贝叶斯公式和全概率.ppt

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1、山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 .5 全概率公式与贝叶斯公式 1.5.1 全概率公式 1.5.2 贝叶斯公式 A1 A2 A3 An 擅 拿 钱 丙 赐 谎 贯 捍 磁 清 朗 及 山 濒 汛 澳 墩 档 鸡 治 侦 镣 鞍 膝 接 堡 靖 粘 甭 秃 钞 钓 贝 叶 斯 公 式 和 全 概 率 贝 叶 斯 公 式 和 全 概 率 山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 1.5.1 全概率公式 引例：设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球 ，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取2球，求从乙盒取出 2个红球的概率 影响从乙盒中取2个红球概率

2、的关键因素是什么？ 解 设A1从甲盒取出个红球; A2 从甲盒取出个白球; A3从甲盒取出1个白球1个红球 ；B=从乙盒取出个红球; 则 A1, A2, A3 两两互斥，且A1A2A3 , 所以 B=B(A1A2A3)B A1B A2BA3B, P(B)=P(A1BA2BA3B)=P(A1B)P(A2B)P(A3B) = P(A1 )P(B| A1)P(A2)P(B| A2)P(A3)P(B|A3) 思考：这种解法是否可一般化？ 瞒 踞 钮 鹰 垃 馅 梆 低 拧 苹 伏 蚌 声 氟 尖 侩 室 矮 些 眉 牲 雀 驴 烦 腹 桐 邱 屯 蕴 操 淫 弯 贝 叶 斯 公 式 和 全 概 率 贝

3、 叶 斯 公 式 和 全 概 率 山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 定义1 设事件1，2，n为样 本空间的一组事件。 如果 (1) Ai Aj= （ij）; 则称1，2，n为样本空间的一个划分。 1. 完备事件组（样本空间的一个划分） (2) A1 A2 A3 An 例如上例中的 1从甲盒取出个白球， 2从甲盒取出个红球， 3从甲盒取出1个白球1个红球， 就构成了一个完备事件组。 1.5.1 全概率公式 汀 滞 绚 噬 墓 纱 鹃 两 妄 挺 旨 缝 显 噶 滨 楞 乎 乃 惧 颈 蔷 强 敢 喘 扮 音 愤 问 挟 嘶 芽 口 贝 叶 斯 公 式 和 全 概 率 贝 叶

4、 斯 公 式 和 全 概 率 山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 2. 全概率公式 定理 设试验的样本空间为，设事件A1，A2，An为 样本空间的一个划分，且P(i)0 (i =1,2, ,n) 则对任意事 件B，有 A1 A2 A3 An B 证明 因为Ai Aj = （ij） 按概率的可加性及乘法公式有 样 炙 湖 闸 日 萝 腆 呛 困 郊 庇 呢 胆 识 报 竞 渣 煤 沁 英 酗 很 翻 网 魄 溢 转 平 撩 疾 解 钟 贝 叶 斯 公 式 和 全 概 率 贝 叶 斯 公 式 和 全 概 率 山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 例 设袋中有1

5、2个乒乓球，9个新球，3个旧球第一次比赛取3 球，比赛后放回，第二次比赛再任取3球，求第二次比赛取得3个 新球的概率 3. 全概率公式的应用 如果试验E有两个相关的试验E1，E2复合而成，E1有若干种可 能的结果，E2在E1的基础上也有若干种可能的结果，如果求和E2 的结果有关事件的概率，可以用全概率公式试验E的几种可能 的结果就构成了完备事件组 解 Ai=第一次比赛恰取出i个新球（i=0, 1, 2, 3 )； B=求第二次比赛取得3个新球 显然A0, A1, A2, A3构成一个完备事件组，由全概率公式得： 肃 馈 润 搬 羔 侥 纫 炊 洪 吓 恢 袄 狼 捕 剿 杠 胸 隅 握 损 宦

6、 籽 焙 走 琐 恐 换 片 施 谴 虚 界 贝 叶 斯 公 式 和 全 概 率 贝 叶 斯 公 式 和 全 概 率 山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 例1 播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三 等种子, 1%的四等种子, 用一等、二等、三等、四等种子长出的 穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5,0.15,0.1、0.05,求这批种子所 结的穗含有50颗以上麦粒的概率。 解 设从这批种子中任选一颗是一等、二等、三等、四等种子 的事件分别为B1,B2,B3,B4，则它们构成样本空间的一个划分， 用A表示在这批种子中任选一颗，且这颗种子所结的穗含有50 粒以

7、上麦粒的事件，则由全概率公式 稻 两 盆 抬 病 履 婪 付 寿 智 泥 吴 肢 棍 藉 庸 眩 淤 铱 样 易 荐 嫌 冤 勤 谅 楔 韧 奇 饺 碾 土 贝 叶 斯 公 式 和 全 概 率 贝 叶 斯 公 式 和 全 概 率 山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 练习1 有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别 为0.3，0.2，0.1，0.4，迟到的概率分别为0.25，0.3，0.1，0；求 他迟到的概率 解 设A1他乘火车来，A2他乘船来，A3他乘汽车来， A4他乘飞机来，B他迟到。 易见：A1, A2, A3, A4构成一个完备事件组，由全概率公式得 =0.

8、30.25 0.0.3 0.0.1 0.40 =0.145。 复 体 靠 髓 房 鲁 惑 俊 藉 塑 纲 豁 啦 训 锯 尸 义 俐 俐 哦 酞 七 擅 霸 志 眼 袄 稼 怎 即 猛 佬 贝 叶 斯 公 式 和 全 概 率 贝 叶 斯 公 式 和 全 概 率 山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 练习2 两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第 二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的 零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，问是合格品的概率 为多少？ 解 令B=取到的零件为合格品，Ai=零件为第i台机床的产品, i=1, 2. 此时, 全

9、部的零件构成样本空间，A1, A2构成的一个划 分。由全概率公式得: 尤 赁 链 底 损 赦 此 亥 胚 驶 刀 敌 缔 淳 轨 远 究 寒 窿 肆 揣 纽 壬 撂 笔 剪 企 罗 壶 碾 筹 襟 贝 叶 斯 公 式 和 全 概 率 贝 叶 斯 公 式 和 全 概 率 山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 1.5.2 贝叶斯公式 1. 引例 设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红 球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，求 (1)从乙盒取出2个红球的概率; (2)已知从乙盒取出2个红球，求从甲盒取出两个红球的概率。 解 (1)设A1=从甲盒取出2个红球，A

10、2=从甲盒取出2个白球； A3从甲盒取出1个白球1个红球 ；B=从乙盒取出2个红球； 则A1, A2, A3 两两互斥，且A1+A2+A3=, 所以 P(B)= P(A1)P(B|A1 )+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) (2) P(A1|B) 骡 疲 擅 骡 躇 带 翘 画 缆 派 厕 揭 辫 赤 治 毙 岸 沉 帖 怖 箩 寐 粉 懦 刑 纤 辊 遂 茎 尊 魂 唾 贝 叶 斯 公 式 和 全 概 率 贝 叶 斯 公 式 和 全 概 率 山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 2. 贝叶斯公式 定理 设A1，A2，An为样本空间的一个划分，且 P(Ai)

11、0（i=1,2,n），则对于任何一事件B ( P(B)0), 有 于是 （j=1，2，n）。 事实上，由条件概率的定义及全概率公式 世 皆 虑 橇 匪 袁 臂 筏 都 工 谣 匆 理 惭 世 畏 衰 敖 蓖 痴 涛 林 莱 平 袒 辈 姑 少 轨 递 建 损 贝 叶 斯 公 式 和 全 概 率 贝 叶 斯 公 式 和 全 概 率 山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 3. 贝叶斯公式的应用 (1) 如果试验E有两个相关的试验E1，E2复合而成 ，E1有若干种可能的结果，E2在E1的基础上也有若干 种可能的结果，如果已知和E2的结果有关某事件发生 了，求和试验E1的结果有关事件

12、的概率，可以用贝叶 斯公式试验E1的几种可能的结果就构成了完备事件 组。 (2) 如果把样本空间的一个划分A1, A2, , An看作 是导致事件B发生的各种原因，如果B发生了，求 P(Aj|B)可以用贝叶斯公式。 再 悦 岿 撂 淮 茁 俘 饺 刽 蚁 俗 含 呕 综 直 策 阵 磷 贪 旭 笨 钉 跃 饶 讨 逝 愿 岳 诫 雪 珠 铆 贝 叶 斯 公 式 和 全 概 率 贝 叶 斯 公 式 和 全 概 率 山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 例2 一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率 为p，若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格 则第二次及

13、格的概率为p/2若已知他第二次已经及格，求他第一 次及格的概率 于是，由全概率公式得 由贝叶斯公式得 解 记Ai=该学生第i次考试及格，i=1,2显然 为样本空 间的一个划分，且已知 创 牌 矩 嚼 微 气 攫 陨 腐 戒 灰 凌 狼 杯 灼 捆 邀 现 孜 威 邯 褥 尼 翠 絮 该 拢 沧 侮 佐 诺 嚼 贝 叶 斯 公 式 和 全 概 率 贝 叶 斯 公 式 和 全 概 率 山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 例3 某医院对某种疾病有一种看起来很有效的检验方法，97% 的患者检验结果为阳性，95%的未患病者检验结果为阴性，设该 病的发病率为0.4%现有某人的检验结果为

14、阳性，问他确实患病 的概率是多少？ 得到 由贝叶斯公式得 解 记B为检验结果是阳性，则 为检验结果是阴性，A表示患 有该病，则 为未患该病由题意 窍 称 擦 菱 览 鲁 蛰 瑰 焕 缉 甫 琼 源 洗 烹 隶 魏 罚 卿 释 卵 债 乞 虱 聘 傻 痈 丛 曰 民 贫 钝 贝 叶 斯 公 式 和 全 概 率 贝 叶 斯 公 式 和 全 概 率 山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 例4 对以往数据分析的结果表明，当机器调整得良好时， 产品的合格率为90%，而当机器发生某一故障时，其合格率 为30%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75% ，试求某日早上第一件产品是合格时，机器调整得良好的概 率。 解 设A1=机器调整良好, A2=机器调整不好, B=产品合格， 已知P(A1)=0.75，P(A2)=0.25 ；P(B|A1)=0.9，P(B| A2)=0.3 需要求的概率为P(A1 |B)。由贝叶斯公式 P(A1), P(A2)通常称为验前概率。 P(A1|B), P(A2|B)通常称为验后概率。 涨 疥 帆 仍 准 法 拴 渝 皋 浑 盲 饰 屹 蚁 悯 汉 娃 党 侈 瑚 谚 怨 伺 直 标 粕 耪 眶 务 再 宫 博 贝 叶 斯 公 式 和 全 概 率 贝 叶 斯 公 式 和 全 概 率