集合的概念和表示法.ppt

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1、* 1 首页上页返回下页结束铃 离散数学 3.1 集合的概念及表示法 一一 集合的概念集合的概念 二二 集合的表示法集合的表示法 三三 元素和集合之间的关系元素和集合之间的关系 四四 集合间的包含关系集合间的包含关系 五五 特殊集合特殊集合 六六 小结小结 姓 茨 粥 体 锐 捎 旷 螟 掣 趴 捍 瑰 芦 劝 集 咕 舟 譬 抿 咒 褪 点 丝 掉 狂 楷 芍 池 寂 则 苍 捞 集 合 的 概 念 和 表 示 法 集 合 的 概 念 和 表 示 法 * 2 首页上页返回下页结束铃 离散数学 3.1 集合的概念及表示法 一、集合的基本概念 1、集合的定义 具有某种共同属性的事物的全体称为 例

2、如： 集合。 计算机网络是计算机之间以信息传输为主要 目的而连接起来的计算机系统的集合。 如今流行的WWW(World Wide Web)环球网。 计算机内存的全体单元构成一集合。 婴 傲 姓 尺 需 勘 藤 茬 压 颅 磕 寒 屏 拂 问 猪 怖 善 鲍 少 灭 桌 售 葫 渴 剁 瓶 乙 向 衔 颈 用 集 合 的 概 念 和 表 示 法 集 合 的 概 念 和 表 示 法 * 3 首页上页返回下页结束铃 离散数学 3.1 集合的概念及表示法 一、集合的基本概念 2、集合的元素 1、集合的元素表示的事物可以是具体的，注：也可 以是抽象的。 2、集合的元素是任意的， 但必须是确定的和可 以区

3、分的。 集合里含有的对象或客体称为集合的元素。 历 粟 厄 侠 十 氧 妒 扼 硷 习 歌 娘 蜀 氰 仕 茄 循 躯 垒 缩 粉 秩 龚 视 耪 频 步 演 莉 战 唬 实 集 合 的 概 念 和 表 示 法 集 合 的 概 念 和 表 示 法 * 4 首页上页返回下页结束铃 离散数学 3.1 集合的概念及表示法 一、集合的基本概念 3、集合的分类 1) 有限集合 集合的元素个数是有限的。 2) 无限集合 集合的元素个数是无限的。 硼 懈 让 宛 钾 着 峙 护 酋 兑 散 姨 鸟 醋 皖 远 钾 牟 桩 孽 隐 秃 陆 吱 廉 想 疫 惨 卓 顽 函 次 集 合 的 概 念 和 表 示 法

4、 集 合 的 概 念 和 表 示 法 * 5 首页上页返回下页结束铃 离散数学 3.1 集合的概念及表示法 二、集合的表示法 1、符号表示法 通常用大写字母A, B, C, 代表集合; 用小写字母a, b, c, 代表元素。 1)如果a是集合A的一个元素, 则记为 aA, 读做“a属于A”, 或 “a在集合A中”。 2)如果a不是集合A的一个元素, 则记为 读做“a不属于A”, 或 “a不在集合A中”。 aA, 任一元素, 对某一集合而言, 或属于该集合, 或不属于该集合, 二者必居其一, 且只居其一。 注： 肚 锨 落 蕾 逢 辟 猴 拦 窿 尾 缚 哩 种 收 弹 咯 赞 苏 芦 桔 窘

5、洱 冤 猴 吸 折 僻 钻 奏 留 别 拢 集 合 的 概 念 和 表 示 法 集 合 的 概 念 和 表 示 法 * 6 首页上页返回下页结束铃 离散数学 3.1 集合的概念及表示法 二、集合的表示法 1、符号表示法 绝不容许界限不分明或含糊不清的情况存在。注： 离散数学中，只讨论界限清楚、无二义性的描述， 不清晰的对象构成的集合属于模糊论的研究范畴。 著名理发师问题就属于模糊论的研究范畴。 纳 郡 椽 述 缕 猾 浅 儒 臀 伙 憎 薪 眷 倚 麓 植 够 琶 或 追 茵 侮 披 鹰 蹦 经 捞 矩 醛 私 汞 路 集 合 的 概 念 和 表 示 法 集 合 的 概 念 和 表 示 法 *

6、 7 首页上页返回下页结束铃 离散数学 3.1 集合的概念及表示法 二、集合的表示法 2、描述集合中元素的方法 1) 列举法 a、全部列举法： 以任意顺序写出集合的所有元素, 隔开， 元素间用逗号 并将其放在花括号内。 例如“所有小于5的正整数”， 这个集合的元素为 1, 2, 3, 4, 再没有别的元素了。 如果把这个集合命名为A, A=1, 2, 3, 4 就可记为 衫 氰 脚 恋 豁 穷 秤 伯 咒 纤 潍 逝 批 汐 知 什 边 忱 湍 毗 腊 扬 止 年 介 永 晰 搜 什 古 壤 翰 集 合 的 概 念 和 表 示 法 集 合 的 概 念 和 表 示 法 * 8 首页上页返回下页结

7、束铃 离散数学 3.1 集合的概念及表示法 二、集合的表示法 2、描述集合中元素的方法 1) 列举法 b、部分列举法： 列举集合的部分元素， 素 其他元素可从列举的元 用省略号代替。 例如A表示“全体小写英文字母”的集合， A=a, b, , y, z 则 归纳出来 ， 列举法仅适用于描述元素个数有限的集合注：或 元素具有明显排列规律的集合。 凭 菠 页 绵 掉 自 歇 秦 筏 脯 用 掠 践 庞 膛 券 宙 淫 败 柿 蝉 脖 椒 丫 涣 锤 杏 匠 乙 网 戍 骤 集 合 的 概 念 和 表 示 法 集 合 的 概 念 和 表 示 法 * 9 首页上页返回下页结束铃 离散数学 3.1 集合

8、的概念及表示法 二、集合的表示法 2、描述集合中元素的方法 2) 描述法 把集合元素的共同属性描述出来。 集合中元素的属性。P(x)表示任何谓词， 则 A= x | P(x) 即用谓词概括 表示所有使谓词P(x)成立的元素x所组成的集合。 例：x | x2-3x+2=0、x | x=2n-1nN 如果P(a)为真， 则aA， 否则 aA, (谓词表示法) 集合的元 素 集合的元素 必须满足的 条件 侯 圈 狠 普 掘 饼 换 甫 吹 郝 好 饺 擂 承 渔 谁 战 孕 汝 曹 险 寅 寐 宰 监 焉 粟 悯 贸 守 痞 受 集 合 的 概 念 和 表 示 法 集 合 的 概 念 和 表 示 法

9、 * 10 首页上页返回下页结束铃 离散数学 3.1 集合的概念及表示法 二、集合的表示法 1、有些集合可以用两种方法表示，注：但是有些 集合不可以用列元素法表示， 如实数集合。 2、集合的元素是彼此不同的， 如果同一个元 素在集合中多次出现 应该认为是一个元素。 如:3,4,4,4,5、 3,4,5、 5,4,3是同一个集合。 3、集合的元素是无序的。 4、集合的元素可以是一个集合， 但不允许以 集合自身为其元素。 如:S=a,b,S=a,b,S,aS， bS, 扶 炳 裤 量 钝 沏 媚 榨 涡 返 愿 量 玄 叭 低 蹭 苑 现 荐 焚 剐 沪 标 阔 嘿 薛 沂 眺 洛 赌 刷 丰 集

10、 合 的 概 念 和 表 示 法 集 合 的 概 念 和 表 示 法 * 11 首页上页返回下页结束铃 离散数学 3.1 集合的概念及表示法 A， 三、元素和集合之间的关系 元素和集合之间的关系,是隶属关系， 即属于 或不属于， 属于记作， 不属于记作。 例如：A=1，1，2，3，3 11，23A，A，3A， 23A，A。 可以用一种树形图表示 集合与元素的隶属关系。 A 11,233 123 3 21，2， 绥 茨 营 采 抗 受 鹤 状 预 地 豹 据 琵 奋 凌 赦 庸 倾 钢 防 陈 镭 灼 喝 叫 训 把 仑 刻 氧 匀 佰 集 合 的 概 念 和 表 示 法 集 合 的 概 念 和

11、 表 示 法 * 12 首页上页返回下页结束铃 离散数学 3.1 集合的概念及表示法 AB ( ) 四、集合间的包含关系 1、子集 如果集合A中每个元素都是集合B中的元素， 则称A是B的或A包含于B，子集，或者B包含A， 记作AB 如果A不是B的子集， 或 BA。 AB (x) x Ax B 则在A中至少有一个元素 不属于B时， 称B不包含A， 记作或 BA。 注： 1) AA， 2) AB， BC，则AC。 赛 微 缀 翱 秧 泥 碎 涩 烷 击 匀 嗣 玄 兼 图 肋 娟 症 史 捆 醚 砍 伴 于 秀 懂 胆 坛 慌 贰 只 窃 集 合 的 概 念 和 表 示 法 集 合 的 概 念 和

12、 表 示 法 * 13 首页上页返回下页结束铃 离散数学 3.1 集合的概念及表示法 B( ) 四、集合间的包含关系 2、集合相等 1)定义 两个集合相等当且仅当 它们有相同的元素。 若A和B相等，记作 A=B (x) x Ax (外延性原理) A=B。 两个集合不相等， 记作A B。 档 么 顺 谦 藻 仙 纶 汝 声 呼 娘 崖 棱 雅 蛾 沪 贵 鲜 轩 搭 旗 杰 淆 摄 隶 窥 照 良 粳 宵 敬 脂 集 合 的 概 念 和 表 示 法 集 合 的 概 念 和 表 示 法 * 14 首页上页返回下页结束铃 离散数学 3.1 集合的概念及表示法 x ( )( ) ( )( ) ( )

13、四、集合间的包含关系 2、集合相等 2)判断 A与B互为子集。 定理 若A和B相等当且仅当 AB 且 BA。 即 证明： B A=B (x) x Ax (x) x ABx ( ) x BAx (x) ABx (x) x BAx AB BA 证毕。 龄 焚 寻 轴 猩 尖 么 粕 伯 斋 苛 粹 廖 测 懂 侣 叶 抚 悉 一 层 敌 瑰 携 琶 缘 猴 桐 窍 读 澈 培 集 合 的 概 念 和 表 示 法 集 合 的 概 念 和 表 示 法 * 15 首页上页返回下页结束铃 离散数学 3.1 集合的概念及表示法 A( ) ( ) 四、集合间的包含关系 3、真子集 如果集合A中每个元素都属于集

14、合B， 但B中 不属于A， 则称A是B的 记作A B 或 BA。 AB (x) x Ax B 至少有一个元素真子集。 (x) x B x AB A B 例 A=a，bB=a，b 不是的 子集。（真） 筐 仅 雄 挛 蕉 燎 蔽 兢 充 裕 春 藕 酬 秃 比 炒 诊 邪 笼 胁 贯 婿 始 峨 隘 愿 局 阔 鸡 眩 硬 柳 集 合 的 概 念 和 表 示 法 集 合 的 概 念 和 表 示 法 * 16 首页上页返回下页结束铃 离散数学 3.1 集合的概念及表示法 四、集合间的包含关系 3、真子集 可以用文氏图了表示集合间的包含关系。 文氏(Venn) 图是一种利用平面上的点构成的 图形来形

15、象展示集合的一种方法。 集合用矩形、园面 如果AB， 或一封闭曲线来表示。 则表示A的圆面一般完全落在表示B 的圆面内。 A B B A AB 俏 蚕 滩 据 洲 烈 旅 讽 苗 撞 森 骨 扣 戚 洁 叠 等 邯 墩 甲 杂 皮 线 萤 窖 味 凤 菜 罐 唱 茹 换 集 合 的 概 念 和 表 示 法 集 合 的 概 念 和 表 示 法 * 17 首页上页返回下页结束铃 离散数学 3.1 集合的概念及表示法 四、集合间的包含关系 4、隶属和包含关系的区别 例 A=a，a，B=a BA， BA， B是A的元素， B的元素a 是A的元素， B是A的子集。 隶属是 元素 和 集合 的关系， 包含

16、是 集合 和 集合 的关系， 某些集合可以同时成立这两种关系。 是个体与整体的关系， 是部分与整体的关系。 蛀 押 靶 散 恨 贬 港 落 琐 惦 父 尝 毛 媒 友 缝 匪 殴 佑 丹 王 遮 啸 狱 笔 什 存 裸 语 熙 笨 电 集 合 的 概 念 和 表 示 法 集 合 的 概 念 和 表 示 法 * 18 首页上页返回下页结束铃 离散数学 3.1 集合的概念及表示法 五、特殊集合 1、空集 定义不含任何元素的集合空集，称为记作 。 例 两条平行线交点的集合为。 例 x| x 0 x 0 x R =。 注： 1) 与 的区别。 是集合，没有元素有1个元素的集合 2) ， 梅 蔫 渤 询

17、 潍 部 纪 杆 剐 凰 隐 噬 纂 喀 胃 扒 尾 嫡 努 语 妊 愧 谁 咳 瓤 室 贬 油 屁 畏 虚 垦 集 合 的 概 念 和 表 示 法 集 合 的 概 念 和 表 示 法 * 19 首页上页返回下页结束铃 离散数学 3.1 集合的概念及表示法 五、特殊集合 1、空集 定理空集是任一集合A的子集， 即 A。 设x是论述域中任意元素, 则 x 永假，x x A 永真， (x) (x xA) 为T， A。 下列命题是否为真。 1); 2) ; 3) ; 4) 。 证明： 齿 骗 睫 垣 仁 蚜 寝 婉 聋 潦 窍 鲸 贿 资 具 梆 歹 预 乒 滁 勒 在 艺 遇 锦 橡 晋 召 晃

18、燕 仕 往 集 合 的 概 念 和 表 示 法 集 合 的 概 念 和 表 示 法 * 20 首页上页返回下页结束铃 离散数学 3.1 集合的概念及表示法 五、特殊集合 1、空集 推理空集是唯一的。 设1，2是两个空集, 则1 2， 且2 1， 得1= 2，所以空集是唯一的。 证明： 证明唯一性 一般采用反 证法 (绝对唯一) 证毕。 俐 膏 豌 槐 犹 保 畦 稿 唯 堤 冶 谋 挚 惟 狼 见 悬 否 降 粉 融 烛 怎 币 韩 宰 技 撤 盲 糖 粘 翁 集 合 的 概 念 和 表 示 法 集 合 的 概 念 和 表 示 法 * 21 首页上页返回下页结束铃 离散数学 3.1 集合的概念

19、及表示法 五、特殊集合 1、空集 2)证明一个集合是空集，或证明集合的唯一性， 常采用反证方法， 即假设该集合不是空集， 或不唯一， 导致与已知条件的矛盾或导致唯一。 注： 1)任何非空集合A， 至少有 子集：两个、 和A。 只有 子集 一个。 误 身 忌 绰 驼 赵 诛 凹 垄 嫌 蓝 骤 溅 痴 虫 渍 猾 值 贼 掉 傣 烁 末 侩 淮 娃 瞥 挂 泽 霉 驹 骸 集 合 的 概 念 和 表 示 法 集 合 的 概 念 和 表 示 法 * 22 首页上页返回下页结束铃 离散数学 3.1 集合的概念及表示法 五、特殊集合 2、全集 定义 在一定范围内，如果所有集合都是某一集 合的子集， 则

20、称此集合为全集, 记作 E。 注：1) 全集是相对的，不同的问题有不同的全集， 即使是同一个问题也可以取不同的全集。 2) 一般地说，全集取得小一些，问题的描述和 处理会简单些。 3) 全集E 用一个矩形的内部表示， E 锭 纲 泼 吭 孕 迅 杠 酣 欢 芯 逆 裳 扎 窘 拈 饲 倚 恬 松 瞩 吐 薯 令 瘪 宪 翠 渴 秩 棱 粟 专 碑 集 合 的 概 念 和 表 示 法 集 合 的 概 念 和 表 示 法 * 23 首页上页返回下页结束铃 离散数学 3.1 集合的概念及表示法 五、特殊集合 3、幂集 定义 由集合A的所有子集为元素所组成的集合 称为A的幂集, 记作 注：1) 幂集的

21、元素都是集合。 或P(A)或2 A。 2) 任一集合的幂集 都非空。 3) 在 A 的所有子集中， A 和又叫平凡子集。 (A) 猩 裤 云 框 壶 钱 诧 敞 匝 捏 墅 比 偶 咙 吐 暂 家 注 量 张 垢 了 翼 矩 邵 宋 瓢 民 奎 钝 稚 傣 集 合 的 概 念 和 表 示 法 集 合 的 概 念 和 表 示 法 * 24 首页上页返回下页结束铃 离散数学 3.1 集合的概念及表示法 、 a 五、特殊集合 3、幂集 例 的幂集： = A=a的幂集： = 、 、 、 a A=a，b的幂集： = b a、b 有 个元素1 有 个元素2 有 个元素4 20 21 22 (A) 兵 杏

22、薛 韶 片 善 淖 配 震 浆 嗜 朝 杯 忍 犊 领 涤 励 钻 椭 蜘 允 末 届 潦 双 场 冠 疫 勉 敛 粮 集 合 的 概 念 和 表 示 法 集 合 的 概 念 和 表 示 法 * 25 首页上页返回下页结束铃 离散数学 3.1 集合的概念及表示法 五、特殊集合 3、幂集 一般地， 集合A=a1、 a2、 an ，则 有 个元素。2n 它的m (0 m n)元子集有 个，不同的子集共有 +=(1+1)n=2n个。 肯 纳 拨 纵 蛤 雍 讫 靴 辣 度 厉 护 跪 铸 饯 镶 业 赦 气 诣 握 狄 雍 曰 仙 氓 电 客 柑 反 础 讲 集 合 的 概 念 和 表 示 法 集

23、合 的 概 念 和 表 示 法 * 26 首页上页返回下页结束铃 离散数学 3.1 集合的概念及表示法 、 a、 b、c 、 、 、 、 、 、 五、特殊集合 3、幂集 例 S=a、 b、c，其幂集为 a = b a、b a、c b、c c 引进一种编码，用来唯一的表示有限集的幂集的元素。 a =S100b =S010c =S001 a、b=S110a、c=S101b、c=S011 a、b、c=S111 =S000 =S000, S001, S010, S011, S100, S101, S110, S111 孙 湖 囤 同 搓 底 能 生 许 变 煽 同 豁 晨 渐 惦 兽 袜 辛 身 陶

24、敖 肄 车 坝 在 朵 让 串 肆 牌 夕 集 合 的 概 念 和 表 示 法 集 合 的 概 念 和 表 示 法 * 27 首页上页返回下页结束铃 离散数学 3.1 集合的概念及表示法 五、特殊集合 3、幂集 例 A=，B=(A) ，下列命题是否成立。 a) B,Bb) B, B c) B, B 解()=, = , 显然所有命题均成立。 B=(A) 陕 振 欲 堤 兜 砖 忌 很 舔 检 笛 声 材 七 山 壕 晰 市 透 溅 渴 柳 萄 册 应 舌 除 袁 听 闲 客 序 集 合 的 概 念 和 表 示 法 集 合 的 概 念 和 表 示 法 * 28 首页上页返回下页结束铃 离散数学 3

25、.1 集合的概念及表示法 六、小结 1、集合 具有某种共同属性的事物的全体。 2、集合的元素 集合里含有的对象或客体。 3、集合的表示法 1) 符号表示法 2) 描述集合中元素的方法 a、列举法 b、描述法 轴 济 舞 酝 鸥 棱 测 冈 襟 县 速 戈 币 湘 令 树 勺 驻 丰 袁 动 叼 堑 玻 喂 费 硕 仿 略 椒 庄 颁 集 合 的 概 念 和 表 示 法 集 合 的 概 念 和 表 示 法 * 29 首页上页返回下页结束铃 离散数学 3.1 集合的概念及表示法 六、小结 4、集合和元素间的关系 是隶属关系 5、集合和集合间的关系 子集、真子集、相等 6、特殊集合 空集、全集、幂集

26、 巢 览 疆 猛 记 绅 午 迭 锗 孵 其 偏 寻 毛 瓦 疏 耕 零 邑 蛰 帧 五 秤 烫 嫉 荷 兴 擅 山 貌 拭 蛙 集 合 的 概 念 和 表 示 法 集 合 的 概 念 和 表 示 法 * 30 首页上页返回下页结束铃 离散数学 3.1 集合的概念及表示法 A= x| ， 理发师问题 在一个很僻静的孤岛上，住着一些人家，岛上只 有一位理发师，该理发师专给那些并且只给那些自己 不刮脸的人刮脸。那么，谁给这位理发师刮脸？ 解：设 不给自己刮脸的人x 是b是这位理发师。 1) 若bA， 则b是不给自己刮脸的人， 而由题意， b只给集合A中的人刮脸。 b 要给b 刮脸，即b A。 联

27、医 烁 榴 磨 支 担 闻 侦 漏 佯 伍 赠 筒 愤 般 恳 旧 匙 倦 招 让 眉 霖 技 渴 寺 雷 姜 挎 墓 孙 集 合 的 概 念 和 表 示 法 集 合 的 概 念 和 表 示 法 * 31 首页上页返回下页结束铃 离散数学 3.1 集合的概念及表示法 2) 若b A， 理发师问题 在一个很僻静的孤岛上，住着一些人家，岛上只 有一位理发师，该理发师专给那些并且只给那些自己 不刮脸的人刮脸。那么，谁给这位理发师刮脸？ 解：则b是要给自己刮脸的人， 而由题意， 理发师只给自己不刮脸的人刮脸。 b 是不给自己 刮脸的人， 即bA。 无论1) 和2) ， 都有 bA 及b A 同时成立。 这种情况称为罗索悖论， 是模糊论的范畴。 返回 焙 授 士 宦 拎 独 钙 慧 漠 音 恢 挨 甸 逮 奋 贿 央 降 阮 政 埃 埃 阀 绝 虚 姑 侩 磐 很 敏 附 峨 集 合 的 概 念 和 表 示 法 集 合 的 概 念 和 表 示 法