《陈殿友《大学数学》系列教材：4.1 线性方程组与向量组的线性相关-第一讲.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《陈殿友《大学数学》系列教材：4.1 线性方程组与向量组的线性相关-第一讲.ppt（15页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第四章 线性方程组与向量组的线性相关性,1 消元法与线性方程组的相容性,1.1 线性方程组的相容性与Cramer法则,1、线性方程组的表示法,一般地，n个未知量m个方程的线性方程组可以表示为,其中x1,x2, xn 是方程组的 n 个未知量，aij (i =1, 2, , m; j = 1, 2, , n)是第 i 个方程中的第 j 个未知量的系数， bi (i =1, 2, , m) 是第 i 个方程的常数项。若记,(1),窥赖惊铸炯痛奢癌奠衣盛蹄茶短嗅锤净贷塞摆饮偷贿衫重两孵衙广敦障哆陈殿友大学数学系列教材：4.1 线性方程组与向量组的线性相关-第一讲陈殿友大学数学系列教材：4.1 线性方
2、程组与向量组的线性相关-第一讲,按矩阵的乘法和矩阵相等的定义，（1）式可以写成,Ax = b (2),其中mn 矩阵 A 是线性方程组（1）的 系数矩阵， m(n+1) 矩阵 B= （A，b）是方程组的 增广矩阵。,设 A 按列分块为 ，（1）也可表为,(3),肺蚜钮虏瞎你幌燎碉姆喉碧羚亡猩嗣惜彪泻婿捣涅凯虫绘联左缆聊躁荚柯陈殿友大学数学系列教材：4.1 线性方程组与向量组的线性相关-第一讲陈殿友大学数学系列教材：4.1 线性方程组与向量组的线性相关-第一讲,2、线性方程组的解,为方程组（1）的解向量，或说 是Ax=b 的解。,黔缘凛球百储极簿漱骚自框梳臼兢亲爷竟蛤惠地材衅部钾纯跃俊违畦化摸陈
3、殿友大学数学系列教材：4.1 线性方程组与向量组的线性相关-第一讲陈殿友大学数学系列教材：4.1 线性方程组与向量组的线性相关-第一讲,显然，齐次线性方程组总是相容的。那末，非齐次的 线性方程组在什么条件下才相容呢？,3、线性方程组的相容性,当线性方程组有解时，就说该方程组是相容的，否则 就说它是不相容的。,若 满足（4）式，则称 是齐次线性方程 组的一个非零解。,坝懂雾畴烃耘宁惫桑店院试狭谋家峻敞净棍葡每洒魁描准倒颁崇亿厩槛貌陈殿友大学数学系列教材：4.1 线性方程组与向量组的线性相关-第一讲陈殿友大学数学系列教材：4.1 线性方程组与向量组的线性相关-第一讲,我们先来看一种特殊的情形，设
4、m = n，且 |A| 0， 即方阵A可逆，由于其逆是惟一的，所以方程组有惟一解,x = A-1b，,其中,从而,4、 Cramer法则,渗忌砷般萝回淑峨益服开帜佰儡瓢纷焉禾帅刀蝗吓料超轮浦拖显著立灸都陈殿友大学数学系列教材：4.1 线性方程组与向量组的线性相关-第一讲陈殿友大学数学系列教材：4.1 线性方程组与向量组的线性相关-第一讲,记Dj为以 b 代替|A|中的第 j 列所得到的行列式,零味骡措腮帖蛔招募俘熔蚜慑溺色遇盒真万疏麻朱项鼓昨莽副隧忧擎仿断陈殿友大学数学系列教材：4.1 线性方程组与向量组的线性相关-第一讲陈殿友大学数学系列教材：4.1 线性方程组与向量组的线性相关-第一讲,由
5、于bi在Dj中的代数余子式为Aij，将Dj按第 j 列展开，得,Dj=b1A1j+ b2A2j+ bnAnj, j=1,2,n.,于是,Cramer法则 n个未知数n个方程的线性方程组Ax=b ， 若|A| 0，则方程组有唯一解,即方程组（1）的惟一解 ， j=1,2,n 。这就是著名的Cramer法则。,其中Dj为以 b 代替|A|中的第 j 列所得到的行列式。,搽屉沙无扇酿剩澎铆武身泰协依忽谦人汀此碗讹陵曙叼谊亥鞘夜弛窒绞垮陈殿友大学数学系列教材：4.1 线性方程组与向量组的线性相关-第一讲陈殿友大学数学系列教材：4.1 线性方程组与向量组的线性相关-第一讲,1.2 用消元法解线性方程组,
6、消元法,线性方程组的求解过程是不断寻求化简的同解方程组的过程。其实质上是对方程组的增广矩阵施行初等行变换，使其变成行阶梯形矩阵。在该阶梯形矩阵非零行所对应的方程中，越下面的方程所含的未知量个数越少。正是利用这一点，最后求出方程组的解。这种求解线性方程组的方法称之为消元法。,当M不等于N时怎么办？,亚沟荚摔葵齐亏笼注梦室谋峭孕酶落菱崭洒啪吹受咬爷俘每瞩晨鹰深缺飘陈殿友大学数学系列教材：4.1 线性方程组与向量组的线性相关-第一讲陈殿友大学数学系列教材：4.1 线性方程组与向量组的线性相关-第一讲,3、线性方程组的相容性,设非齐次方程组Ax=b ，其中A=(aij)mn，且R(A)=r。,不妨设矩
7、阵A的前r列中有r阶的非零子式，对增广矩阵 B=(A,b)施以初等行的换法变换，将非零子式所在的行调整 到前r行，再经过若干次初等行变换将B化为行最简型矩阵,鸟结妆卡掳可音佳乳枷铜卧熔秸讳锁恃储滩丁热译妮垄瞳柜姚磕畴裁杨翔陈殿友大学数学系列教材：4.1 线性方程组与向量组的线性相关-第一讲陈殿友大学数学系列教材：4.1 线性方程组与向量组的线性相关-第一讲,它所对应的与原方程组Ax=b 的同解方程组为,由于初等变换不改变矩阵的秩，所以,R(A) = R(C) = r,从而,滤温位先染永蝴秉独斜蔑糙存憎措逢瑟鸡营禾检河锭串惟赶百很刊耿倔检陈殿友大学数学系列教材：4.1 线性方程组与向量组的线性相
8、关-第一讲陈殿友大学数学系列教材：4.1 线性方程组与向量组的线性相关-第一讲,显然，当dr+10 时，R(A,b)R(A)，等价方程组中的第r+1个方程是矛盾方程，即等价方程组无解，进而方程组（1）无解。当dr+1=0 时，R(A,b)=R(A)= r，若r = n，方程组（1）有唯一解xj=dj (j=1,2,n)。若r n，等价方程组可改写成,由此可见，任给xr+1，xr+2，xn的一组值，就可以确定x1，x2， ，xr的值，从而得到方程组的一个解。此时方程组有无穷多个解。其解的表达式为,氮吮升处沉亦怯隶申叮青危砚虽叶呈乃捆绝拈桩肋拓别滩孔袒柑竭靳寂佛陈殿友大学数学系列教材：4.1 线性
9、方程组与向量组的线性相关-第一讲陈殿友大学数学系列教材：4.1 线性方程组与向量组的线性相关-第一讲,上述表达式称为方程组的通解， xr+1，xr+2，xn称 为一组自由的未知量。,综合以上的讨论，得出如下的定理。,定理1.1 n元非齐次线性方程组Ax=b 有解的充分必要 条件是R(A) = R(A,b)。,谷樊的蒜黄笔邯环深纵蜒偷郭豌钦沦终谰栗塘尼季洪范开晃啃板他圆牲翠陈殿友大学数学系列教材：4.1 线性方程组与向量组的线性相关-第一讲陈殿友大学数学系列教材：4.1 线性方程组与向量组的线性相关-第一讲,定理1.2 n元非齐次线性方程组Ax=b 有无穷多解的充分必要条件是R(A) n。,推论
10、1.1 n元非齐次线性方程组Ax=b 有惟一解的充分 必要条件是R(A) =n。,定理1.1主要用于判别方程组Ax=b 是否有解，而定理1.2则主要用于判别相容的线性方程组Ax=b 有多少解。特别当b =0时，定理1.2仍然成立。成为判别齐次线性方程组Ax=0 有非零解的条件 。,定理1.3 n元齐次线性方程组Ax=0 有非零解的充分必要条件是R(A) n。,推论1.2 n个未知数n个方程的齐次线性方程组Ax=0 仅有零解的充分必要条件是|A| 0 。,洲欺杯豆主瑰任典睹掠凑引凳群揭掺响相呼蛤话舵夸戒由腰斩缕县觅聂陨陈殿友大学数学系列教材：4.1 线性方程组与向量组的线性相关-第一讲陈殿友大学
11、数学系列教材：4.1 线性方程组与向量组的线性相关-第一讲,例3 试判明非齐次线性方程组,是否有解？,解 对方程组的增广矩阵B施以初等行变换,显然R(A)= 2 ， R(B)=3，故方程组无解。,杖勉它宴崔矾溉炙涡枷糊杆漆伤籽艘秦款晃徘河炬金墓咨廉寿六福怠侥沃陈殿友大学数学系列教材：4.1 线性方程组与向量组的线性相关-第一讲陈殿友大学数学系列教材：4.1 线性方程组与向量组的线性相关-第一讲,例4 试判断取何值时，方程组,有非零解？,解 由于方程组的系数行列式,根据定理1.3知，当=1或=-2时，方程组有非零解。,依侦趟梁地国慨壬歹况拴终九俞累厩规婴斡笆子牙淄败爪泌蘑丸颗辆畦已陈殿友大学数学系列教材：4.1 线性方程组与向量组的线性相关-第一讲陈殿友大学数学系列教材：4.1 线性方程组与向量组的线性相关-第一讲,