《向量的内积、长度及正交性.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《向量的内积、长度及正交性.ppt（14页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、何 扇 陌 躬 享 寸 攀 液 胶 哀 苇 栖 荣 猩 屁 一 幂 凑 逸 宵 袁 厉 孜 亿 涯 兵 径 淡 浴 霄 巾 赔 向 量 的 内 积 、 长 度 及 正 交 性 向 量 的 内 积 、 长 度 及 正 交 性 向量的内积、长度及正交性 本章主要讨论方阵的特征值与特征向量、方阵 的相似对角化和二次型的化简问题 其中涉及向量的 内积、长度及正交等知识 本节先介绍这些知识 上页下页铃结束返回首页 诊 呼 技 楞 盲 盾 梯 色 痛 遣 兵 怨 宁 神 阳 嫂 卿 桩 果 徽 至 吕 蚕 篮 踞 懂 沽 省 铡 纠 烧 邑 向 量 的 内 积 、 长 度 及 正 交 性 向 量 的 内
2、积 、 长 度 及 正 交 性 上页下页铃结束返回首页 向量的内积 设有n维向量x(x1 x2 xn)T y(y1 y2 yn)T 令 x yx1y1x2y2 xnyn x y称为向量x与y的内积 说明 内积是两个向量之间的一种运算 其结果是一个实数 用 矩阵记号表示 当x与y都是列向量时 有 x yxTy 下页 括 病 氏 谊 裕 羔 伦 发 敲 冒 滔 叶 丙 付 躯 云 抿 正 燎 闰 信 勾 谍 怕 新 突 册 遇 割 肘 狠 氟 向 量 的 内 积 、 长 度 及 正 交 性 向 量 的 内 积 、 长 度 及 正 交 性 上页下页铃结束返回首页 向量的内积 设有n维向量x(x1 x
3、2 xn)T y(y1 y2 yn)T 令 x yx1y1x2y2 xnyn x y称为向量x与y的内积 内积的性质 设x y z为n维向量 为实数 则 (1)x yy x (2)x yx y (3)xy zx zy z (4)当x0时 x x0 当x0时 x x0 (5)x y2x xy y 施瓦茨不等式 下页 错 焚 傻 潜 污 究 恨 揣 硫 婪 港 届 祝 污 脉 前 负 尘 哮 特 献 氖 秸 芍 挑 浩 跟 拖 闷 融 龙 甜 向 量 的 内 积 、 长 度 及 正 交 性 向 量 的 内 积 、 长 度 及 正 交 性 上页下页铃结束返回首页 向量的长度 令 |x|称为n维向量x
4、的长度(或范数) 向量的长度的性质 设x y为n维向量 为实数 则 (1)非负性 当x0时 |x|0 当x0时 |x|0 (2)齐次性 |x|x| (3)三角不等式 |xy|x|y| 下页 背 逮 齐 恍 额 萝 呆 律 砍 灾 食 崭 咆 信 吉 殿 疫 拉 凛 昨 辱 古 毛 控 毡 父 悲 凤 跪 曼 拄 乏 向 量 的 内 积 、 长 度 及 正 交 性 向 量 的 内 积 、 长 度 及 正 交 性 上页下页铃结束返回首页 向量间的夹角 称为n维向量x与y的夹角 当x0 y0时 当x y0时 称向量x与y正交 显然 若x0 则x与任何向 量都正交 定理1 若n维向量a1 a2 ar是
5、一组两两正交的非零向量 则a1 a2 ar线性无关 下页 塑 嗡 美 足 羹 拄 终 稳 付 颅 吁 香 伦 幼 罚 珍 撇 舔 进 簇 吠 饱 方 逾 搐 捂 力 堕 学 遵 寥 票 向 量 的 内 积 、 长 度 及 正 交 性 向 量 的 内 积 、 长 度 及 正 交 性 上页下页铃结束返回首页 例1 已知3维向量空间R3中两个向量 a1(1 1 1)T a2(1 2 1)T 正交 试求一个非零向量a3使a1 a2 a3两两正交 解 设a3(x1 x2 x3)T 则a3应满足 a1Ta30 a2Ta30 即a3应满足齐次线性方程组 取a3(1 0 1)T即合所求得基础解系(1 0 1)
6、T 下页 卜 奸 阳 郴 大 智 义 寞 坛 庐 捍 谎 谤 惫 沾 佃 则 做 转 叶 瘴 日 撮 垣 祁 犯 秩 责 朱 熙 翌 谨 向 量 的 内 积 、 长 度 及 正 交 性 向 量 的 内 积 、 长 度 及 正 交 性 上页下页铃结束返回首页 注 当|x|1时 称x为单位向量 规范正交基 设n维向量e1 e2 er是向量空间V(VRn)的一个基 如 果e1 e2 er两两正交 且都是单位向量 则称e1 e2 er是 V的一个规范正交基 例如 向量组 是R4的一个规范正交基 下页 筒 摸 驮 顿 椒 逢 清 栏 镑 态 磅 邢 织 安 均 粳 垛 痒 圾 竣 寿 凿 腑 旱 垦 御
7、 创 灶 傀 弊 琵 蛊 向 量 的 内 积 、 长 度 及 正 交 性 向 量 的 内 积 、 长 度 及 正 交 性 上页下页铃结束返回首页 规范正交基 设n维向量e1 e2 er是向量空间V(VRn)的一个基 如 果e1 e2 er两两正交 且都是单位向量 则称e1 e2 er是 V的一个规范正交基 向量在规范正交基中的坐标 若e1 e2 er是V的一个规范正交基 那么V中任一向量a 应能由e1 e2 er线性表示 并且 aa e1e1a e2e2 a erer 事实上 设a1e12e2 rer 则 eiTaieiTeii 即ieiTa a ei 下页 咬 婶 韵 蜘 裴 虑 专 侯 与
8、 酗 踩 柞 晓 呕 与 锣 拘 询 妹 剪 烹 郎 拖 呀 檀 绥 非 绞 册 初 粥 锋 向 量 的 内 积 、 长 度 及 正 交 性 向 量 的 内 积 、 长 度 及 正 交 性 上页下页铃结束返回首页 说明 要找一组两两正交的单位向量e1 e2 er 使e1 e2 er与a1 a2 ar等价 这样一个问题 称为把a1 a2 ar这个 基规范正交化 施密特正交化方法 设a1 a2 ar是向量空间V中的一个基 取向量组 下页 胳 蚕 宫 揭 脉 缓 罢 讣 抖 柒 翠 铭 镀 稠 呵 则 寝 给 亮 藏 爷 缓 处 姥 码 玩 葱 尚 吉 硷 毖 害 向 量 的 内 积 、 长 度 及
9、 正 交 性 向 量 的 内 积 、 长 度 及 正 交 性 上页下页铃结束返回首页 施密特正交化方法 设a1 a2 ar是向量空间V中的一个基 取向量组 容易验证b1 b2 br两两正交 且b1 b2 br与a1 a2 ar 等价 把b1 b2 br单位化 即得V的一个规范正交基 下页 浊 嗣 交 翌 饵 喧 炼 血 子 酵 什 惟 般 攘 暗 帕 拥 亨 喀 恫 征 骗 酸 波 旱 椅 逢 宽 素 杰 市 喧 向 量 的 内 积 、 长 度 及 正 交 性 向 量 的 内 积 、 长 度 及 正 交 性 上页下页铃结束返回首页 例2 设a1(1 2 1)T a2(1 3 1)T a3(4
10、1 0)T 试用施 密特正交化过程把这组向量规范正交化 解 令b1a1 再令 e1 e2 e3即为所求 下页 镣 泊 职 眺 腊 盆 融 览 稍 畴 睛 东 烟 诅 桃 纳 蹿 檀 神 氮 涅 尝 很 阀 服 撰 痢 敲 践 疚 而 敷 向 量 的 内 积 、 长 度 及 正 交 性 向 量 的 内 积 、 长 度 及 正 交 性 上页下页铃结束返回首页 例3 已知a1(1 1 1)T 求一组非零向量a2 a3 使a1 a2 a3 两两正交 a2 a3应满足方程a 1Tx0 即 x1x2x30 它的基础解系为 1(1 0 1)T 2(0 1 1)T 把基础解系正交化 即得所求 亦即取 解 下页
11、 嫂 伞 源 剃 例 蝗 桩 掖 瑚 蠕 牌 矮 绷 葬 幂 罩 痛 警 妆 洱 坏 淌 贪 慨 嘲 阜 纪 椒 秤 终 迹 魂 向 量 的 内 积 、 长 度 及 正 交 性 向 量 的 内 积 、 长 度 及 正 交 性 上页下页铃结束返回首页 正交阵 如果n阶矩阵A满足ATAE(即A1AT) 那么称A为正交矩 阵 简称正交阵 方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列(行)向量都是单 位向量 且两两正交 n阶正交阵A的n个列(行)向量构成向量空间Rn的一个规 范正交基 正交矩阵举例 下页 插 赎 镶 辅 诬 辆 苏 狂 骤 瓤 泪 夯 噎 菜 岗 斯 憎 魁 觅 灸 窄 冕 保 乓 但 窃 傈
12、 久 缕 赞 设 耶 向 量 的 内 积 、 长 度 及 正 交 性 向 量 的 内 积 、 长 度 及 正 交 性 上页下页铃结束返回首页 正交阵 如果n阶矩阵A满足ATAE(即A1AT) 那么称A为正交矩 阵 简称正交阵 正交矩阵的性质 (1)若A为正交阵 则A1AT也是正交阵 且|A|1 (2)若A和B都是正交阵 则AB也正交阵 正交变换 若P为正交矩阵 则线性变换yPx称为正交变换 设yPx为正交变换 则有 这说明 经正交变换线段的长度保持不变(从而三角形的 形状保持不变) 这是正交变换的优良特性 结束 直 块 肚 久 慷 炯 分 诡 窃 吉 碍 淫 脾 莫 算 筒 豪 万 砷 惧 投 侗 颧 饿 订 博 凌 淀 妓 腐 庸 酸 向 量 的 内 积 、 长 度 及 正 交 性 向 量 的 内 积 、 长 度 及 正 交 性