准方程. 解法二:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为 联立, 因此, 所求椭圆的标准方程为 求椭圆标准方程的解题步骤： （1）确定焦点的位置； （2）设出椭圆的标准方程； （3）用待定系数法确定a、b的值， 写出椭圆的标准方程. 轨 诌 官 痪 礁 渠 速 拙 摧 拟 朴 乳 总 愚 砸 傻 梦 立 融 达 丙 写 通 嘘 郸 溪 朝 摄 烦 酥 誊 漓 2
13、 . 1 . 1 椭 圆 及 其 标 准 方 程 （ 2 4 P P T ） 数 学 子 课 题 组 信 息 技 术 与 高 中 数 学 数 字 化 课 堂 教 学 模 式 的 实 验 研 究 例3椭圆的两个焦点的坐标分别是（4，0） （4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10， 求椭圆的标准方程。 1 2 y o FF M x 解： 椭圆的焦点在x轴上 设它的标准方程为: 2a=10, 2c=8 a=5, c=4 b2=a2c2=5242=9 所求椭圆的标准方程为 让 拇 洱 绦 裴 首 糖 磅 耀 鸟 鸵 道 唁 星 栽 灯 脾 悄 瀑 券 交 瞧 忙 祖 峨 藤 嫡 博 贡 舅 毒
14、 屈 2 . 1 . 1 椭 圆 及 其 标 准 方 程 （ 2 4 P P T ） 数 学 子 课 题 组 信 息 技 术 与 高 中 数 学 数 字 化 课 堂 教 学 模 式 的 实 验 研 究 1、建系 2、设标 3、列 式 4、化简 5、检验（可 省略不写） 坪 便 休 脊 寐 氖 皱 殃 庭 弓 延 湖 障 灯 拱 注 藤 训 焙 忠 滤 撮 臂 迪 阶 态 菜 耽 埃 慰 螟 笨 2 . 1 . 1 椭 圆 及 其 标 准 方 程 （ 2 4 P P T ） 数 学 子 课 题 组 信 息 技 术 与 高 中 数 学 数 字 化 课 堂 教 学 模 式 的 实 验 研 究 例5、
15、如图，设点A，B的坐标分别为(-5,0),(5,0)。 直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是 ，求点M的轨迹方程。 解：设点M的坐标为(x,y)，因为点A的坐标是，所以直线 AM的斜率 同理，直线BM的斜率 由已知有 化简，得点M的轨迹方程为 拘 土 盂 翁 炽 逝 料 挚 捷 厕 买 崭 嘛 羹 妮 庇 灵 酪 与 茹 蟹 甭 乡 切 彩 竹 夷 蚁 葡 鹰 黎 质 2 . 1 . 1 椭 圆 及 其 标 准 方 程 （ 2 4 P P T ） 数 学 子 课 题 组 信 息 技 术 与 高 中 数 学 数 字 化 课 堂 教 学 模 式 的 实 验 研 究 爽 诌 成 琳 甭 汛
16、沿 裸 逛 炸 时 衰 增 峙 哉 鸡 毁 诉 哮 儡 灼 行 呸 庶 北 嗅 洋 涡 瘤 尾 娄 商 2 . 1 . 1 椭 圆 及 其 标 准 方 程 （ 2 4 P P T ） 数 学 子 课 题 组 信 息 技 术 与 高 中 数 学 数 字 化 课 堂 教 学 模 式 的 实 验 研 究 椭圆的一般形式 遍 远 造 钥 技 掣 颈 梅 哈 炬 污 谷 驯 隔 抖 而 下 玛 蜕 捕 何 居 弦 岛 姥 仗 迢 倘 判 挎 牵 定 2 . 1 . 1 椭 圆 及 其 标 准 方 程 （ 2 4 P P T ） 数 学 子 课 题 组 信 息 技 术 与 高 中 数 学 数 字 化 课
17、堂 教 学 模 式 的 实 验 研 究 例6、（1）求椭圆的标准方程： 经过点P（- ，2），Q（ ，- ） （2）已知一椭圆的焦距为2 ，且经 过点（2，2），求椭圆的标准方程。 诞 隆 啼 捻 窄 潞 横 冉 谤 棉 汇 跪 丧 狗 本 煞 郊 擂 伯 漆 艾 闹 潦 恶 营 梯 畔 先 再 巨 煤 羡 2 . 1 . 1 椭 圆 及 其 标 准 方 程 （ 2 4 P P T ） 数 学 子 课 题 组 信 息 技 术 与 高 中 数 学 数 字 化 课 堂 教 学 模 式 的 实 验 研 究 填空： (1)已知椭圆的方程为： ，则 a=_，b=_，c=_，焦点坐标 为：_焦距等于_;若
18、CD为过 左焦点F1的弦，则F2CD的周长为_ 课前练习 54 3 (3,0)、(-3,0)6 0 F1F2 C D 判断椭圆标准方程的焦点在哪个 轴上的准则： 焦点在分母大的那个轴上 。 |CF1|+|CF2|=2a 枚 整 稽 贵 侩 杀 忿 链 幽 绝 叁 孙 摸 退 霄 锋 锦 炒 某 泅 绎 虹 掩 构 矾 潍 责 靶 弄 禄 闺 惩 2 . 1 . 1 椭 圆 及 其 标 准 方 程 （ 2 4 P P T ） 数 学 子 课 题 组 信 息 技 术 与 高 中 数 学 数 字 化 课 堂 教 学 模 式 的 实 验 研 究 (2)已知椭圆的方程为： ,则 a=_，b=_，c=_，
19、 焦点坐标为：_，焦距 等于_; 若曲线上一点P到焦点F1的距离为3，则 点P到另一个焦点F2的距离等于_， 则F1PF2的周长为_ 21 (0,-1)、(0,1) 2 P F1 F2 |PF1|+|PF2|=2a 泅 鸭 堑 题 惺 宠 往 罪 瓮 卉 胆 邢 幼 饲 碳 帅 碗 儿 哮 墅 璃 纪 喂 呜 簇 蔫 乃 叫 沉 馈 偶 孜 2 . 1 . 1 椭 圆 及 其 标 准 方 程 （ 2 4 P P T ） 数 学 子 课 题 组 信 息 技 术 与 高 中 数 学 数 字 化 课 堂 教 学 模 式 的 实 验 研 究 微 傍 膝 达 芯 法 瘟 哇 楔 画 西 萍 罗 焉 倪
20、蜡 踌 嚏 癸 笑 冕 殖 焊 顽 入 诽 梆 宛 洛 卢 膏 辑 2 . 1 . 1 椭 圆 及 其 标 准 方 程 （ 2 4 P P T ） 数 学 子 课 题 组 信 息 技 术 与 高 中 数 学 数 字 化 课 堂 教 学 模 式 的 实 验 研 究 课后练习： 1 化简方程： 2 椭圆mx2+ny2=-mn(mn0)的焦点 坐标是 3 方程 表示焦点在x轴上的 椭圆,则m的取值范围为 预 做 牲 奎 悍 施 致 钡 元 绣 满 蹈 搀 恍 锯 异 款 欢 洪 摧 蓝 疯 份 营 谈 釜 易 戍 渔 隅 唆 戎 2 . 1 . 1 椭 圆 及 其 标 准 方 程 （ 2 4 P P
21、 T ） 数 学 子 课 题 组 信 息 技 术 与 高 中 数 学 数 字 化 课 堂 教 学 模 式 的 实 验 研 究 4 设F1，F2为定点,|F1F2|=6，动点M满足 |MF1|+ |MF2|=6,则动点的轨迹是（ ） （A）椭圆 （B）直线 （C）线段 （D）圆 5 如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆， 则k的取值范围是_ 0k1 6 已知B、C是两个定点，BC=6，且 ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程 筐 坍 察 窄 装 挤 闻 踩 撞 犀 苗 针 读 接 用 忠 熔 苛 斟 宾 姬 滇 喝 沸 送 挝 澄 耻 喻 奏 氯 嘿 2 . 1 . 1 椭 圆 及 其 标 准 方 程 （ 2 4 P P T ） 数 学 子 课 题 组 信 息 技 术 与 高 中 数 学 数 字 化 课 堂 教 学 模 式 的 实 验 研 究