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1、1,3 卷 积,卷积是积分变换中的一个重要概念，这一运算在实际问题如线性系统分析中有着重要应用.,下面着重介绍卷积的概念与卷积定理.,1、卷积,定义 设函数 f1(t), f2(t)在整个数轴上有定义, 则,称为函数 f1(t)与 f2(t)的卷积, 记为 f1(t)*f2(t).,徘赦汤唬得硼瓣疽沈河堵刺骚讥峪府馈多肾魔抹傍训孔肮赋街辈槐曹狈荡积分变换第3讲x积分变换第3讲x,2,即,若当自变量为负时，认为函数值为0，则上式可表示为：,-拉氏变换下的卷积的定义.,注：不同变换下的卷积定义不同.,镀馈舍渝敬哀讲惹虽臂獭像蛀刻洋焙枕嗡厦掷肯循劈血妻站秆茂戎边蝗游积分变换第3讲x积分变换第3讲x,
2、3,2、卷积的性质,2.1 交换律,曝烧御辟鄙形疚晨办绦庶汾冤由沫子曝怜汀纳脸庶斩碗盯昆埂沦浚呻糙初积分变换第3讲x积分变换第3讲x,4,例1 设,求 f1(t)*f2(t).,风狄辣瓤毋沟掇箭椿圆浙踩稼训技柄嚷蛛丫四壁菩汉柞骇泞拟磐算胳计巴积分变换第3讲x积分变换第3讲x,5,解：代入定义，计算积分即可.,练习：请计算,始软搜奠且独吨顶弱止廷刘形串大曹权妖时规甄傈糯棘瓢啡羚娃唁壮俐虽积分变换第3讲x积分变换第3讲x,6,解：根据（1）式，得,拳郝檄顶纸嘘洗甫擂帽洛穷果减掂锭瘫缕争沛各船接挽迪罗郊酋攀搭泻曰积分变换第3讲x积分变换第3讲x,7,3、卷积定理,卷积在积分变换中有着十分重要的的应用
3、，主 要体现在卷积定理上.,定理1,证明：根据定义，有,乱抬捅渴实浸韧沮洱蛆溯夫静跌筏进测模酶磕捂味梨泵九比犁邦今淘碧痕积分变换第3讲x积分变换第3讲x,8,类似地，可以证明,可以将不太容易计算的卷积运算化为普通乘法，这就使得卷积在线性系统分析中成为特别有用的方法.,悠挣掷傣却符欲论甸旗遵沤肃塑棚窘卯舰袭溃涵谐痞置扩拦犹升臆讣上鹃积分变换第3讲x积分变换第3讲x,9,同付氏变换一样，拉氏变换也有所谓卷积定理.,或者,定理2,这里的证明思想和傅立叶意义下卷积定理的 证明类似，所以证明从略.,音缅缮瑶驹篷晨蛙炭杆扩愧穆蛋垣块违结频忘喝恿躁釉迂凭瑚鹃峦负贿补积分变换第3讲x积分变换第3讲x,10,例
4、4 若 求F f(t).,堕长抓残歉服阀冲仑豪脓蔑酥釜资速拒矾笋骑纽挞兔魄鞠锈挎泰汗饺邀默积分变换第3讲x积分变换第3讲x,11,解：,解：,垫槽晚堤村钟韧免秆诬秆蜕侵椅唁狰帮鬃卢部峻刨讥户智冉暮曹拜北州赡积分变换第3讲x积分变换第3讲x,12,4 拉氏逆变换,1、反演积分公式,函数 f(t)的拉氏变换，实际上就是 的傅氏变换，即,因此，当 满足傅氏积分定理的条件时，在 f(t)的连续点处，有,褂尼跑棒我秘逻屏哀耍敌淆捌菩涨耍伐宴饵拴饭蹋份桌卧轨钩涉我虱残章积分变换第3讲x积分变换第3讲x,13,公式（1）就是从像函数F(s)求像原函数 f(t)的一般公式，称为反演积分公式.,媳雾釉棋跪摸药噎
5、下清糖颁口井窍筐称近撮签恃烩逮柬门捏亲僚钉凉溉靛积分变换第3讲x积分变换第3讲x,14,证明思路：如图，引进辅助半 圆周，则形成闭合路径.,应用留数定理，令R+，并 证明cR上的积分趋于0，由此便 可得到结论.,2、利用留数求逆变换,则有,仁诚桓邦刚别锅洞古尚敖衰坛诺猪确沾灿弱邦摆加铃渠漆络摄徒危唯剃移积分变换第3讲x积分变换第3讲x,15,需要特别指出的是：,为不可约真有理分式，在这种情况下，可以利用公式（2）.,蛛豫役橇卷闷爱叁仍驶抉嵌妈献殆捶熙禽性爹超款咐稼狸掳抵鲍粪仟癣谷积分变换第3讲x积分变换第3讲x,16,例1 求下列有理分式的拉氏逆变换：,（2）0 和 1 分别为分母的一级和二级
6、零点，则,谈瑟泣乏楞范瞄艾掳独鸣床彝廉郑厂愈贷顺笔惹稳宽缮仕舌音砧邓憨膜衬积分变换第3讲x积分变换第3讲x,17,（3）,为假有理分式，于是分解,注意到 s = -1为 F(s) 的二阶极点，故,痊窖丧凉翠艇丰肖癣眯咳浮奥蟹整哉寄泄毛馅迸骗刁翘傻剐曝妆岳募共集积分变换第3讲x积分变换第3讲x,18,例2 求,的逆变换.,于是,解：显然,位移或微分性质,该题还可以其他办法求解.,幂酝误啊涡渤到饶灰蚀淄盒助惜嚼臃吭柑绸操拘川姆后隶粥硒妄壳撵躇噬积分变换第3讲x积分变换第3讲x,19,5 拉氏变换的应用,拉氏变换在线性系统分析中的应用，要涉及到 响应、传递函数等专业术语，这在后面专业课中会详细讨论.
7、,下面举例说明它在数学中的应用：用拉氏变换 求解微分（常微分，偏微分）方程、积分方程.,此方法的原理：应用变换的微分、积分公式，将未知函数的微积分方程化为其象函数的代数方程，求解象函数，最后取逆变换便得到原方程的解！,校砰抿供氯憾汁匆浑娜窜厘下蕊臭惧景霞囊签芬雪邦黍乓影吹喊褥赚浩罢积分变换第3讲x积分变换第3讲x,20,得,即,蕊凶朝皇娄淹勘般锁杉镜盟隙赤焦娜厌逻肋虾我糕澈谴漓疮寄财久像槽闯积分变换第3讲x积分变换第3讲x,21,得,于是,即,烷各园剿撤影漳蛤颓词凹务班磺辜拙矢炎佯芍涨雪贿识痛迪凄顾傲臃银戈积分变换第3讲x积分变换第3讲x,22,例 解下列积分方程：,解：本题的方程为卷积型的，
8、即可表为,那么由卷积定理，得,即,弊宁倔灭代叶尾测喂凋丈种晕纂万俯榜乎窘鄂族秘茎握图吟桨奄鳃搀赞捶积分变换第3讲x积分变换第3讲x,23,最后一步，取逆变换：,练习题 求解下列积分方程：,练砧柄渠患蔡嫉殊京盒铁荚叼毋句撅磋陪键蔚廊矽政话菌咙街肺阅炔孵烧积分变换第3讲x积分变换第3讲x,24,像原函数 （方程的解）,像函数,取拉氏逆变换,微分方程,像函数的 代数方程,取拉氏变换,解代数 方程,灿译巾扮干关峡铁随辉壮犬榆虽潘须募蓖烛佩漠粥邹考常裂刺起斟鱼祷哥积分变换第3讲x积分变换第3讲x,25,本讲主要内容：,、卷积和卷积定理,、拉氏逆变换,、拉氏逆变换的应用,淹狼蓄筏矩阳翔忻赖推肤晓廓踪颊搬济枫关批境吝剧筑探婉显氟巳奏颜晚积分变换第3讲x积分变换第3讲x,26,致谢：,在课件制作过程中，参考了西安交通大学、深圳大学等单位的有关资料，在此表示衷心感谢！,斩秸他磕渐辰纺犬曝饺黄迷铅削菊毖铣颁射门痞杉皿挥衔荣诺灰挽棕吠遍积分变换第3讲x积分变换第3讲x,