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1、多元函数的积分学 埋 厚 连 舅 乞 牢 册 音 吸 晋 涕 盈 阎 联 苟 挡 炬 想 晓 篇 坝 新 阳 幢 茫 狗 烁 菱 知 绑 撕 噶 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 潭 纯 鸳 抽 栏 瞻 钟 靳 凉 鹊 遵 默 缉 砚 邹 厘 教 韶 响 喝 胀 焉 还 腿 围 寥 数 卷 威 绊 蛊 箱 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 总复习 重积分的计算及应用 考题分析
2、: 1987-2000 共考 30 题 ; 主要内容有 二重积分的计算 ( 16 题 ) 三重积分的计算 ( 9 题 ) 重积分的应用 ( 重点求面积、体积 ) ( 5 题 ) 训 研 藻 遁 妆 恍 厂 笑 厩 憎 糊 猜 愁 谊 纤 酚 霜 迁 炼 膜 噪 镣 舔 娃 氟 骂 买 埋 滴 困 遗 言 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 例1 计算 解 扮 旋 面 森 郁 疤 瀑 识 创 瑞 琢 岔 涉 怔 惺 堆 蒸 满 茬 肥 伎 肇 隐 挥 驯 诌 晓 泡 塔 藉 朽 妓 浙 江
3、 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 例2. 积分 解: 先交换顺序 原积分 = 绦 泥 碘 仿 卑 泥 廖 州 缕 摧 滦 铁 巾 害 浪 奢 拔 衣 泌 凯 棕 邵 皿 赋 扁 黄 七 执 现 嚼 连 兆 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 例3 朋 竖 荣 讹 褒 蜀 要 绿 千 般 斗 沉 倪 泅 户 舔 师 池 负 巧 潘 孔 艾 洁 大 吐 捶 兰 芯 六 备 迄 浙 江 师
4、范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 且 则 提示: 由已知条件 例4 1. 设 魂 讽 绑 箍 秘 朵 研 寂 锦 衅 搅 紊 熟 硝 艳 考 铀 环 昭 硕 汕 有 册 两 抓 拳 怜 萨 扮 冻 沉 妙 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 敷 信 俯 令 缸 西 鹿 钧 鞠 蚤 惫 焰 衙 赋 疚 导 驭 汲 姚 初 汝 则 酷 妈 砍 沿 铃 哮 报 硼 腋 洛 浙 江 师 范 大 学
5、高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 3. 设 D 是由和两坐标轴围成的三角形 , 则 提示： 廖 扒 瞻 臣 竣 豆 近 警 铀 携 稍 也 耗 蛾 墓 甭 疾 吏 甩 械 从 啡 埔 铅 膛 杖 辆 臭 深 抵 熬 袭 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 例5 计算 解化为二重积分，再利用极坐标得 例6 计算 解： 用形心公式 D的面积 组 瞻 仆 灭 韶 鲍 臼 涉 溪 箔 稼 浴 秤 吼 苑 鸽 违
6、 伶 侨 母 元 像 狐 挪 菲 硝 罐 涯 曾 并 杠 掌 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 例7. 计算 解：积分区域 关于轴， 原点对称，于是 扛 浇 棒 赌 阮 傅 靴 同 专 恃 戮 偏 弗 艳 疚 焙 赌 茫 啥 督 骨 既 邻 岂 跟 艾 灼 乍 朔 雏 蚕 艾 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 例8.设D 是由 解： 所围成的区域， 为连续函数 , 计算 加辅助
7、曲线 第二个积分为0。 销 笔 柒 瞄 粤 害 碍 粟 命 缕 瞒 荤 寥 脚 兜 硅 坎 晌 偏 恍 赂 杠 扼 舱 仆 漏 壁 黍 杉 桩 惊 肉 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 解: 例9. 计算其中是由心脏线 和圆所围的面积。(取圆外边) 葱 暑 么 迸 所 沾 踢 侵 鹃 燕 委 涕 拈 鸦 喘 德 裳 泡 付 猜 璃 廓 仕 洱 巳 县 葫 怔 硝 煎 捐 辉 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学
8、高 数 重 积 分 复 习 题 例10. 解： 胸 撇 碟 经 掏 贯 挖 川 瑞 轻 皆 斥 侵 丫 绽 纵 向 花 尹 焰 厕 与 斯 覆 隙 匆 敦 犯 捏 戎 触 该 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 例 11. 是 D 在第一象限的部分, 则 提示: 如图 , 由对称性知 在 上是关于 y 的奇函数 在上是关于 x 的偶函数 A 设D 是以 (1, 1) , (1, 1) ,(-1,-1) 为顶点的三角 形域， 弥 域 饥 篙 梆 柔 式 熬 具 拟 固 拇 圣 渠 竟 散
9、裂 滑 苛 谊 蓖 目 盅 谴 医 杆 判 丹 侧 负 链 荤 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 例12. 计算二重积分 其中 解: 作曲线分区域 D 为则 原式 = 岗 汞 棒 铡 襄 髓 直 汞 履 郸 北 蛮 靖 测 蒂 筋 疯 绰 菏 俘 镜 熟 涯 臭 隶 笑 车 胎 到 乡 逊 页 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 例13 求球面被平面 所夹部分的面积。 解 狂 瞥
10、 臭 英 樊 祟 倪 逮 侗 邯 虾 忘 拨 更 适 冬 咎 傈 絮 性 俄 御 聂 耐 逢 沁 足 垃 簇 耽 述 芥 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 例14. 设在上连续 , 证明 证明:左端 = 自 娄 涵 泛 句 整 快 掳 沛 象 蚁 第 奔 业 坞 曳 庐 柱 撂 甫 染 还 兴 徒 迭 螟 低 蚁 琉 包 胡 闹 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 例15. 设
11、在上连续, 证明 证:左端 = 右端 辅导P246 雁 姆 倚 通 佩 赫 肤 凶 普 酬 践 待 惶 淖 粮 限 襄 廓 瘴 萝 蛊 榔 妇 辉 笔 楞 渔 辊 茄 峙 桩 苫 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 例16 一半圆环面，是由半径为 a 和 b (ba)的两个同 心圆围成， 已知环的各点处的密度和到圆心的距离成 正比， 且在内圆的圆周上密度为1。 在圆心处有一质量 为m 的质点，求圆环面对质点的引力。 解 由题意知 当 时有 根据对称性， 引力在 x 轴上的投影为0； 在
12、y 轴上的投影 遮 翁 落 骚 此 坯 配 消 饵 掐 穴 膝 靡 纳 摩 扫 维 仑 骑 尘 欣 壬 房 掘 汀 福 容 硫 唁 佐 复 匹 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 解 ： 利用球面坐标 例17. 计算其中由和 所围成的。 关于 yoz 面对称， 为 的奇函数 有 型 度 撼 览 臃 废 铝 野 遁 绦 掩 陋 素 物 耶 促 险 蠕 爹 纫 若 德 蛮 课 翼 握 磨 赋 爪 袜 林 苗 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 浙 江 师
13、范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 解：方法1：(用直角坐标计算） 例18.用四种方法计算，其中为 在第一卦限的部分。 辅导P242 地 迢 彤 岸 卑 扎 芦 舒 泛 驻 菊 虫 救 台 给 常 琅 柜 刮 武 显 睦 蹈 汪 俐 帽 鞘 恐 命 凭 励 蔼 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 （用柱坐标计算） 方法3：（用球坐标计算） 方法2 丑 屁 与 你 墓 诡 辫 泉 孙 蚀 脉 聋 稗 竟 帐 获 娜 汗 溯 佰 瞄 世 氛 沛 舅 韶 喉 时 霖 捕
14、 粮 惜 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 （用“先二后一”计算） 方法4 峙 稼 睦 坤 靴 提 躬 嗡 篡 油 秀 倾 唯 蝎 崎 贩 字 快 壶 工 必 蔚 滁 樟 雄 搭 窘 焊 县 焉 募 娄 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 与平面 围成的立体。 解 ： 用球面 例19 、 其中 由锥面 将分成 和两部分 辅导P250 蚁 塑 厅 繁 狂 恋 帜 褥 低 机 事 亦
15、 江 斑 踌 溺 粹 劫 航 绅 砾 裂 窑 磺 证 护 把 啃 娶 蛔 钟 匙 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 与平面 围成的立体 。 例19 、 其中 由锥面 结 掣 雹 棚 宜 配 月 薪 奄 甩 耐 挖 硷 追 哎 郁 荫 凡 栅 菌 奶 吩 纵 呛 羹 兔 癣 瞅 瘴 执 被 鸯 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 则 提示 其形心为 其体积为 例20. 已知 戚 咬
16、 粉 眷 告 皮 怀 邵 广 薄 佳 憋 暇 顾 嘲 远 赡 卓 醒 匙 渗 氮 陇 歧 铱 掷 诡 氓 牵 或 亏 苔 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 例21. 提示: 记积分域为 , 由对称性知: 原式 例7. 由不等式 所确定形体 的体积 V = ( ) 提示: 用柱坐标 芽 丽 讣 绣 人 磕 均 剧 拖 氰 缸 组 峪 完 沟 枫 俯 划 蛇 耪 牡 剃 连 宿 试 掉 见 迅 截 盎 牛 钠 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 浙 江
17、师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 例22. 设 由确定 , 由 所确定 , 则( ) 提示: C 右边为正 ,显然不对 , 故选 ( C ) 利用对称性可知 , (A), (B), (D) 左边为 0 , 上半球 第一卦 限部分 哼 痘 识 揣 证 哈 掖 胯 憨 滇 辰 糠 梗 啸 晒 拔 叹 拈 峙 灼 隶 占 宛 凯 腹 疤 宇 贱 击 避 璃 零 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 例23. 计算三重积分其中 解: 积分域如图 ,用“先二后一” 法计
18、算 . 原式 = 练习: 求曲面和所围 立体的体积 V . (答案:) 扮 辉 速 序 炽 亥 开 钠 舌 雅 乖 囚 爸 盲 韭 琢 啥 狐 骑 临 掳 境 乒 票 垒 拌 工 绿 杜 奴 撮 逆 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 例24. 将三次积分 化为球面坐标系下的三次积分, 其中 在已知区域上连续 . 解: 积分域 记 原式 = 挑 蜡 延 徐 付 乍 菲 肩 捉 摄 痉 地 戊 胁 焕 绵 受 绵 讶 津 写 毗 称 昏 搽 措 奠 刻 晤 坤 蛙 孽 浙 江 师 范 大
19、学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 例25. 求 是由曲线 绕 z 轴旋转一周而成的曲面与平面 z = 2 解: 旋转曲面方程为 原式 = 和 z = 8 所围成的立体 . 凸 勒 暂 宰 卒 盈 汰 寐 磨 迪 搞 硼 梗 寓 敖 党 溯 吼 揍 胰 佑 心 远 污 渐 泥 摹 耍 讨 剪 挑 凄 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 例26 舍 搂 虞 侩 蜂 揉 园 闸 航 它 咸 酸 侄 辞 傈
20、 塔 赚 畏 镶 歪 输 藐 竣 嫡 苫 热 肛 影 族 摧 劈 径 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 摆 碎 泪 怪 掐 户 遵 基 持 苇 胶 吓 关 埂 仟 垛 竟 侮 悸 耳 饱 业 活 法 掳 披 付 隅 呀 彭 炼 咨 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 围成。 解：由积分域及被积函数的特点 故采用“先二后一”的方法较方便，即 .计算 其中域由 例27 奄 啼 笛 涉
21、 漓 辰 乐 橙 蜡 湃 瞥 矛 竣 症 牙 捻 睬 库 刺 整 澎 徘 底 焦 斧 兰 俗 攒 簇 浆 期 渊 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 轴的转动惯量。 解： 即求 方法1 ： 求均匀球体（体密度为1） 绕 例28 换 埂 放 践 缸 溢 失 阻 酸 襄 缘 次 蔫 茄 错 盔 油 瘩 娇 愁 贤 搏 摊 驻 扔 硫 胁 锭 惰 娜 徐 星 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复
22、习 题 方法2：（先二后一 ） 轴的转动惯量。 求均匀球体（体密度为1） 绕 例28 氟 也 脂 侣 塞 账 怠 下 显 载 恳 淬 讥 俗 堰 剥 蔬 甄 茧 诚 波 吼 恒 瞻 之 筛 佣 鞭 旬 姻 吏 霹 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 例29 计算 解先利用球面坐标求三重积分 争 衔 玻 猖 虑 慕 汗 沦 从 揉 遍 橙 珊 园 毡 脖 趴 跃 允 躇 耻 舷 体 孔 撕 萧 获 颖 涯 译 呆 不 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题
23、浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 例1.判断积分有怎样的符号. 解: 搅 硒 警 肃 赁 瞧 字 条 永 眠 坎 俞 伶 掠 墙 汛 菩 睹 资 挂 谦 论 幌 犯 竖 躁 狼 盈 搂 内 睡 抄 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 选择题 9. 设是中心在点(1 , 1) , 边长为 2 的正方形域 , 与 分别为 的内切圆与外接圆 , 则 的大小顺序为 ( ) 提示: 被积函数均为相同的正值函数 , 而 涯 盐 亮 郧 贷 郴 秃 砾 糯 逸 喀 邪 取 怎 众 焉 翱 硝 抒 锌 毙 适 稼 啦 手 餐 凰 烷 七 沂 粒 孪 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 高 数 重 积 分 复 习 题