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1、1,第十七讲 向量与方程组综合例题,例1 由第14讲定理2: 向量组 1, 2, n 可由向量组 1, 2, , n 线性表出 存在 n 阶方阵 C 使得 A = BC, 其中 A = (1, 2, n), B = (1, 2, n) . (1) 如果 1, 2, n 线性无关, 则 1, 2, n 也线性无关且 C 必然可逆. 证明 由 n = r(A) r(B), r(C) n 可知 r(B) = r(C) = n C 可 逆且 1, 2, n 也线性无关.,(2) 如果向量组 1, 2, n 线性无关, 那么 1, 2, n 线性 无关 C 可逆 |C| 0 证明 ) 如果 1, 2,
2、n 线性无关, 由(1)可知 C 可逆. ) 如果 C 可逆, 由 B = AC-1 得到两个向量组等价, 故 r(A) = n, 所以 1, 2, n 线性无关.,里垦诬漓剂噶飘皮诸碟压魂迪铡液匠冻歹走抨挝纶拜低堆滔犊坍咆抗唐芝线性代数教学（清华大学）17.向量与方程组综合例题线性代数教学（清华大学）17.向量与方程组综合例题,2,例2 设 1, 2, n 线性无关, 讨论向量组 1+2, 2+3,n+1 的线性相关性. 解 因为 1, 2, n 线性无关, 且,由例1(2)可知向量组 1+2, 2+3, n+1 线性无关 C 可逆 |C| 0, 这里,n 为奇数.,也可用待定系数法讨论 x
3、1(1+2)+x2(2+3)+xn(n+1) = 0 有非零解的情况, 最后也是化为系数矩阵 C 的讨论.,淄汗迹汝婆凿再龋紊矽攘志体孽束税柬屹李夜惟筷墒餐羊慧旱摧弃谱匿窜线性代数教学（清华大学）17.向量与方程组综合例题线性代数教学（清华大学）17.向量与方程组综合例题,3,例3 设有两个秩为 r 的向量组,则( ). (A) 向量组 A 和 B 等价；,(B) 若 s = t = r, 则向量组 A 和 B 等价；,(D) 若向量组 A 可由 B 线性表出, 则向量组 A 和 B 等价.,随开停萨葡费毡斯胜搽骚营谭蓖杭韦骤臭秉皖好碴必四杭酝世踪鸭肯桩屎线性代数教学（清华大学）17.向量与方
4、程组综合例题线性代数教学（清华大学）17.向量与方程组综合例题,4,例4 设 A 是 mn 矩阵, 且 m n, 则下列结论中成立的是 ( ) (A) AX = O 没有非零解； (B) AX = O 必有非零解； (C) AX = b 必有唯一解； (D) AX = b 必有无穷解； (E) AX = b 必无解.,阿访边焙幻妨嗅挝剿牙起别命狡胶陈徘渠玛料滤胳得津絮愿期冒拙鹰驾闸线性代数教学（清华大学）17.向量与方程组综合例题线性代数教学（清华大学）17.向量与方程组综合例题,5,例5,设有两个 n 维向量组,若 r(A1) = p, r(A) = q, 则下列条件中不能判定 A1 是 A
5、 的极大 线性无关组的是 ( ) (1) p = q, 且向量组 A1 线性无关； (2) p = q = s；,(3) s = q, 且向量组 A 和 A1 等价； (4) p = q, 且向量组 A 可由 A1 线性表出；,咳谴嘲玻厘赢厨绚锌募挥洱幼传驰挖串蹦度扫给源需攫磁讶猪婉贺夹丙贞线性代数教学（清华大学）17.向量与方程组综合例题线性代数教学（清华大学）17.向量与方程组综合例题,6,例6 设 A 是 mn 矩阵, 则下列结论中成立的是( ): (A) 若 r(A) = n, 则 AX = 0 有非零解. (B) 若 r(A) = n, 则 AX = 0 仅有零解. (C) 若 r(
6、A) = n, 则 AX = b 无解. (D) 若 r(A) = n, 则 AX = b 有解. (E) 若 r(A) = n, 则 AX = b 有唯一解. (F) 若 r(A) = n, 则 AX = b 有无穷多解.,例7 设 A 是 mn 矩阵, 则下列结论中成立的是( ): 若 AX = 0 仅有零解, 则 AX = b 有唯一解; (B) 若 AX = 0 有非零解, 则 AX = b 有无穷多解; (C) 若 AX = b 有无穷多解, 则 AX = 0 仅有零解; 若 AX = b 有无穷多解; 则 AX = 0 有非零解.,彤撇畴羔欢藕艾搏培更净聚嗡辩歉勋穗滨毖和扯肥绣慑够
7、纸浙犹哮擂吞搐线性代数教学（清华大学）17.向量与方程组综合例题线性代数教学（清华大学）17.向量与方程组综合例题,7,例8 设 A 是 mn 矩阵, 则下列结论中成立的是( ): (A) 若 r(A) = m, 则 AX = 0 有非零解. (B) 若 r(A) = m, 则 AX = 0 仅有零解. (C) 若 r(A) = m, 则 AX = b 无解. (D) 若 r(A) = m, 则 AX = b 有解. (E) 若 r(A) = m, 则 AX = b 有唯一解. (F) 若 r(A) = m, 则 AX = b 有无穷多解.,例9 若 A 为 mn 实矩阵, r(A) = n
8、m, 则 ( ) 成立. (A) ATA = 0; (B) AAT 0; (C) 秩(AAT) = m ; (D) 秩(ATA) = n.,烙粉赞诚泛森担三接但甘洛甜去酵滑因特菊足肝篷瘁潮荒寅对洱惩驭玻朵线性代数教学（清华大学）17.向量与方程组综合例题线性代数教学（清华大学）17.向量与方程组综合例题,8,例10 设 n 阶方阵 A 的行列式 A 0, 记 A 的前 n1 列形 成的矩阵为 A1, A 的第 n 列为 b. 问线性方程组 A1X = b 有解否? 为什么? 答 无解, 因为 r(A1) n1, r(A1, b) = r(A) = n, 系数矩阵 与增广矩阵的秩不等. ,例11
9、 设 A 是34矩阵, 已知 r(A) = 2, 且 X1 = ( 1, 1, 1, 1)T, X2 = ( 1,-1, -1, 1)T, X3 = (-1, -1, 1, 1)T 是非齐次线性方程组 AX = b 的三个解, 求 AX = b 的通解.,解 因为 = X1-X2= (0, 2, 2, 0)T, = X1-X3= (2, 2, 0, 0)T 是 AX = 0 的两个线性无关解, 又 4-r(A) = 2, 所以 , 是齐,次线性方程组 AX = 0 的基础解系, 于是 AX = b 的通解：,X = X1+k1(0,2,2,0)T+k2(2,2,0,0)T, 其中 k1, k2 为任意常数.,伙衅酬爸傲要啥态晌粕绢绪匀碍耘奉牟募坯悉勇勾闻盆辱里残仕滨眠象售线性代数教学（清华大学）17.向量与方程组综合例题线性代数教学（清华大学）17.向量与方程组综合例题,9,第十七讲 作业题,习题四,24(1), 25, 26,昂苞邮优松趁甥懂负颁辖始莱粗喘备撰赣颓洲氖脱兔讣腊婚值走儒柒季涸线性代数教学（清华大学）17.向量与方程组综合例题线性代数教学（清华大学）17.向量与方程组综合例题,