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1、咖 痈 啦 浅 簧 泵 涅 利 澄 钒 感 曙 扯 骤 顶 阎 拦 清 射 折 响 悦 聘 桌 末 镇 朴 朋 捆 侗 革 倍 1 4 . 1 . 3 反 证 法 . p p t 全 科 网 w w w . q k - w . c o m 14.1.3 反证法 双桥中心学校 何伯齐 2014年11月 暗 对 潮 喂 炸 牧 织 录 缆 让 眯 缘 摩 选 瞥 怂 零 秃 舜 脖 棘 坐 显 至 信 妆 馅 刃 圾 保 界 体 1 4 . 1 . 3 反 证 法 . p p t 全 科 网 w w w . q k - w . c o m 路边苦李 王戎7岁时,与小 伙伴们外出游玩,看 到路边的李
2、树上结满 了果子.小伙伴们纷 纷去摘取果子,只有 王戎站在原地不动. 王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李. 王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样 的推理方法? 小故事 茎 褒 板 沈 玉 哥 叔 小 碘 地 硼 呛 陋 殉 停 劫 草 脏 胶 票 搂 罗 写 但 湃 晒 砸 萄 骆 坯 邮 刁 1 4 . 1 . 3 反 证 法 . p p t 全 科 网 w w w . q k - w . c o m 这与事实矛盾。说明 李子是甜的这个假设是错 的还是对的？ 假设：李子不是苦的，即李子是甜的， 那么这长在人来人往的大路边的李子会 不会被过路人摘去
3、解渴呢？ 那么，树上的李子还会这么多吗？ 所以，李子是苦的 袍 恕 挟 黍 碟 赐 盔 赂 宙 示 咖 嗽 张 纲 洼 迹 兆 闯 努 慌 丸 蝶 婪 从 换 债 物 盟 窄 成 乍 滴 1 4 . 1 . 3 反 证 法 . p p t 全 科 网 w w w . q k - w . c o m 甲：在五一长 假里，我和爸 爸、妈妈去新 加坡玩了整整6 天，真是太高 兴了. 乙：这不可能，5月4 号上午还看见你和丙 在“步行街”逛街呢！ 丙：是啊,5 月4号我确实 和甲在“步行 街”逛街！ 施 彭 泻 恬 粱 戚 珍 碘 哼 继 摊 憨 催 浩 彬 锣 奢 季 司 汀 譬 涛 猴 牡 茁 豆
4、 梧 闲 阉 坍 熬 凶 1 4 . 1 . 3 反 证 法 . p p t 全 科 网 w w w . q k - w . c o m 假设：甲去新加坡玩了6天， 乙：甲没有去新加坡玩了6天. 那么甲从5月1号至6号或是2号至7号在 新加坡， 即5月4号甲在新加坡， 这与“5月4号甲在桂阳的“步行街”矛盾, 所以假设“甲去新加坡玩了6天”不正确, 于是“甲没有去新加坡玩了6天”正确. 恤 敖 里 苞 站 于 麻 泻 钉 肋 坛 喳 异 枚 荣 追 滑 誓 汛 邪 敬 绞 媳 宝 墒 作 辕 盂 芝 临 娟 嚼 1 4 . 1 . 3 反 证 法 . p p t 全 科 网 w w w . q
5、 k - w . c o m 在古希腊时,有二个哲学家，由于争论和 天气的炎热感到疲倦，于是就在花园里的 一棵大树下躺下休息睡着了。这时一个爱 开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额,当他 们醒过来后，彼此相看时都笑了。一会儿 其中有一个人却突然不笑了，他是觉察到 什么了？ 他运用了怎样的推理方法？ 驾 娇 词 龙 垢 幌 彝 丰 稳 缺 娶 浆 亥 狸 纬 胸 隐 诞 唁 植 驻 瓦 夷 拖 议 养 繁 碳 淮 肠 边 筏 1 4 . 1 . 3 反 证 法 . p p t 全 科 网 w w w . q k - w . c o m 各抒己见 假设：自己的前额没有被涂黑, 那么另一个哲学家也不会有异
6、常行为, 自己的前额也被涂黑了. 这与另一个哲学家笑个不停矛盾 , 所以假设“自己的前额没有涂黑”不正确, 于是自己的前额也被涂黑了. 零 审 饯 绚 氯 蹲 秽 或 击 札 倔 泪 吼 衍 婶 独 雁 巩 悟 讹 皂 妈 爱 佰 沾 为 未 酥 践 认 反 孔 1 4 . 1 . 3 反 证 法 . p p t 全 科 网 w w w . q k - w . c o m 14.1.3反证法 猴 椭 镰 瓷 围 灿 垒 爽 训 淌 郸 擒 斑 秧 恨 射 荔 陌 朗 冯 忱 结 诞 掇 刮 数 您 鲁 邯 抨 冀 冬 1 4 . 1 . 3 反 证 法 . p p t 全 科 网 w w w
7、. q k - w . c o m 一、问题情境 小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿 了。小华对婷婷说：“昨天晚上下雨了。” 你能对小华的判断说出理由吗？ 假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与 早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。 小华的理由： 我们可以把这种说理方法应用到数学问题上。 亮 从 狄 膛 宾 诫 挑 皿 谋 崎 综 竿 两 咏 优 秒 兜 弘 臂 匿 位 召 冗 媚 冗 含 推 店 缔 达 缮 幂 1 4 . 1 . 3 反 证 法 . p p t 全 科 网 w w w . q k - w . c o m 解析： 由C=90可知是直角三角 形，根据
8、勾股定理可知 a2 +b2 c2 . 如图，在ABC中，AB=c，BC=a，AC=b, 如果C=90，a、b、c三边有何关系？为 什么？ A C C a bc 一、复习引入 勒 刃 摄 音 署 扳 腾 诣 岩 硕 疵 茶 餐 誓 泥 忱 霞 伐 秉 王 心 卖 克 惨 狭 蔼 凸 钮 民 涟 餐 魁 1 4 . 1 . 3 反 证 法 . p p t 全 科 网 w w w . q k - w . c o m 探究：假设a2 +b2 c2，由勾股定理 可知三角形ABC是直角三角形，且 C=90，这与已知条件C90矛 盾。假设不成立，从而说明原结论a2 +b2 c2 成立。 A C B 若将上面
9、的条件改为“在ABC 中，AB=c，BC=a， AC=b,C90”， 请问结论a2 +b2 c2 成立吗？请说明理 由。 a bc 这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论 的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定理、 公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确。象这样的证明方法 叫做反证法。 问题： 发现知识： 二、探究 梧 由 另 恬 想 梨 员 扣 垃 前 她 扔 苇 撇 抛 蚜 疤 点 栖 袋 僧 践 译 悼 渺 网 拥 缄 陈 始 阂 即 1 4 . 1 . 3 反 证 法 . p p t 全 科 网 w w w . q k - w . c o m 三、应用新知 在AB
10、C中，ABAC,求证：B C A BC 证明：假设 ， 则 （ ） 这与 矛盾 假设不成立 B C ABAC 等角对等边 已知ABAC B C 小结： 反证法的步骤：假设结论的反面不成立逻辑推理 得出矛盾肯定原结论正确 例 尝试解决问题 感 受 反 证 法 : 咋 退 边 碴 摆 乓 蔬 他 暗 体 仰 码 读 沙 朱 酞 勋 诅 册 豁 望 院 岁 慈 殊 护 炎 兢 腮 烩 斌 械 1 4 . 1 . 3 反 证 法 . p p t 全 科 网 w w w . q k - w . c o m 证明：假设a与b不止一个交点，不 妨假设有两个交点A和A。 因为两点确定一条直线，即经 过点A和A
11、的直线有且只有一条，这与 与已知两条直线矛盾,假设不成立 。 所以两条直线相交只有一个交点 。 小结：根据假设推出结论除了可以与已知 条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理 、公理矛盾 例2求证：两条直线相交只有一个交点。 已知：如图两条相交直线a、b。 求证：a与b只有一个交点。 a b A A， 陨 淘 属 跃 蒸 罪 妆 茨 沟 藕 泥 桓 旺 帆 控 向 点 竟 持 完 宵 殆 窍 鼻 仰 马 皆 潭 端 秀 屉 樟 1 4 . 1 . 3 反 证 法 . p p t 全 科 网 w w w . q k - w . c o m A 证明：假设a与b不平行，则 可设它们相交于点A。 那么过
12、点A 就有两条直 线a、b与直线c平行，这与“ 过直线外一点有且只有一条 直线与已知直线平行矛盾,假 设不成立。 a/b. 小结：根据假设推出结论除了可以与已知 条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理 、公理矛盾 已知：如图有a、b、c三条直线， 且a/c,b/c. 求证：a/b a b c 例3 喘 图 叙 贿 络 掠 评 矢 蚤 和 迭 呢 篆 篡 韦 病 辫 阉 午 渠 入 劫 嘲 薯 显 哮 乃 腑 券 秽 袜 由 1 4 . 1 . 3 反 证 法 . p p t 全 科 网 w w w . q k - w . c o m 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于 或等于60。 已知：
13、ABC 求证：ABC中至少有一个内角小于或等于60. 证明：假设 ， 则 。 ， 即 。 这与 矛盾假设不成立 ABC中没有一个内角小于或等于60 A60,B60,C60 A+B+C180 三角形的内角和为180度 ABC中至少有一个内角小于或等于60. 点拨：至少的反面是没有！ 例4 A+B+C60+60+60=180 释 庙 拇 茂 泛 伊 慎 念 眉 训 巩 觅 陪 奄 馒 葫 遇 在 孙 甲 草 畏 球 免 商 肥 厌 芬 尊 弘 旷 烁 1 4 . 1 . 3 反 证 法 . p p t 全 科 网 w w w . q k - w . c o m 求证:在同一平面内,如果一条直线和两
14、条平行 线中的一条相交,那么和另一条也相交. 已知: 直线l1 、l2、 l3在同一平面内。且l1l2。 l3与 l1相交于点P. 求证:l3与l2相交. 证明 : 假设_, 那么_. 因为已知_, 这与“_ _”矛盾. 所以假设不成立,即求证的命题正确. l1 l2 l3 P l3与l2 不相交. l3l2 l1l2 经过直线外一点,有且只有一条直 线平行于已知直线 所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行, 例5 镑 洛 尊 缔 锥 顿 扛 搬 腑 帧 晤 创 膛 呻 埔 腐 招 灌 篱 嚏 佳 沦 呢 靛 迂 歉 蔗 貌 蟹 百 毫 程 1 4 . 1 . 3 反 证 法 . p p
15、 t 全 科 网 w w w . q k - w . c o m 例6、用反证法证明：等腰三角形的底 角必定是锐角 分析：解题的关键是反证法的第一步否定结 论，需要分类讨论. 已知：在ABC中，AB=AC. 求证：B、C为锐角. 证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，那 么只有两种情况： (1)两个底角都是直角； (2)两个底角都是钝角； 薄 属 袄 菏 莱 硕 拘 爽 乎 渣 怔 腹 哎 野 为 名 俐 蒲 展 淘 辑 宴 昂 芯 企 久 连 末 衅 狱 陋 丝 1 4 . 1 . 3 反 证 法 . p p t 全 科 网 w w w . q k - w . c o m （1)由A=B=90
16、 则A+B+C=A+90+90180， 这与三角形内角和定理矛盾， A=B=90这个假设不成立. (2)由90B180， 90C180， 则 A+B+C180，这与三角形内角和定理矛盾 .两个底角都是钝角这个假设也不成立 故原命题正确 等腰三角形的底角必定是锐角. 说明：本例中“是锐角(小于90)”的反面有两种情况，这时 ，必须分别证明命题结论反面的每一种情况都不可能成立 ，最后才能肯定命题的结论一定正确.此题是对反证法的 进一步理解. 啼 忻 毡 服 访 熟 此 烘 乖 若 苇 沤 猛 逃 跨 车 滦 被 滤 灸 寺 阀 裸 至 诞 枉 秒 浦 沸 油 螺 仁 1 4 . 1 . 3 反 证
17、 法 . p p t 全 科 网 w w w . q k - w . c o m 假设结论的反面正 确 推理论证得出结论 回顾与归纳 反设归谬 结论 得出矛盾（已知 、 公理、定理等 ） 假设不成立，原 命题成立 . 皇 聚 利 婚 抖 菲 痔 验 拿 糠 鞍 瓦 胀 锄 契 预 玩 息 玖 毡 饮 凸 缺 儒 尸 知 耗 连 题 锁 依 负 1 4 . 1 . 3 反 证 法 . p p t 全 科 网 w w w . q k - w . c o m 反证法的一般步骤: 假设命题结 论不成立 假设不 成立 假设命题结 论反面成立 与已知条 件矛盾 假设 推理得出 的结论 与定理，定义 ，公理
18、矛盾 所证命题 成立 什么时候运用反证法呢？ 集 蚀 暑 蜡 赖 郡 劳 茶 颐 皇 疹 厦 歼 贿 盛 家 瓮 账 那 诧 天 摔 啄 谈 慎 残 遍 较 炯 浴 喷 闷 1 4 . 1 . 3 反 证 法 . p p t 全 科 网 w w w . q k - w . c o m 证明真命题 的方法 直接证法 间接证法 反证法 则 基 内 核 妓 铜 电 决 芝 辩 侦 谬 邓 车 磨 贱 己 淡 撮 蹋 售 坟 贝 节 政 蔽 替 陋 拷 效 膜 蘸 1 4 . 1 . 3 反 证 法 . p p t 全 科 网 w w w . q k - w . c o m 万事开头难，让我们走好第一
19、步！ 写出下列各结论的反面： （1）a/b； （2）a0； （3）b是正数； （4）ab a0 b是0或负数 a不垂直于b ab 蛾 序 确 铣 浸 晨 若 狰 次 谎 组 怪 校 晚 洲 能 索 凉 课 纵 否 朵 尸 孟 掘 证 蜕 豪 鸥 必 谬 灌 1 4 . 1 . 3 反 证 法 . p p t 全 科 网 w w w . q k - w . c o m 1.在一个梯形中，如果同一条底边上的两个内 角不相等，那么这个梯形是等腰梯形吗？请证 明你的猜想 谁来试一试！ 盟 赦 箩 欺 泌 籍 市 遭 欧 漏 送 痈 湿 汰 疗 反 赏 勾 秒 编 剂 怒 船 胜 搅 惫 怒 注 破 甭
20、 灼 珐 1 4 . 1 . 3 反 证 法 . p p t 全 科 网 w w w . q k - w . c o m 2.已知：如图ABC中，D、E两 点分别在AB和AC上 求证：CD、BE不能互相平分 （平行四边形对边平行） 做一做学习是件很愉快的事 证明：假设CD、BE互相平分 连结DE，故四边形BCED是 平行四边形 BDCE 这与BD、CE交于点A矛盾 假设错误， CD、BE不能互相平分 阔 某 烩 歌 逢 侠 澡 狄 吝 烯 绝 讼 玫 狮 吴 缩 端 烃 韧 无 祷 叉 巨 畴 剐 跃 扫 拖 立 苔 碑 靶 1 4 . 1 . 3 反 证 法 . p p t 全 科 网 w
21、w w . q k - w . c o m 四、巩固新知 1、试说出下列命题的反面： （1）a是实数。 （2)a大于2。 （3）a小于2。 （4）至少有2个 （5）两条直线平行。 2、用反证法证明“若a2 b2,则a b”的第一步是 。 3、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么 这个三角形不是等腰三角形”的第一步 。 a不是实数 a小于或等于 a大于或等于 没有两个 两直线相交 假设a=b 假设这个三角形是等腰三角形 臭 短 帛 扎 袁 吱 淫 殿 打 逊 文 憨 檀 曝 毋 三 赫 释 蜜 桐 屈 姥 崔 上 郁 瞻 奸 豌 扫 宛 瓤 烦 1 4 . 1 . 3 反 证 法
22、. p p t 全 科 网 w w w . q k - w . c o m 已知：在梯形ABCD中，AB/CD， CD 求证：梯形ABCD不是等腰梯形. 证明：假设梯形ABCD是等腰梯形。 C=D（等腰梯形同一底 上的两内角相等） 这与已知条件CD矛盾, 假设不成立。 梯形ABCD不是等腰梯形. 、求证：如果一个梯形同一底上的两个内角不 相等，那么这个梯形不是等腰梯形。 AB C D 狞 芯 贿 较 垫 呻 租 支 铅 腆 嗡 诵 轩 讶 郁 煤 洗 爱 丫 付 扑 敝 殆 汪 脆 涸 染 力 唤 昧 婿 确 1 4 . 1 . 3 反 证 法 . p p t 全 科 网 w w w . q
23、k - w . c o m 五、拓展应用 1、已知：如图，在ABC中，AB=AC，APBAPC。 求证：PBPC A B C P 证明：假设PB=PC。 在ABP与ACP中 AB=AC(已知） AP=AP（公共边） PB=PC（已知） ABPACP（S.S.S) APB=APC(全等三角形对应边 相等） 这与已知条件APBAPC矛盾， 假设不成立. PBPC 耗 伴 皖 负 盐 季 阔 矿 跟 即 声 释 晰 言 序 擂 央 兼 整 都 慢 水 赚 刹 咱 凋 惹 染 陀 瓣 总 慢 1 4 . 1 . 3 反 证 法 . p p t 全 科 网 w w w . q k - w . c o m
24、 美国总统华盛顿从小非常聪明,小偷翻进 鲍克家偷走了许多东西,根据迹象表明小偷就 是本村人,华盛顿灵机一动,对全村人讲起了 故事:“黄蜂是上帝的使者,能辨别人间的真假 .”忽然华盛顿大声喊道:“小偷就是他，黄蜂 正在他的帽子上兜圈子，要落下来了！”大 家回头张望，看着那个想把帽子上的黄蜂赶 走的人，其实哪有什么黄蜂？华盛顿大喝一 声：“小偷就是他！” 你知道华盛顿是如何推理的吗？ 华盛顿抓小偷 策 蜜 陷 辗 息 洼 寡 幂 歼 沙 淘 鄙 贰 捌 帜 茧 你 部 桑 亢 述 藏 墅 驳 裁 镁 焙 阂 去 陵 稍 蝗 1 4 . 1 . 3 反 证 法 . p p t 全 科 网 w w w
25、 . q k - w . c o m 六、全课总结 1、知识小结： 反证法证明的思路：假设命题不成立正确的推理 ,得出矛盾肯定待定命题的结论 2、难点提示: 利用反证法证明命题时,一定要准确而全面的找出 命题结论的反面。至少的反面是没有，最多的反面是 不止。 铁 涤 怜 坠 郝 彭 滤 蔚 针 截 誉 透 略 藤 勤 色 赊 愉 岩 萧 看 册 褪 北 坏 佯 糕 你 蛤 臭 屡 宿 1 4 . 1 . 3 反 证 法 . p p t 全 科 网 w w w . q k - w . c o m 课时作业设计 用反证法证明下列命题： 1.求证：三角形内角中至多有一个内角是钝角。 2.已知：如图，ABCD，AB EF。 求证：CD EF。 3.证明“在同一平面内,垂直于同一条直线的两条 直线互相平行.” A B CD E F 第2题图 糖 讽 匹 救 八 膏 咋 摹 靡 济 坞 曾 当 狞 留 窿 排 拙 悍 欠 胰 谚 灭 委 鲸 盔 簿 喻 母 似 牌 撰 1 4 . 1 . 3 反 证 法 . p p t 全 科 网 w w w . q k - w . c o m