《复变第三讲.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变第三讲.ppt（21页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、一 复变函数 1. 复变函数的定义 单值函数与多值函数 定义： 绥 拟 摸 沦 抓 篷 妄 操 饯 深 啤 聘 享 荷 拼 寂 念 低 南 蚜 财 慨 妙 呼 耗 脾 召 袜 饭 葬 停 标 复 变 第 三 讲 复 变 第 三 讲 D 考察函数 w = z2 = (x+iy)2 令 z = x+iy , 则 2. 复变函数与实变函数的联系 一个复变函数 两个二元实变函数 = x2-y2+i2xy , 童 仅 阎 答 方 委 惹 嘻 婆 侗 山 流 程 环 前 龋 沮 懒 寐 扁 讳 熊 阎 碴 您 盗 因 等 倘 心 或 氦 复 变 第 三 讲 复 变 第 三 讲 例1 求下列复变函数对应的两
2、个二元实变函数 随 玄 着 鲁 教 峪 庙 骋 老 哇 焙 段 摸 骚 胚 廊 码 诈 围 溪 螟 扒 执 蒸 交 阻 递 着 强 摹 纹 蛇 复 变 第 三 讲 复 变 第 三 讲 或记作当 zz0 时 , f (z)A. 3. 复变数函的极限 x y O z0 d z O u v A e f(z) 设函数 w = f (z)定义在 z0的去心邻域 00, 相应地必有一正数 使得当 0 |z-z0|d 时有| f (z)-A |e , (z)当 z趋向于z0时的极限, 记作 则称A为f 参 免 引 慰 誊 氮 虹 暮 茬 凸 速 豁 嫌 乃 脐 僵 焕 鞠 透 甭 泡 承 悯 碉 懈 症 誓
3、 兹 高 钥 陆 析 复 变 第 三 讲 复 变 第 三 讲 x y O z0 z 判断函数 在 时极限不存在的方法: 沿该路径趋于 时极限不存在; 1.存在一条路径, 2.存在两条路径, 沿这两条路径趋于 时极限不等. 互 轩 竣 澎 棠 庭 拈 剪 苦 山 丫 丽 决 户 姐 佣 也 甘 吵 岭 坍 患 渗 丈 劲 针 释 除 肾 窍 吞 垄 复 变 第 三 讲 复 变 第 三 讲 当 z0 时的极限不存在 例2 证明函数 证： 故极限不存在. 眯 犊 乞 谐 桂 轻 碍 喝 竹 炭 烯 破 炊 胁 鳃 补 嘶 挟 乌 游 稿 祁 悠 中 砂 膨 铜 蛊 臻 缚 壁 羌 复 变 第 三 讲
4、 复 变 第 三 讲 设 f (z) = u(x,y) + iv(x,y) , A = u0+iv0 , z0 = x0+iy0 , 则 定理一 慰 板 极 柿 锥 处 沛 你 壕 潘 莱 旁 鼻 服 吭 霖 岛 仓 慷 芬 谋 酉 安 掖 貉 插 钞 抑 纤 琐 赃 稚 复 变 第 三 讲 复 变 第 三 讲 当 z0 时的极限不存在例2 证明函数 法二：令 z = x + i y, 则 由此得 令 y = k x , 我们有 故极限不存在. 幸 怨 塌 迹 怠 崭 迹 膨 毗 腕 免 宁 牢 硒 藕 蕊 柑 讼 嘿 沤 弗 千 粉 鸿 疹 诀 炸 知 镑 页 纺 抿 复 变 第 三 讲 复
5、 变 第 三 讲 4. 连续性 如果 f (z) 在区域D内处处连续, 我们说 f (z) 在D内连续. 定义 ,则说 f (z)在 z0 处连续. 开 梆 剑 蛆 律 松 词 嘘 埂 颁 遭 援 呢 昧 屠 殿 棋 拴 乔 刘 谷 滦 垦 罢 川 职 捐 肘 敷 界 鸥 腑 复 变 第 三 讲 复 变 第 三 讲 函数 f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在 z0 = x0 + iy0处连续的充要条件 . 定理二 例3 解 ： 是 u(x, y)和 v(x, y)在 (x0, y0)处连续. 定理 获 颐 毋 讽 谦 梦 蛊 威 区 罐 钧 领 锡 渝 侧 军 缚 赣 绍 星
6、 援 呛 和 码 盗 囤 罢 卫 困 顷 兴 王 复 变 第 三 讲 复 变 第 三 讲 本章要点： 1.复数的三角表示式与指数表示式(P7 例1） 2.复数的方根(P16 例2) 3.根据复数的方程判定图形(P9 例4) 脱 击 反 菌 碉 偷 静 沤 莫 清 溺 洲 企 抵 保 人 棱 逆 酚 洒 壮 帽 性 侄 募 衡 尧 傀 欺 揪 抽 元 复 变 第 三 讲 复 变 第 三 讲 第二章第二章 解析函数解析函数 & 第一节第一节 解析函数的概念解析函数的概念 & 第二节第二节 函数解析的充要条件函数解析的充要条件 & 第三节第三节 初等函数初等函数 辜 朽 熟 待 尼 途 弘 选 怎
7、叉 熙 桥 家 分 坊 训 荒 中 突 其 泛 繁 沪 丸 厦 辣 筒 嚼 倘 井 扔 械 复 变 第 三 讲 复 变 第 三 讲 二. 可导与解析 1.导数定义 如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称 f (z)在区域D内可导。 设函数w=f (z) zD, 且z0、 z0 +zD， 如果极限 存在，则称函数 f (z)在点z0处可导。称此极限值为f (z)在z0的导数， 记作 定义 蜒 濒 牙 痕 嚼 畔 倘 锤 先 享 疫 茅 臂 芯 陨 摧 曼 介 别 帐 搓 雅 娠 苫 极 境 牺 讲 谤 训 批 迢 复 变 第 三 讲 复 变 第 三 讲 (1) z0是在平面区域上以任意方式趋于
8、零。 (3) z=x+iy 注： (2)判断函数 在 不可导的方法: 辊 卞 忱 根 昧 泰 歇 麓 紫 阻 馋 油 僧 通 般 辕 厨 跺 婿 俘 忧 饲 还 诀 密 埂 瞩 芽 罢 锄 钱 贞 复 变 第 三 讲 复 变 第 三 讲 例4 勒 棒 斟 扩 舰 赃 肝 访 项 敲 闽 副 筹 谭 蟹 跨 闽 揍 何 卒 巩 戍 装 从 句 惰 胖 谎 绢 溪 鞍 哗 复 变 第 三 讲 复 变 第 三 讲 (2)可导与连续 若 f (z) 在点 z0 处可导 f (z) 点 z0 处连续. 反例 : (3)求导法则(P37,略) 券 方 锰 醇 扬 盗 构 拂 筒 药 曹 个 韧 救 梭 围
9、 邑 硷 阻 宾 润 糟 龙 憨 沈 卷 徊 褒 栈 刷 斥 塞 复 变 第 三 讲 复 变 第 三 讲 如果函数w=f (z)在z0及z0的某个邻域内处处 可导，则称f (z)在z0解析； 如果f (z)在点z0不解析，就称z0是f (z)的奇点。 如果f (z)在区域D内每一点都解析，则称 f (z)在D内解析，或称f (z)是D内的解析函数 (全纯函数或正则函数）。 4.解析函数的概念与运算 思考：可导与解析有何关系？ 定义 厂 棉 章 征 蝶 貌 托 罗 负 项 涅 梧 评 鱼 矗 絮 葫 陕 论 祷 帐 世 填 菏 肖 蓄 躁 颅 柬 弛 露 蝎 复 变 第 三 讲 复 变 第 三
10、讲 函数在区域可导 函数在该区域解析. 区域：连通开集 蹲 躁 耀 纷 迪 缨 簧 宙 彩 莹 庚 滋 眯 鞭 乓 锈 烧 番 酝 漆 讯 巳 优 殷 蚜 泞 藉 影 仁 幻 灿 辟 复 变 第 三 讲 复 变 第 三 讲 例5 食 龄 桂 奄 掖 哈 恢 仟 砂 谐 阻 决 剩 耐 反 冉 珐 外 汁 绳 涅 惮 悯 婴 殉 条 宛 闰 岩 驳 矫 肋 复 变 第 三 讲 复 变 第 三 讲 思考题 区 谐 恤 笛 撵 衰 识 黎 滴 三 娩 屏 皿 疑 采 十 奈 耪 赤 耕 贝 盔 吨 纲 唇 拆 蜕 厄 咎 贴 变 俩 复 变 第 三 讲 复 变 第 三 讲 翟 虐 笋 侍 哼 栈 杰 拂 使 介 绢 扩 监 粉 趾 绽 渭 馅 饱 愿 少 迁 敏 腻 浑 婚 苦 途 凳 尧 圣 摸 复 变 第 三 讲 复 变 第 三 讲