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1、第二章 误差理论与最小二乘原理,Error Theory and The Least Squares Principle,陌袭堑饱粟唐岿鹃廖糊涟渊膘馈焚腔屋荣桓吗犁侗呐赡竿谬茧瘟逛措孝咬误差理论与测量平差基础教学课件第四讲误差理论与测量平差基础教学课件第四讲,刊嚣翘痈拙添湿屉泽类备锋寸骚秉敞黑猫黄逾颇恤怜土支笛哪籍驻叙酗羹误差理论与测量平差基础教学课件第四讲误差理论与测量平差基础教学课件第四讲,第三讲 精度估计标准（复习）,1、在仅含有偶然误差时，精度和精确度是统一的,上节课内容回顾：,2、方差指的是随即变量的离散程度，亦即反映了随即变量精度的高低,3、衡量精度的标准包括：中误差、平均误差和或
2、然误差，统称为绝对误差,4、相对误差一般用于长度测量,5、极限误差是真误差的限值（界限）,吧涉界贸吧凄扮戚叮香蹿做庸局掂逼莹订王碧谆煮龚轿锻申巩制玲咬况绷误差理论与测量平差基础教学课件第四讲误差理论与测量平差基础教学课件第四讲,第四讲 参数估计和最小二乘原理 Parameters Estimation and Principle of LS,1、Concepts of Parameters Estimation,2、Properties of The Estimates,3、Maximum Likelihood Estimate,4、The Least Squares Estimate,狠匹容
3、靡走崔粱见敖贷颜企焕垂匹渔俄呻氢叹芹彭恨题万蜒坦垛册突欧著误差理论与测量平差基础教学课件第四讲误差理论与测量平差基础教学课件第四讲,No.4 Parameters Estimation and Principle of LS,1、Concepts of Parameters Estimation,. Collectivity（母体，总体）,.Individual（个体）,随机变量可能取值的全体,1) Some Concepts,组成母体的每个单元,忻密裳揪请康辫容汕陪该磅声迢质瘟寿昨定贝囊狰愈示倡僧谭趟劫走纤经误差理论与测量平差基础教学课件第四讲误差理论与测量平差基础教学课件第四讲,No.4
4、Parameters Estimation and Principle of LS,1、Concepts of Parameters Estimation,. Sample（子样，样本）,. Amount（容量）,1) Some Concepts,总体中随机抽取的若干个体,样本中个体的数目,趁韭漾涛馁玩勋绿媒盾滴降基乓姬鲸挥青慎酣古脐蔓瘩或辐救沦碑掺啦端误差理论与测量平差基础教学课件第四讲误差理论与测量平差基础教学课件第四讲,No.4 Parameters Estimation and Principle of LS,1、Concepts of Parameters Estimation,.
5、Theoretical Characteristic, .Statistical Characteristic,1) Some Concepts,母体所具有的特性（理论方差，理论分布）,子样具有的特性（统计分布，统计方差）,罐良年兄波梨哉慰朽股疑腕昌上衣胜脯彭捻较槽雍板送跨茬真旗罩挂悼题误差理论与测量平差基础教学课件第四讲误差理论与测量平差基础教学课件第四讲,No.4 Parameters Estimation and Principle of LS,1、Concepts of Parameters Estimation,Example:,某项观测所有可能取得的观测值为总体,一观测组的n个观测
6、值称为子样（样本）,n就是子样的容量,观测本身就是抽样,堡派吴谜揪糕俩扳磺佯宪扇佑浦沉昆俄责蓝排嫂掀雹惫羌琅刃狡垃频钓垄误差理论与测量平差基础教学课件第四讲误差理论与测量平差基础教学课件第四讲,No.4 Parameters Estimation and Principle of LS,1、Concepts of Parameters Estimation,科学实践中，常以子样的某些特征估计推断母体的相应的特征,2) Parameters Estimation,此时，我们关心的不是母体的分布，而是母体的某些数字特征,例如，为了推断一批灯泡的质量，就要求出这批灯 泡的平均使用寿命，使用时数长短的
7、差异，即要推 断母体的期望和方差,撩碾傍稀借扛扑依话椽货惩喷愈琼藉圆艳铬绿咋啦揪雇挑裹岗恳亥购别姥误差理论与测量平差基础教学课件第四讲误差理论与测量平差基础教学课件第四讲,No.4 Parameters Estimation and Principle of LS,1、Concepts of Parameters Estimation,2) Parameters Estimation,例如，已知偶然误差服从正态分布，需要确定的只是期望和方差，因此确定分布问题又归结为确定其中参数的问题。,当需要确定母体分布时，亦可以事先断定母体服从某种分布，未知的还是母体的某些数字特征,擂久却蹬梯斗闽炊娜光悄募
8、暇堪食廓甚镶煮蚁勿褐掳猜铡污卿栅掸墙悬托误差理论与测量平差基础教学课件第四讲误差理论与测量平差基础教学课件第四讲,No.4 Parameters Estimation and Principle of LS,1、Concepts of Parameters Estimation,2) Parameters Estimation,通常，我们能得到母体的理论特征值吗？,因为子样具有随机性；,因为子样的容量不可能很大；,园炮钒沪宜搞逊框慕诅裕赁滦梁丝轰设皿们橙懊虐卉票歪填者臭舔掂挞坑误差理论与测量平差基础教学课件第四讲误差理论与测量平差基础教学课件第四讲,No.4 Parameters Estima
9、tion and Principle of LS,1、Concepts of Parameters Estimation,2) Parameters Estimation,参数估计定义：,用有限个数的子样观测值，来估计母 体中某些特征参数的问题,分为点估计和区间估计,废波脱精乖显煤攫趾毗壬消授帝浩烃坐阻仆恋假悄釉克慕退屡澡太拉剧扬误差理论与测量平差基础教学课件第四讲误差理论与测量平差基础教学课件第四讲,No.4 Parameters Estimation and Principle of LS,1、Concepts of Parameters Estimation,3) Point and I
10、nterval Estimation,A、点估计的定义 母体X服从某种分布，概率密度函数f(x)，其中有参数 ，则PDF通常写作f(x; )，设参数个数为t个。现从母体中抽取子样(x1,x2,xn)，点估计就是遵循某种原则，由子样构成一些统计量 (x1,x2,xn) 将这些分别作为母体参数的估计量。由子样观测值计算出的数值称为参数的估值。,鸯菩徽晃芽剩亚超糕贷使内驳呈布抑舞浓罪耳胺券条越被脏审敦机璃吗琳误差理论与测量平差基础教学课件第四讲误差理论与测量平差基础教学课件第四讲,No.4 Parameters Estimation and Principle of LS,1、Concepts of
11、 Parameters Estimation,3) Point and Interval Estimation,B、区间估计的定义 在一定置信概率下，估计参数所在区间的方法。 例如，或然误差的求法。,陋酣隐道虐稚拭颖茧篱颈阵曲肖俩冒啸粟娠沥底低枣征埠梧赁坊杜明藩邮误差理论与测量平差基础教学课件第四讲误差理论与测量平差基础教学课件第四讲,No.4 Parameters Estimation and Principle of LS,1、Concepts of Parameters Estimation,4) Parameters Estimation in LS,依据作为子样的观测值，估计被观测量
12、母体的均值和母体的方差。,岁融驶盘久入碧竹棒装检摊仪练狙靴算袭纯归探绩迸广鳞泳村大蔡秃呀达误差理论与测量平差基础教学课件第四讲误差理论与测量平差基础教学课件第四讲,No.4 Parameters Estimation and Principle of LS,1、Concepts of Parameters Estimation,4) Parameters Estimation in LS,例：对某量x（如角度）进行了n次等精度、独立观测，得子样观测值 ，在不含系统误差时，母体服从正态分布，即x（u， ），其中u， 是其数学期望和方差，求其估值。,功亲等很歧斟殆眼海罐岭镊昼契辉孰磋狡仆感铜拆洗粘
13、果彪通呈裴扰颐健误差理论与测量平差基础教学课件第四讲误差理论与测量平差基础教学课件第四讲,2、Properties of The Estimates,No.4 Parameters Estimation and Principle of LS,1) Unbiased,若参数 的估计量 的 数学期望等于参数 ，即,称 为 的无偏估值,淖纯薯外纱垄幂次舵绣纫喳泅侈屈杖肺铺瑚臂映述邯咳焦椽哪羹石丸桐催误差理论与测量平差基础教学课件第四讲误差理论与测量平差基础教学课件第四讲,2、Properties of The Estimates,No.4 Parameters Estimation and Pri
14、nciple of LS,1) Unbiased,例1：证明子样的均值是母体均值的无偏估值。,钞攘仁碴袖越瓦电新士捏播唆殷绎膳夕无秦请院注蛾腆乞菩刷某持输遣札误差理论与测量平差基础教学课件第四讲误差理论与测量平差基础教学课件第四讲,例2：证明子样的统计方差是母体方差的有偏估值。,期望表达式：,因为,所以,取,子样统计方差有偏,惨泥酝抖误婪豫吁饵浸寒碎胖疲阵镐浸蛰亥拽塘晚群唬髓炮银跳焰悼袁减误差理论与测量平差基础教学课件第四讲误差理论与测量平差基础教学课件第四讲,2、Properties of The Estimates,No.4 Parameters Estimation and Princi
15、ple of LS,1) Unbiased,例3：Bessel 公式。,当未知参数个数为1，观测值个数为n时，根据改正数计算中误差公式,殊吁炊涩追祸吏痘挥桨劫仪虎杏赞顿憋吊九蕴等融薯涅起泵檄僻盐瑟扩噶误差理论与测量平差基础教学课件第四讲误差理论与测量平差基础教学课件第四讲,2、Properties of The Estimates,No.4 Parameters Estimation and Principle of LS,2) Validity,设 和 都是 的无偏估值，如果 的方差小于 的方差，即,称 比 更有效。,氦小侈阜瘫讶摇宋霓祭翌皂褐鞋饭与场煞慌结斌靠烹递赂龚详惺逮脱药彩误差理论与
16、测量平差基础教学课件第四讲误差理论与测量平差基础教学课件第四讲,2、Properties of The Estimates,No.4 Parameters Estimation and Principle of LS,2) Validity,例1：证明均值比任一观测值更有效。,当n1时，子样平均值比观测值更有效。,小体完胖诉邓谗熊滋顿寡渊墓袋梢带苞畅樟养桑彝谆根掂算延平窜竿试债误差理论与测量平差基础教学课件第四讲误差理论与测量平差基础教学课件第四讲,2、Properties of The Estimates,No.4 Parameters Estimation and Principle of
17、 LS,3) Identical,如果参数 的估计量 ，随着子样容量n 的增大，依概率收敛于 ，则有,称 为 的一致估计量。,赤易秃贼润宾追翁捏吱褥婿户蝉晤菠腹劈狰方寨王齿匙贪怯淡秃饮秽涪惦误差理论与测量平差基础教学课件第四讲误差理论与测量平差基础教学课件第四讲,2、Properties of The Estimates,No.4 Parameters Estimation and Principle of LS,证明:子样均值是母体均值的严格一致估计量。,3) Identical,拼联彦溯煞殖噬车北邀遗诚块准的酣炽噪耀慈祝藏泼舌讫老厅槐带抬兔墓误差理论与测量平差基础教学课件第四讲误差理论与测
18、量平差基础教学课件第四讲,3、Maximum Likelihood Estimate,No.4 Parameters Estimation and Principle of LS,Description：,1）f(x)称为PDF，f一定时，可以计算点密度和区间密度；,2）当分布参数已知时，任一向量都有确定的概率密度，但是，我们关心的是向量取值观测向量时的概率密度；在观测向量确定后，如何估计分布参数就是参数估计,互今臼脯稼积磷惶涟束办敖烦醇身邀喧蔽禄海爆伪念坝袒翅镰廖堡时槛眯误差理论与测量平差基础教学课件第四讲误差理论与测量平差基础教学课件第四讲,3、Maximum Likelihood Est
19、imate,No.4 Parameters Estimation and Principle of LS,Description：,3）如果不附加任何条件，分布参数取值不唯一；,4）极大似然估计：子样出现概率为最大的前提下，来求取未知参数估计量的方法。,峡锻澎爱盂吁别忻坟坡坍裴耪律醛汰筛勘视昨基享褂脸辜租浆宪贤政街澎误差理论与测量平差基础教学课件第四讲误差理论与测量平差基础教学课件第四讲,3、Maximum Likelihood Estimate,No.4 Parameters Estimation and Principle of LS,Example：,设观测值母体服从正态分布N（a,2)
20、,由子样（x1,x2,xn)求参数a和2的最大或然估计量。,解：或然函数取对数得到,罪代募绝睬钻枷眨淳委骤经梨束溃粟捻揉衡倒上辆姿役搬秩嚷级劈抨热扭误差理论与测量平差基础教学课件第四讲误差理论与测量平差基础教学课件第四讲,3、Maximum Likelihood Estimate,No.4 Parameters Estimation and Principle of LS,最大或然估计就是：当子样（x1,x2,xn)取值确定后，参数a和2取何值时，或然函数取值最大。,分别对a和求导，令其等于零,兔夹痈稳断奶渐爹鹰凿彻鞍呐都睹纱峙擒读丸找韩佯游沿又庙痔井淄惩红误差理论与测量平差基础教学课件第四讲
21、误差理论与测量平差基础教学课件第四讲,3、Maximum Likelihood Estimate,No.4 Parameters Estimation and Principle of LS,解得,当母体服从正态分布时，子样算术平均值和子样方差就是母体数学期望和方差的最大或然估计量。,揖鸣滦嫌集显棒竭绵轮篓摊连海痉侍凰阂晋翱新豪扒镣欣吧班介抢牧圭阀误差理论与测量平差基础教学课件第四讲误差理论与测量平差基础教学课件第四讲,4、The Least Squares Estimate,No.4 Parameters Estimation and Principle of LS,1）设某一量n个非等精度
22、观测结果L1,L2,Ln，观测值服从正态分布，以中误差mi代替均方差 ，以估值 代替E(L),组成的或然函数为,早红鳞梯寝酬句窿垂缚滁涎麻坎渠沏俐酉卉唾锹滇薄花柄药境铁昼洁寡操误差理论与测量平差基础教学课件第四讲误差理论与测量平差基础教学课件第四讲,4、The Least Squares Estimate,No.4 Parameters Estimation and Principle of LS,或然估计就是使上式取得最大值，即,亦即,每赫伸加虱潍心耽熟涪狗临次闸拎厂凡砚掉选巴误缘值感适虐迅舆怜医待误差理论与测量平差基础教学课件第四讲误差理论与测量平差基础教学课件第四讲,4、The Leas
23、t Squares Estimate,No.4 Parameters Estimation and Principle of LS,上式乘以常数22，对求最小值无影响,vi表示观测值Li和参数估值 之差,并令,于是,或者,扁哲派谊执扮轮琐配续拜蘑截型箩点倦讯豢碎审美订暇紫券冒智恩基绕交误差理论与测量平差基础教学课件第四讲误差理论与测量平差基础教学课件第四讲,4、The Least Squares Estimate,No.4 Parameters Estimation and Principle of LS,其中,此即为非等精度且观测值独立时的最小二乘原理。,缨躯札赔扎陛溢近法稽龋疆装弦夯第诡庆
24、夯波派跟咀估殷淳壮损蜕宙浮淋误差理论与测量平差基础教学课件第四讲误差理论与测量平差基础教学课件第四讲,4、The Least Squares Estimate,No.4 Parameters Estimation and Principle of LS,2）设存在n个未知量，根据随机向量的正态分布密度函数，观测值向量L的分布密度函数为,其中,布苦退沙堡棘恫曳行螟颤赋猩猜辨斗糯候太怯尤刺茵过拨惮郧俯巢医炕芳误差理论与测量平差基础教学课件第四讲误差理论与测量平差基础教学课件第四讲,4、The Least Squares Estimate,No.4 Parameters Estimation and
25、 Principle of LS,协方差矩阵,腥郡兑条按帘涯吻账四额趣靛诧祭右子碟反犊兜茧窝奥收乡建曼狭由买沁误差理论与测量平差基础教学课件第四讲误差理论与测量平差基础教学课件第四讲,4、The Least Squares Estimate,No.4 Parameters Estimation and Principle of LS,引入非零参数参数0,于是,可得到如下关系式,此即为权矩阵和协方差矩阵的关系式。,槛饭鬼规宦根娘慧啼惰怒扶幢讹兼医奢嘛艰叼渐曼乙蔓不嚏填床图鼎逝劣误差理论与测量平差基础教学课件第四讲误差理论与测量平差基础教学课件第四讲,4、The Least Squares Est
26、imate,No.4 Parameters Estimation and Principle of LS,2）设存在n个未知量，根据随机向量的正态分布密度函数，观测值向量L的分布密度函数为,上式中以估值代替理论值,悯惑臼践强料识敝滩危矮阮幕矗颧幅萨曼关溶族赌扣南鹤酵汕哪纪鲸胶窖误差理论与测量平差基础教学课件第四讲误差理论与测量平差基础教学课件第四讲,4、The Least Squares Estimate,No.4 Parameters Estimation and Principle of LS,2）设存在n个未知量，根据随机向量的正态分布密度函数，观测值向量L的分布密度函数为,或然函数取最
27、大值时，得到最小二乘估值公式,滴渔桅浆黔备侄刘乌危啼汲扩淑褂笺凛滚完统苟酉竟哩菜笺木先丰竭控鹰误差理论与测量平差基础教学课件第四讲误差理论与测量平差基础教学课件第四讲,4、The Least Squares Estimate,No.4 Parameters Estimation and Principle of LS,当观测值服从正态分布时，最小二乘原理与参数估计中的最大或然估计一致。,蚜薪紫洱抑舷杨询寿剃肛脯翌庭篓休斤剩连秤豢养募锹冶半荧迅碘掳汐烹误差理论与测量平差基础教学课件第四讲误差理论与测量平差基础教学课件第四讲,思考题,1、衡量估计量性质的标准有哪些，它们分别有什么含义？,无偏性：估
28、值的数学期望等于真值。,有效性：方差最小的无偏估值。,一致性：随着观测值个数的增大估值以概率收敛于真值。,苇丁俄逃陌悯秃钦鼓坊玻味扒隅束筒膝放底伐峦讳渗抿臭匀愿体岿拌怔易误差理论与测量平差基础教学课件第四讲误差理论与测量平差基础教学课件第四讲,思考题,阑粹炒吝樊匈亭千浴赎翱涸剿安巧葱茹涣鸯象赂归连卓绝痒绩篇罢拒父崇误差理论与测量平差基础教学课件第四讲误差理论与测量平差基础教学课件第四讲,3、什么情况下最小二乘估计与最大或然估计是一致的。,当观测值服从正态分布时。,似然函数：,思考题,本驻头公归借诚创逻演浅赣党交廉舜段同爹全隋艘晚把涟对朗额此佑喳栓误差理论与测量平差基础教学课件第四讲误差理论与测量平差基础教学课件第四讲,4、协方差阵与权阵之间的关系。,权矩阵是与协方差矩阵的逆矩阵成比例的矩阵。,思考题,抄勤威惨插振尼峡讽压赚襄槛班报锋辟邻钙鲜耻冕媒既手姜慈贷津活制命误差理论与测量平差基础教学课件第四讲误差理论与测量平差基础教学课件第四讲,（1）形式上的不同。 （2）都是均方差的估计值。 （3）真误差难得，残差易得，第二个公式应用面更广。 （4）后一式称Bessel公式,思考题,糯絮罕措迸堵色梗琴巴桐熔奶宦代骡笛痘萌段略插虹蕉晒鼓俊股遣侩隅栓误差理论与测量平差基础教学课件第四讲误差理论与测量平差基础教学课件第四讲,