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1、高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 第二节 一、正项级数及其审敛法 常数项级数的审敛法 第十二章 妇 睹 媳 簿 础 革 脓 篱 樱 派 挨 才 坐 盯 贬 吴 性 思 渗 沫 渴 冤 霖 降 启 态 炬 喊 宏 快 挨 蝗 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 1 2 _ 2 常 数 项 级 数 的 审 敛 法 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 1 2 _ 2 常 数 项 级 数 的 审 敛 法 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 一、正项级数及其审敛法 若 定理 1. 正项级数收敛部分和数列 有界 . 若 收敛 ,
2、 部分和数列 有界, 故从而又已知 故有界. 则称为正项级数 . 单调递增, 收敛 , 也收敛. 证: “ ” “ ” 寡 炳 揩 殆 那 仓 迭 掌 声 廉 舟 溅 谎 彬 配 戳 段 养 屏 烟 舞 鳃 酸 焙 妖 鼎 黔 鳞 伏 舔 补 筷 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 1 2 _ 2 常 数 项 级 数 的 审 敛 法 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 1 2 _ 2 常 数 项 级 数 的 审 敛 法 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 定理2 (比较审敛法) 设 且 (1) 若级数则级数 (2) 若级数则级数 证: 的部分和 收敛 ,也收敛 ; 发散
3、,也发散 . 是两个正项级数, （1）设级数 收敛于，则级数 即部分和数列Sn有界，由定理1知级数收敛. 汇 擂 耽 鸦 待 看 澳 举 描 闭 纽 危 钡 巫 牲 啃 撅 庶 荒 淀 掉 众 头 褥 谦 窘 革 苟 帜 洒 汗 僧 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 1 2 _ 2 常 数 项 级 数 的 审 敛 法 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 1 2 _ 2 常 数 项 级 数 的 审 敛 法 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 因为若级数 由上面已经证明的结论，将有级数 必发散.（2）设级数 发散，则级数 收敛. 也收敛，与假设矛盾. 求 驯 唐 极 傻 肋
4、 串 豁 鳃 紫 签 灰 巧 磅 蔚 启 鬼 榜 渴 吵 瞎 省 雷 错 畴 季 韩 畔 蔷 苹 壳 角 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 1 2 _ 2 常 数 项 级 数 的 审 敛 法 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 1 2 _ 2 常 数 项 级 数 的 审 敛 法 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 推论：设 成立，那么级数 都是正项级数, 收敛，且存在正整数N，使当 成立，那么级数 （2）如果级数发散，且当nN时有 （1）如果级数 nN时有级数的每一项同乘不 为零的常数k不影响 级数的收敛性. 峦 词 帛 汉 群 猎 赔 筋 涩 瓷 侧 扁 蹲 卿 拣
5、钮 峦 叁 抨 讽 卫 贸 闪 辰 淳 泣 氟 谊 辽 晃 窃 珠 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 1 2 _ 2 常 数 项 级 数 的 审 敛 法 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 1 2 _ 2 常 数 项 级 数 的 审 敛 法 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 例1. 讨论 p 级数(常数 p 0) 的敛散性. 解: 1) 若 这时级数的各项不小于调和级数的 而调和级数由比较审敛法可知 p 级数 发散 . 发散 , 对应项： 视 澜 瓷 蜡 谊 屠 阑 矗 即 悬 痈 拳 阂 憨 译 雅 怨 紧 俄 诉 堪 廖 看 簿 吩 直 敲 那 曰 辟 犊 户 浙
6、 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 1 2 _ 2 常 数 项 级 数 的 审 敛 法 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 1 2 _ 2 常 数 项 级 数 的 审 敛 法 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 因为当故 考虑级数的部分和 故级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 . 时, 2) 若 掷 蜡 斩 倚 寞 擎 鞋 挺 满 涌 艳 嫌 硒 煮 惟 忙 用 钮 削 奎 颂 适 祥 褥 琵 档 聋 菇 鹏 俐 狐 腿 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 1 2 _ 2 常 数 项 级 数 的 审 敛 法 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 1 2
7、 _ 2 常 数 项 级 数 的 审 敛 法 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 对一切 视 沂 轻 河 砌 擅 桌 锡 蒋 疥 栈 洒 吹 孽 呐 啼 透 细 辕 葛 腾 室 襟 汲 慈 湿 生 履 赠 寄 访 氨 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 1 2 _ 2 常 数 项 级 数 的 审 敛 法 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 1 2 _ 2 常 数 项 级 数 的 审 敛 法 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 证明级数发散 . 证: 因为n(n+1)1知，从而 因此级数 发散. 瘪 币 肄 净 碌 锑 斗
8、怪 驻 垂 确 侦 墨 沤 郭 坠 找 赴 华 凌 驻 墙 究 堵 氮 害 咒 蛾 斩 扮 处 惨 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 1 2 _ 2 常 数 项 级 数 的 审 敛 法 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 1 2 _ 2 常 数 项 级 数 的 审 敛 法 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 例9. 证明下列级数绝对收敛 : 证: (1) 而收敛 , 收敛 因此绝对收敛 . 子 隙 妮 嘿 厂 逼 痉 逸 搪 渣 膏 帚 楷 执 台 花 蕴 闽 剐 臭 沂 肌 卧 封 缴 师 翼 媒 权 涯 衰 英 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 1 2 _
9、 2 常 数 项 级 数 的 审 敛 法 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 1 2 _ 2 常 数 项 级 数 的 审 敛 法 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 (2) 令 因此收敛,绝对收敛. 晰 迈 望 砍 氦 搓 菌 震 蘸 一 蓝 釜 殖 化 虽 疙 平 鬼 布 漳 蔽 酗 啼 辙 谍 寥 焚 扔 兔 赵 史 挠 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 1 2 _ 2 常 数 项 级 数 的 审 敛 法 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 1 2 _ 2 常 数 项 级 数 的 审 敛 法 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 内容小结 2. 判别正项
10、级数敛散性的方法与步骤 必要条件 不满足 发 散 满足 比值审敛法 根值审敛法 收 敛发 散 不定 比较审敛法 用它法判别 积分判别法 部分和极限 呀 甫 铜 陷 枷 锅 聊 扛 狠 搬 弘 甥 酸 测 酒 天 止 扒 敏 闸 胳 翅 踞 疵 粥 虎 割 氦 使 兢 波 击 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 1 2 _ 2 常 数 项 级 数 的 审 敛 法 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 1 2 _ 2 常 数 项 级 数 的 审 敛 法 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 3. 任意项级数审敛法 为收敛级数 Leibniz判别法: 则交错级数收敛 概念: 绝对收
11、敛 条件收敛 鲜 直 峻 文 獭 猛 所 取 倾 歪 粹 黔 做 头 聂 汁 谋 增 贴 坐 憎 即 诫 戒 擅 铝 矩 楔 绎 非 寡 翌 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 1 2 _ 2 常 数 项 级 数 的 审 敛 法 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 1 2 _ 2 常 数 项 级 数 的 审 敛 法 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 作业 P271 1 (3), (5) ; 2 (2), (4) ; 4 (3), (5), (6) ; 5 (2), (5) 懊 调 鸽 倦 睫 糙 装 村 嫡 验 闲 昧 充 漓 饰 烩 瘴 撬 瞄 桓 取 庸 赎 缕 丈
12、 勃 奴 拘 雨 严 恐 瘩 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 1 2 _ 2 常 数 项 级 数 的 审 敛 法 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 1 2 _ 2 常 数 项 级 数 的 审 敛 法 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 思考与练习 设正项级数收敛, 能否推出 收敛 ? 提示: 由比较判敛法可知 收敛 . 注意: 反之不成立. 例如, 收敛 ,发散 . 猜 盅 便 惠 替 尾 棵 铣 龋 钱 邻 削 撅 濒 巫 推 餐 二 杨 所 稠 荣 雄 讼 饼 隙 凿 渴 皮 洞 逝 赢 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 1 2 _ 2 常 数 项 级
13、 数 的 审 敛 法 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 1 2 _ 2 常 数 项 级 数 的 审 敛 法 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 备用题 1. 判别级数的敛散性: 解: (1) 发散 , 故原级数发散 . 不是 p级数 (2) 发散 , 故原级数发散 . 韭 诵 寝 鼓 回 蛾 榷 私 孩 曳 敛 淀 穿 其 针 谣 婴 咏 锄 谢 粪 喧 肿 愚 秤 孤 唆 敛 阁 课 逞 挛 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 1 2 _ 2 常 数 项 级 数 的 审 敛 法 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 1 2 _ 2 常 数 项 级 数 的 审 敛 法 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 2. 则级数 (A) 发散 ; (B) 绝对收敛; (C) 条件收敛 ; (D) 收敛性根据条件不能确定. 分析: (B) 错 ; 又 C 酞 幼 脚 妇 坟 辩 境 矣 个 扰 蒲 峻 肉 车 评 粪 咐 桂 私 间 仅 丢 亦 癣 榜 话 驭 源 王 踪 积 悟 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 1 2 _ 2 常 数 项 级 数 的 审 敛 法 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 1 2 _ 2 常 数 项 级 数 的 审 敛 法