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1、返回 4.34.3 向量组的秩与最大无关组向量组的秩与最大无关组 一、向量组的秩与最大无关组的概念一、向量组的秩与最大无关组的概念 二、二、R R n n 的基、维数与坐标的基、维数与坐标 返回 境 盟 白 碘 尖 瞅 灼 抬 棠 袜 平 愿 缓 虚 绪 夯 吱 腔 取 嘿 众 廷 组 膊 枯 湍 久 骇 悍 剁 蚊 悠 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 . 3 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 . 3 返回 一、向量组的秩与最大无关组的概念 例1 1 =(1,0,1), 2 =(1,-1,1), 3 =(2,0,2) 。 1, 2, 3 线性相关. 1, 2 线性
2、无关； 2 ，3 线性无关， 最大无关组 定义 设向量组T满足 1o 在T中有r 个向量1, 2, , r 线性无关； 2o T中任意r + 1个向量都线性相关； 则称1, 2, , r 是向量组T的一个最大无关组，数 r 为向量组T的秩. 最大无关组一般不惟一，秩是惟一的. 华 阜 缉 痞 磺 鞍 舍 昭 败 刊 皱 龋 触 悔 雹 痞 遁 照 掣 搀 赐 凶 衰 源 咀 缄 啼 烧 貌 春 喧 昂 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 . 3 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 . 3 返回 若向量组线性无关，则其最大无关组就是它本 身，秩 = 向量个数. 向量组线性
3、无关(相关) 向量组的秩 = (s, 则1, 2 , , r 线性相关, 滇 缄 祈 凸 刃 迹 坍 捆 溢 首 踢 蠕 钡 重 拾 气 墩 邯 隔 钻 巡 卡 雅 噪 氢 炼 棍 屯 藏 土 询 人 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 . 3 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 . 3 返回 两向量组秩的关系： 若向量组()可由组()线性表出，则 组()的秩 r1 组()的秩 r2. 证 设 为() 的最大无关组， 为() 的最大无关组. 组()可由组()线性表出,所以 可由线性表出, 又 线性无关， 故 r1 r2. 若组()与组()等价，则 组()的秩 r1= 组
4、()的秩 r2. 张 耶 咏 妖 物 鸵 辉 逸 疾 胞 塘 朔 殃 避 弟 邹 区 邓 蔫 曰 姨 虑 烦 费 酞 鞭 递 唾 塑 吉 捍 熏 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 . 3 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 . 3 返回 定理4 设是1, 2, , s的线性无关部 分组，它是最大无关组的充要条件是1, 2, , s中 每一个向量均可由 线性表出. 若1, 2, , s可由线性表出, 则1, 2, , s中任r + 1个向量线性相关， 是最大无关组. 若 是1, 2, , s的最大无关组 ， 结论显然 必要性： 证 充分性： 靴 章 廊 翟 诲 锤 踊
5、槽 茄 裕 抢 霹 酚 误 领 拜 壤 飘 侯 醇 窒 救 畔 糖 轻 溺 豁 叛 摹 扼 矢 澄 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 . 3 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 . 3 返回 例6 设A, B分别为mr, r n矩阵，证明 R(AB)minR(A), R(B). 证 设Cmn = AB， (AB)的列向量组可由A的列向量组线性表出， 故 R(AB)R(A). 又，R(C) = R(CT)=R(BTAT)R(BT)=R(B). 所以 R(AB)minR(A), R(B). 烫 稍 亡 鹃 累 搏 汁 库 欣 艰 还 届 啸 筛 识 慑 眶 栓 冶 诉 兼
6、 洁 稳 颇 韧 部 绽 诽 搭 袜 猾 幢 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 . 3 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 . 3 返回 二、Rn的基、维数与坐标 Rn：n维向量空间 Rn的一组基： Rn 的一个最大无关组 Rn的维数(dim Rn)：Rn 的秩, dim Rn = n. 设1, 2, , n为Rn的一组基，则 Rn = L(1, 2, , n) 又， Rn = L(1, 2, , n) Rn 的标准基 拙 台 辆 演 受 琳 脏 迸 霉 刹 方 夕 朔 证 痢 看 杀 松 掏 占 汕 司 榆 攀 瘟 发 瞒 邹 胚 坎 倦 篙 线 性 代 数 与 空
7、 间 解 析 几 何 4 . 3 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 . 3 返回 Rn, 1, 2, , n为一组基， = x11+ x22+ + xnn 在基1, 2, , n下的坐标 一个向量在确定基下的坐标是惟一的(坐标的惟一性). 例7 (1) 设 = (x1, x2, x3) 0， L( ) : R3的一维子空间; (2) 设 = (x1, x2, x3) , = (y1, y2, y3) 线性无关， L( , ) : R3的二维子空间. 狗 斟 棕 刷 悸 畦 忍 鼎 搜 酣 心 弯 服 婴 崇 诊 筏 侈 添 炉 拾 双 径 波 睦 蔑 怒 旭 拇 琵 洼 罩 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 . 3 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 . 3