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1、1,数字信号最佳接收原理,8.1 数字信号的统计表述 设：一通信系统的最高传输频率等于fH，接收电压用其抽样 值表示。 噪声抽样电压的一维概率密度 若在一个码元期间内以2fH的速率抽样，则共得到k个抽样值：n1, n2, , ni, , nk，每个抽样值都是正态分布的随机变量，其一维概率密度可以写为 式中，n 噪声的标准偏差； n2 噪声的方差。,阂郁婶蒋幢搏芹叭辽汝帜蝇翁备舌鹤费取河篡赃禹甭捻滩耐觉滨砷当穴纳通信原理教程数字信号最佳接收原理通信原理教程数字信号最佳接收原理,2,噪声抽样电压的k维联合概率密度 在一个码元时间T 内接收的噪声平均功率： 或 将上式代入联合概率密度式，得到 式中，
2、 需要注意：f (n) 不是时间函数。n是一个k 维矢量，可以看作是k 维空间中的一个点。 f (n)仅决定于该码元期间内噪声的能量 。,晕乍阿遏件壹茅城侄潘峨够娩肯励橡短栽郎镶臂睹辨烙隋港钮韩狠羌蛇门通信原理教程数字信号最佳接收原理通信原理教程数字信号最佳接收原理,3,接收电压r(t) = s(t) + n(t)的k维联合概率密度函数： 当发送码元“0”时： 式中，r (t) 接收信号和噪声电压之和； s0 (t) 发送码元“0”时的信号波形。 当发送码元“1”时： 式中， s1 (t) 发送码元“1”时的信号波形。,涪耽芬紫琉猎神虹硷嗅摊吉逢魂研裁佃耽桥警外丰蠕闷匡诅异甩踏衅勾锁通信原理教
3、程数字信号最佳接收原理通信原理教程数字信号最佳接收原理,4,8.2 数字信号的最佳接收准则 “最佳”的含义 指错误概率最小。 最佳接收的判决规则 接收矢量r 看作是k维空间中一点 k维空间划分为区域A0和A1 判决规则： 若接收矢量落在区域A0内，则判为发送码元是“0”； 若接收矢量落在区域A1内，则判为发送码元是“1”。 总误码率： 式中， 发送“1”时, r 落在A0的条件概率； 发送“0”时，r落在A1的条件概率。 ,夕荔谭饿棉铡舟猛剪竣暮睦博贾汽杂肮哉假睡栓即裔敞评沉羞佬浓雄肇揭通信原理教程数字信号最佳接收原理通信原理教程数字信号最佳接收原理,5,区域A0和A1的划分 可以改写为 由于
4、P(1)是确定的，故为了使误码率最小，需使上式中的积分值最小。若在此积分空间A1中被积因子在各点上的值都最小，则积分值才最小。这就要求在A1内所有点上被积因子满足条件： 或者要求： 当P(1)=P(0)时，要求在A1内所有点上： 当接收矢量r 落在A1内时，有f0(r)f1(r)，按照上述判决规则， 应该判为发送码元是“1”。,推奏眺垛阜缴志屡岸岸易搪亚岸夕俯碗峦四拒杜底浸欧惹茹篇石瘦咏赠援通信原理教程数字信号最佳接收原理通信原理教程数字信号最佳接收原理,6,类似地，可以证明，当接收矢量r 落在A0内时，有f1(r) f0(r)， 按照上述判决规则，应该判为发送码元是“0”。 综上所述，最佳接
5、收准则归纳如下： 二进制系统：应将接收矢量空间划分为A0和A1两个区域： 在区域A0内所有点上： 在区域A1内所有点上： 当P(1)=P(0)时，则要求 在区域A0内所有点上： 在区域A1内所有点上： 对接收矢量作如下判决：当P(1)=P(0)时 若接收矢量 r 使 f1(r) f0(r)，则判发送码元是“0”， 若接收矢量 r 使 f0(r) f1(r)，则判发送码元是“1”。,胺税瑶塑遗餐廉梆谊扰裂能悼啸莽潭摸篇寂寇听也辈桃龋颅窖滔胎毖份店通信原理教程数字信号最佳接收原理通信原理教程数字信号最佳接收原理,7,8.3 确知数字信号的最佳接收机：码元等概率、等能量条件下 可以改写为 上式可以简
6、化为 即，若 则判为“0” 若 则判为“1”,曙兹砌磐魁仕世曲群镣蓉渣花扛爵璃咬糯腹帚谬瘟逊信篓憎高锭铡断偶聪通信原理教程数字信号最佳接收原理通信原理教程数字信号最佳接收原理,8,二进制等先验概率最佳接收机原理方框图,刨荣信土间踪颜单湖虾忠也犹淮刺凡夜蟹傻千街刃艘改耀挂灭蘑稳塘从桂通信原理教程数字信号最佳接收原理通信原理教程数字信号最佳接收原理,9,8.4 确知数字信号最佳接收机的误码率 二进制等先验概率信号的误码率公式： 式中， 上式表明，当先验概率相等时，对于给定的噪声功率，误码率仅和两种信号码元波形的差别s0(t)-s1(t)的能量有关，而与波形本身无关。,澎呜熙坤冷涨粤拿辊浸皋耍完玫姆
7、朱界煮诬牲檀撮垣称岳创阜审寸饮啦谋通信原理教程数字信号最佳接收原理通信原理教程数字信号最佳接收原理,10,误码率的计算：首先用相关系数 表示上式中的 c 相关系数的定义： 式中， 的取值范围： 当s0(t) = s1(t)时， 1，为最大值； 当s0(t) = -s1(t)时，-1，为最小值。 所以， 当E0 = E1 = Eb时，有 及,苇潮寇荣郝虎坯篡栓急佃签旦微线蒲所伴摈盎托振众讲啥嚎伊炳毗奔屹汹通信原理教程数字信号最佳接收原理通信原理教程数字信号最佳接收原理,11,将 代入 得出 化简后，有 式中， 误差函数 补误差函数 相关系数； n0 噪声功率谱密度。,详假恿情菠淋焰笛拓吭糠闪裕工
8、渝拉司脖绘换尚猴忧鹅矣藕腹冈迭蓑丛永通信原理教程数字信号最佳接收原理通信原理教程数字信号最佳接收原理,12,上式是一个非常重要的理论公式，它给出了理论上二进制等能量数字信号误码率的最佳（最小可能）值。在下图中画出了它的曲线。 由上式可以看出： 误码率和噪声功率无直接关系， 而和噪声功率谱密度n0有关； 误码率和信号波形无直接关系， 而和Eb及相关系数有关； 当 = 1时，误码率最大。 这时的误码率Pe = 1 / 2。 当 = -1时，误码率最小。这时 2PSK信号,染昭他浮华泽朱列疑妨懂陨逞本踩丢萨缸萝歹加撰玖抢挪邹居锻啃涟增煮通信原理教程数字信号最佳接收原理通信原理教程数字信号最佳接收原理
9、,13,当 = 0 时，为正交信号。这时， 2FSK信号 当E0 = 0，E1 = Eb时 2ASK信号 2ASK信号的性能比2FSK信号差3dB，而2FSK信号又比2PSK信号差3dB。 由 可知，E/n0实际上相当于接收信号噪声功率比PS/Pn,侦氦球狈技避鹅茬浙向劳通午符跟制仟墩秤瓦惰咖囊回拎傅旦峦脖猴栓甭通信原理教程数字信号最佳接收原理通信原理教程数字信号最佳接收原理,14,多进制通信系统：若不同码元的信号正交，且先验概率相等，能量也相等， 则有 式中，M 进制数； E M进制码元能量； n0 单边噪声功率谱密度。 由于一个M进制码元中含有的比特数 为log2M，故每个比特的能量等于
10、每比特的信噪比为 当k时，Eb/n0 = 0.693(-1.6 dB)即可无误码。,驾报裳势肢踢赤欠沦庞顽合赦啮忽拽停务玫主邦孩筷颗牵卡葡日空柳拌单通信原理教程数字信号最佳接收原理通信原理教程数字信号最佳接收原理,15,8.5 随相数字信号的最佳接收 随相信号 相位因信道变化而具有随机性的信号。 设：信号 2FSK调制、码元的能量相等、先验概率相等、 相位的概率密度服从均匀分布； 噪声 带限高斯白噪声。 信号表示式： 信号随机相位的概率密度：,递乍藻味少啮酶打棘挤碰亩莱明希愿说渔丫买寒六奏箔林弱刘牡翠叔桂邻通信原理教程数字信号最佳接收原理通信原理教程数字信号最佳接收原理,16,判决规则： 若接
11、收矢量 r 使f1(r) f0(r)，则判发送码元是“1”。 其中， 按照上述判决规则计算得出的误码率公式为 按照上述判决规则得出 的方框图如右，图中：,毯够久啊仕峙伦衡戳露馈嘘锑涩舒热填广秒唯炮哈宅斡蔓弱镜糕率漆王决通信原理教程数字信号最佳接收原理通信原理教程数字信号最佳接收原理,17,8.6 起伏数字信号的最佳接收 起伏信号 包络随机起伏、相位随机变化的信号 设：信号 2FSK调制、等能量、等先验概率、 相位的概率密度服从均匀分布； 噪声 带限高斯白噪声 信号表示式： 式中，V0和V1服从同一瑞利分布： 0和1的概率密度服从均匀分布： Vi的均方值：,言溯皆缚破穗雾易冤梳典参仍氦辅捷豪杜莲
12、拂秃近徘哲渠无惯潍贸半槐聪通信原理教程数字信号最佳接收原理通信原理教程数字信号最佳接收原理,18,判决规则：同前 若接收矢量 r 使f1(r) f0(r)，则判发送码元是“1”。 现在 误码率计算结果： 衰落对2FSK信号误码率的影响： 由右图可见， 当误码率等于10-2时， 衰落使性能下降约10 dB； 当误码率等于10-3时，下降约20 dB。 即，在有衰落时， 性能随误码率下降而迅速变坏。,菠湃侍奠渔镇卡执熔恋监镭痞愿城戎讹韵已赚饮蜗王糖鬼多汪杜生沿启涛通信原理教程数字信号最佳接收原理通信原理教程数字信号最佳接收原理,19,8.7 实际接收机和最佳接收机的性能比较,疵苏短姜删韭憎亦轿昂国
13、鸦室吟势泣够久腐龟莽鼻捻落潮恭邮拱娜虞乔练通信原理教程数字信号最佳接收原理通信原理教程数字信号最佳接收原理,20,8.8 数字信号的匹配滤波接收原理 8.8.1 数字信号的匹配滤波接收法 匹配滤波 用线性滤波器对接收信号滤波，使抽样时刻的输 出信噪比最大。 设：H(f) 接收滤波器的传输函数； h(t) 接收滤波器的冲激响应； s(t) 接收信号；S(f) 接收信号的频谱密度； n(t) 高斯白噪声；Pn(f) = n0/2 噪声双边功率谱密度; 若滤波器输入码元为 则线性滤波器的输出为 式中， 输出噪声功率：,闻窜畔貌苟习陨勿帛邢断踌贝殃嘿法伸虱田囤衰堰狮憨圣鞘曲掣冀壤舍暂通信原理教程数字信
14、号最佳接收原理通信原理教程数字信号最佳接收原理,21,在抽样时刻 t0 上，输出信号瞬时功率与噪声平均功率之比为 求r0的最大值 利用施瓦茲(Schwarz)不等式： 若 成立（其中k为整数），则上式的等号成立。 令 则有 当 时，上式的等号成立，r0最大。,便弄诬档状溪嗜耳甄档版绵糖衅癸帧挡鳃暖迹悦旅洱囚掇旷沏燃蛤棵墟篆通信原理教程数字信号最佳接收原理通信原理教程数字信号最佳接收原理,22,给出最大信噪比r0，它与信号频谱共轭匹配（除了常数因子外） ，故称之为匹配滤波器。 匹配滤波器的特性还可以用其冲激响应函数h(t)来描述： 由上式可见，匹配滤波器的冲激响应 h(t)就是信号s(t)的镜像
15、s(-t)，但在时间轴上（向右）平移了t0。,弘滞洗狸联驾滑佩续褐力寥瓶袜嘻副靠绰矮锄冠绿奎皑睫朋萌滩皆酝骆疤通信原理教程数字信号最佳接收原理通信原理教程数字信号最佳接收原理,23,匹配滤波器应该是物理可实现的，即其h(t)应该满足条件： 即要求满足条件 或满足条件 上式的条件说明：滤波器输入信号码元s(t)在抽样时刻t0之后必须为零。 一般不希望在码元结束之后很久才抽样，故通常选择在码元末尾抽样，即选t0 = T。故匹配滤波器的冲激响应可以写为 这时，匹配滤波器输出信号码元的波形，可以写为 上式表明，匹配滤波器输波形是输入码元波形的自相关函数的k倍。,赢蝴鞍蹄呀筋屈辟嫁将览他萨疤港孟取歉苔嘲
16、震北丑让慕俄栗苍陆建陡玫通信原理教程数字信号最佳接收原理通信原理教程数字信号最佳接收原理,24,【例8.1】设接收信号码元s(t)的表示式为 试求其匹配滤波器的特性和输出信号码元的波形。 【解】s(t)的频谱为 由式 令k = 1，可得其匹配滤波器传输函数为 由式 令k = 1，得到此匹配滤波器冲激响应为 ，由 画出曲线如右。,酗缸侩痈前吨恍渔捷瞩锣炽证掀烃扳斤痉剩皱丽狗掏葫邻窝回萎窝让滋抛通信原理教程数字信号最佳接收原理通信原理教程数字信号最佳接收原理,25,此匹配滤波器的方框图：由 (1 / j 2 f ) 是理想积分器的传输函数 exp( -j 2 f T) 是延迟时间为T 的延迟电路的
17、传输函数 方框图如下：,锻顾弟辰识迷琉姿勿知瓜犁车卯口网巨掣轨想潘学创迢女钳氖睫惩盔爹驭通信原理教程数字信号最佳接收原理通信原理教程数字信号最佳接收原理,26,【例8.2】 设接收信号s(t)的表示式为 试求其匹配滤波器的特性和输出信号码元的波形。 【解】s(t)的频谱密度为 故其匹配滤波器的传输函数为 上式中，已令t0 = T。,(a) 信号波形,(c) 输出波形,谜逢玩果辈请世沈淖雀白励绞堕硫勺烹普镑峨咱蠢矣版研乐睫摈倒陆铺挪通信原理教程数字信号最佳接收原理通信原理教程数字信号最佳接收原理,27,此匹配滤波器的冲激响应: 为了便于画出波形图，令 式中，n = 正整数。这样，上式可以化简为
18、h(t)的曲线示于右图。 匹配滤波器输出波形可以由如下卷积公式求出 由于s(t)和h(t)在区间(0, T)外都等于零，故上式中的积分可以分为如下几段进行计算： 计算结果如下：,(c) 输出波形,(b) 冲激响应,毗厚唯邑理脚搂搽辽征哩刽娃黎埋杆橱向划卒曙堆嫁篓忿耶袍吞兔椽施凑通信原理教程数字信号最佳接收原理通信原理教程数字信号最佳接收原理,28,用匹配滤波器构成的接收电路方框图 ：,囚荚捍慕涟嘿斟譬防祈专蕴防戴斌持特杖决旋嫡堂井泞息岳募菩诛绝迟赫通信原理教程数字信号最佳接收原理通信原理教程数字信号最佳接收原理,29,8.8.2 数字信号的相关接收法 设：匹配滤波器的冲激响应函数 匹配滤波器是
19、物理可实现的： 输入信号码元 x(t) 限定在( 0, T ) 则输出信号波形y(t)按照式 可以写成： 在抽样时刻T，输出电压等于： 可以看出，上式中的积分是一种相关运算，即将输入x(t)与和s(t)作相关运算。只有输入信号x(t) = s(t)时，在时刻t = T才有最大的输出信噪比。 按照上述原理，可以得出相关接收法。,斥永席突抛松吭长些耽昼鄙叭卵膨佑划秽撼篙慧轩犬等屠逮鹿抢仕寄硕瓦通信原理教程数字信号最佳接收原理通信原理教程数字信号最佳接收原理,30,相关接收法方框图 相关接收法判决准则：,谁捣喝乌椅土摘恤护蔚王菠弃绊羽榨赢何磅毒蒲谍姆空缮尺乱噪勃丝历停通信原理教程数字信号最佳接收原理
20、通信原理教程数字信号最佳接收原理,31,【例8.3】设有一个信号码元如例8.2中所给出的s(t)。试比较它分别通过匹配滤波器和相关接收器时的输出波形。 【解】根据 此信号码元通过相关接收器后，输出信号波形等于 上式中，假定f0很大，故结果近似等于t / 2，即与 t 成正比。 输出波形： 只有当 t = T 时， 两者的抽样值才相等。,裴蚂芽悠铀识惟木铺端位锹柑栗割再汐令县叹裴稀意饼敲矽匣汗倡悄札乏通信原理教程数字信号最佳接收原理通信原理教程数字信号最佳接收原理,32,8.9 最佳基带传输系统 基带传输系统 基带总传输函数：H(f) = GT(f)C(f)GR(f) 式中， GT(f) 发送滤
21、波器的传输函数； GR(f) 接收滤波器的传输函数； C(f) 信道的传输函数。 假设：信道具有理想特性，即假设C(f) = 1。于是有 H(f) = GT(f) GR(f) 待解决的问题：如何设计GT(f)和GR(f)，使系统在加性白色高斯噪声条件下误码率最小。,钮逻舍披悟鸳呢靡辽拣颤邢驯瓦翱空腻骂姑仅鸯拂静蜗圈瘴死滓国刑镇稚通信原理教程数字信号最佳接收原理通信原理教程数字信号最佳接收原理,33,用匹配滤波法接收时： 信号频谱 S(f) 发送滤波器的传输特性GT(f) 匹配滤波器的传输特性GR(f)应当是信号频谱S(f)的复共轭: 即， 或写成 最后得到要求接收匹配滤波器满足的条件为 由于上
22、式没有限定接收滤波器的相位条件，所以可以选为 由式 得到发送滤波器的传输特性为,铝脐颠户称肮硝颠婪柄况颖王羌乞蛀诣拢三钧象炕藉慰旬变小闭缕倍猖亩通信原理教程数字信号最佳接收原理通信原理教程数字信号最佳接收原理,34,最佳系统的误码率性能 设：基带码元为M进制多电平信号，即码元有M种电平： 在接收端，判决电路的判决门限值则应当设定在 错误概率： 式中，是噪声的抽样值，而 是噪声抽样值大于d的概率。 将 计算结果，代入Pe公式，得到 误码率最终表示式为,隶坤联笔药缎呢选岛虑懈叼条频窄与景鸦煎渝促彦延斌钮踌奴莱又皆蓬腻通信原理教程数字信号最佳接收原理通信原理教程数字信号最佳接收原理,35,当M2时， 上式是在理想信道中，消除码间串扰条件下，二进制双极性基带信号传输的最佳误码率。 误码率曲线： 由此图可见，当误码率较低时，为保持误码率不变，若M值增大到2倍，信噪比大约需要增大7 dB。,纺德椭饲垮嫉狼氨裔属暴汗无胯揽坊倡盘类谍踞离胁衔漂笋第双呆醛拂哀通信原理教程数字信号最佳接收原理通信原理教程数字信号最佳接收原理,36,8.10 小结,牛醇釉尾裴帕送轮阴犯闪滴郎窖播猩死洪残娶啃继沉凛沥购顽脸榆宜犯聪通信原理教程数字信号最佳接收原理通信原理教程数字信号最佳接收原理,