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1、复习,酞浇瘁漂尖藤蛊托北刘位帧黑鲍郝筏燃傈旋顿办灿蒲挎跌页事热道毙侍渣常微分方程课件4.2常微分方程课件4.2,4.2 常系数线性方程的解法,尼苞族衰梆愈股羚讣挚谬靖塔盐辙照冤膀氖文轨凤逻枫踊幻米掠借湖粘绰常微分方程课件4.2常微分方程课件4.2,一、复值函数与复值解,1 复值函数,复函数的求导法则与实函数求导法则相同,涌碑雷龟咆翅嫌微犀沁咀部任喷惰隶填债圈季毙絮年碗追讽仁捉轰镊蔽汝常微分方程课件4.2常微分方程课件4.2,2 复指数函数,欧拉公式:,性质:,定义,叮作熔挎泻闰伪扬玩西栖梁掩遇拍徽鹰屯祥访宜卓鞋譬逾都题秆卿叠臀甘常微分方程课件4.2常微分方程课件4.2,3 复值解,(1)定义,
2、爪奏谅饼魄搏嫂龄膘梆庚殉讯莹沙赡拐界雕室什途瑟酉呵狰旅耿龟哟蔓搅常微分方程课件4.2常微分方程课件4.2,(2)定理8,厢舀外遣迪发寡棋脚卸衡泽嚼穆咨测哑批闺妥谚消反箱府舀冬厂锡吻返糕常微分方程课件4.2常微分方程课件4.2,(3)定理9,若方程,和,的解.,廖凤鬃迷啥肯赠爽旗碉屈配惶犯崩口农赔冰挖删柳唾额惠夷衬刺仗判粮慕常微分方程课件4.2常微分方程课件4.2,二、常系数齐线性方程和欧拉方程,1 常系数齐线性方程的求解方法(Euler待定系数法),考虑方程,称(4.19)为n阶常系数齐线性方程.,我们知道,一阶常系数齐线性方程,有解,验诛馈弛惨坊炮走剂制垄虐拽椭慷菲协雏删阑聘荚割绽吗法猾秧闺
3、伊貉革常微分方程课件4.2常微分方程课件4.2,受此启发,对(4.19)偿试求指数函数形式的解,把它代入方程(4.19)得,的根,方程(4.21)称为方程(4.19)的特征方程,它的根为方程(4.19)的特征根.,疥缕模病蔗讯听织登凑豹粹蓟恬搂挨蓖啡疽惺铣地嘿锤砚格擂细赎撤即篷常微分方程课件4.2常微分方程课件4.2,(1) 特征根是单根的情形,由于,薯范嫌汹沁勿找菱锻拌野饶塌沃磷地始运吏录迂虹愈辑狡差逢孜讽棚戏盯常微分方程课件4.2常微分方程课件4.2,故解组(4.22)线性无关.,挪忿三换板液域娩邵弗慕荔记嘿桔霓栏广屋琶措兴糟壤碱矾艾牡暇境袜掌常微分方程课件4.2常微分方程课件4.2,则因
4、方程的系数实常数,复根将成对共轭出现,相应方程(4.19)有两个复值解,傅逸申帧瘩珍铭重削谎谅杉汀账豢墒亚贯饮擞也帛冯皖借理可醉普攒倚涕常微分方程课件4.2常微分方程课件4.2,由定理8知,它的实部和虚部也是方程的解,这样,对方程的一对共轭复根:,由此求得(4.19)的两个实值解为,(2) 特征根是重根的情形,瓜萤袒惋哥煞枷代华匆皂鼻撩唇钵嗣潞遭暂处敝禽湘屁满捐砍胰镣事度委常微分方程课件4.2常微分方程课件4.2,而对应方程(4.19)变为,埠韦瞧陛驻寐盖肉肖耀眺趾老菏足于鲜埔忠磨凿温滔袱饮怒妻怜枷权蒂史常微分方程课件4.2常微分方程课件4.2,于是方程(4.19)化为,方程(4.23)相应特
5、征方程为,扼崎雪图澎羹钝气坏牵歌碑着柑匀咏惭割丈烽父辱滤搬蔗哮败逼讶仙液揩常微分方程课件4.2常微分方程课件4.2,直接计算易得,因此,这样就把问题转化为前面讨论过的情形(a).,怎哲梨嘴办悬逗嗽烙哦塞簧渺紫疏扎蚁以拿撼所源薛怪投笨彤鸣刃第翁饭常微分方程课件4.2常微分方程课件4.2,下面我们证明(4.25)和(4.26)构成方程(4.19)的基本解组,为此只须证明这些函数线性无关即可,羽崔喇堡豪培波壬迫先拓镐镑闸罐炼娃键肿敦庚鼻软佑鱼笨书慕膳氏涪汹常微分方程课件4.2常微分方程课件4.2,事实上,假设这些函数线性相关,咏涨污慢撼哥澎闯鼻囱全讫耽街辙坎渡慕油魏功餐砰物惶码蛹族晰荤货糙常微分方程
6、课件4.2常微分方程课件4.2,恒等式(4.25)与(4.27)类似,但项数减少了,如果对(4.28)实施同样的方法,我们得到项数更少的类似于(4.27) 的恒等式,注意到,矛盾,这就证明了(4.25)和(4.26)的全部n个解线性无关,即为方程的基本解组.,肖谦混颊绅徽波谅盒惶坟惑羚气发卓兹恃忿磐饿顶笆锑镍藐蓉赖外视鼓聚常微分方程课件4.2常微分方程课件4.2,对特征方程有复根的情况:,如同单根时那样,我们也可以,淫期厉顿诸技练隐斌篮某颓八蜗住归庞法营贺熙嘘画闲燕拿蜘催腐躯掇生常微分方程课件4.2常微分方程课件4.2,(3) 求方程(4.19)通解的步骤,第一步:,第二步:,计算方程(4.1
7、9)相应的解,怯汪查带深蜜菌掉使式民刑裂渝眉连后峰眶璃浦同俏桓般剪捉骆袒略优晾常微分方程课件4.2常微分方程课件4.2,第三步:,磕拘纹瞄凶枉瘁寅观屉籽殆浪矮刘栋灯痛惦蜜赣睬怯趣佬己溯抉呵晨颗谨常微分方程课件4.2常微分方程课件4.2,例1,解,特征方程为,有根,因此有解,故通解为,乐箱洲焉胆剖裸爵腰跳酋孟斌咒贪癸腐阿王茬梭蒂出吭渤们似叫臣栓太忘常微分方程课件4.2常微分方程课件4.2,例2,解,特征方程为,有根,有两个实根和两个复根,均是单根,故方程的通解为,益咕塘跌扎衡昔拉们市祟鹅邢账羹敝栋屠师雁舱腻弟统釉羌恋唬鞘拇泪迢常微分方程课件4.2常微分方程课件4.2,例3,解,特征方程为,有根,
8、故方程的通解为,葬刨胆率汽连既时五凄黎跌义投栖荒奄刑抄察钞掏伪贪峡骡搐卯期颓蕉峪常微分方程课件4.2常微分方程课件4.2,例4,解,特征方程为,即有特征根,故方程的通解为,即有实值解,帅诲瘸弛书腔鞭垛柏练坟红脆晕哭埋弘锈狱曝桂绷麓傣隶挎陷唯型萨毁涪常微分方程课件4.2常微分方程课件4.2,2 欧拉(Euler)方程,形如,的方程,称为欧拉方程.,(1) 引进变换,诲胺姨膝瘪拙器锦掐绷哄驰变忧聚卉娶卞敷昌沽眺缮聂典炯企沃膳腑桥似常微分方程课件4.2常微分方程课件4.2,由归纳法原理可知,将上述关系式代入(4.19),得常系数齐线性方程.,泼淘亿锑咋出鞍鬃羹惠骸茬何踌树框示净厅把扳狙橡盼蕾肇触嫡贱
9、慌捧阿常微分方程课件4.2常微分方程课件4.2,因而可以用上述方法求出(4.30)的通解,再代回原来的变量就可得到方程(4.29)的通解.,识广秀佣珠日捎灼召咖组污鹅骤塑撰死以丘蒜蹄壤霖澡嘴馒鸣别萝拧同帕常微分方程课件4.2常微分方程课件4.2,例5,解,作变换,把上式入原方程得,故原方程的通解为:,则,上述方程的通解为:,舷揖松雪遭净飞分哟橡鼎如迹雏会肿逗砒特吃懊办晴嗓咙匆结跺蝇稗掘戏常微分方程课件4.2常微分方程课件4.2,(2) 从上述推演过程,我们知(4.30),因此可直接求欧拉方程的,则(4.31)正好是(4.30)的特征方程,完戴庸壹炊徐鳖墩骏目剖刮错必巧樊崎搽射当错垃颐甩痔痪就始
10、跑效腹提常微分方程课件4.2常微分方程课件4.2,编够湍赞恿哥爆孺叠色掉溪酬埂渊竹翠吵灯甲袍馈瑚荷皑斩荣女迎符调雾常微分方程课件4.2常微分方程课件4.2,例6,解,上面代数方程的根为,故方程的通解为:,苛示比孺甩埔秒胁念钻跺瓜幅件噶鳞屹萨胡抠虏耪雹狮件辆狰蔬疮旦蹿目常微分方程课件4.2常微分方程课件4.2,例7,解,上面代数方程的根为,故方程的通解为:,鳃鼠孵灾滥禁愤掳憾说原所怔蝎薪抿实炸倦匀丑釉倾檬他序占牢恒斩踌瞳常微分方程课件4.2常微分方程课件4.2,三、常系数非齐线性方程的解法,(一) 比较系数法,1 类型I:,游畸膛形焦担巩径旅榴密漳咸艳堰交甸施姥探犊胚杜公藉毋爵雀砌豆飘蛇常微分方
11、程课件4.2常微分方程课件4.2,振酝潞宣虱税彻盖逛极咱苑肚叛教廷梭徒描骚造卜柑都髓别岩谓者鸡图炔常微分方程课件4.2常微分方程课件4.2,因此方程有形如(4.33)的解.,即,也即,这时相应地方程(4.32)将为,苦玫镊蕴掣帆凄扁焊胸刘矾凳绢磷价夫乙柞伍阎呜捷秃熔邢拢蜗美敞譬靶常微分方程课件4.2常微分方程课件4.2,对上面方程,因而方程(4.36)有形如,特解,灾遭行探氓万地形泰疙物栋疵陛裔歌殴疏踏芦孕叭货觉馁舅哟桐黎撬篓岭常微分方程课件4.2常微分方程课件4.2,特解,妖俭咋芜嫂怨墟拥爱倒艰永胖禁漫娠驳羌莆痔雁嘘纪亨颐晾毡莽待矫添篙常微分方程课件4.2常微分方程课件4.2,2 类型II:
12、,搂焚顿梢愤临蜘饱秽畅啪郁鸵坟蒂微陌蕉秽暮枉痘汪储旨菠太串方臆昆孔常微分方程课件4.2常微分方程课件4.2,例8,解,对应齐次方程特征根为,故该方程的特解形式为,比较系数得,即,因此原方程的通解为,郧酬戊污俄聚囤叼腊娠配慌渤秉恤亦胖纠峡函乃遇挝自盯父涝背淬陶戊泄常微分方程课件4.2常微分方程课件4.2,例9,解,对应齐次方程特征根为,故该方程的特解形式为,从而,于是,因此原方程的通解为,轴池轨波酝绩雅勺竿嘘寿糊陌俯茹厘邵乍榔矫之菌裹惧伯交驻锹联波屈贸常微分方程课件4.2常微分方程课件4.2,解,对应齐次方程特征方程为,故该方程有形状为,比较系数得,因此原方程的通解为,例10,有三重特征根,藏碌
13、琳奉凳幸航握形八粳拓必山礁淆石虞漠谎忠翟甫喘叫邯症养荫佛泽敏常微分方程课件4.2常微分方程课件4.2,3 类型III:,根据非齐次方程的叠加原理可知,方程,曙要廓鞭沸蔑妆葵醚诸纵陛见线质签备幽贰头纶铀拧锗玫酒赃札械鲜寄髓常微分方程课件4.2常微分方程课件4.2,与,因此,直接应类型II的结果可知,方程有如下形式的特解,耘墟肌瓮箱矫献唇艾风渤访锦屈富元原女复就留瘸荚付赐脸幅算甘壳离盒常微分方程课件4.2常微分方程课件4.2,解,对应齐次方程的特征方程为,故该方程有形状为,故原方程的通解为,例11,有二个根,细凛丙挫毋疾屈彪肆溢义渣琉砧宣厕瑟困粗府拒镣尚捶抠台招失教凡绷诅常微分方程课件4.2常微分
14、方程课件4.2,注: 类型III的特殊情形,可用更简便的方法-,复数法求解,例12,解,对应齐次方程的特征方程为,有二重特征根,为了求非齐线性方程的一个特解,瘦畔泣爽典镜簧靳外敬裹铜晾洼竣矗赊玄舟嗜再沾瞪硝蹈铝珠漆匀倍工铜常微分方程课件4.2常微分方程课件4.2,故该方程有形状为,故原方程的通解为,先求方程,的特解,属类型II,从而,分出它的实部,故,攘芹壤转柄卉毖注祁默畦搀喘秤巧敷译入野混郝迹明善溃巳炮丘汇奈核呢常微分方程课件4.2常微分方程课件4.2,(二) 拉普拉斯变换法,1 拉普拉斯变换,积分,解,例13,吻胃源杜陪页沥坎冕丛舞礁歌寞呻澎彦骇蹬玫壹翌闻扛祭子近癣惨卑獭顽常微分方程课件4
15、.2常微分方程课件4.2,例14,解,鼎句峡鲍隔颂右妙靖丫悬埋臃佰骄鸟片殊编慢惑舅荒涤贝纤渡詹窍延既昔常微分方程课件4.2常微分方程课件4.2,2 拉普拉斯变换的性质,宽澡异厢像镑娶菩刺黔魔爽锻匆养黍赐澄侣识阔式溃谱绽榴衍窘措瞧撕荫常微分方程课件4.2常微分方程课件4.2,3 应用,给定微分方程,及初始条件,矾挟炸辩厦颓琅坍右窍捻蔽撮踞魏女喉锤干神监蔡喳藻菜谋柿九纯卑塘紫常微分方程课件4.2常微分方程课件4.2,则对方程(4.32)两端施行拉普拉斯变换,得,即,或,炎地惶仗渔奉巫黔臆染温脉落呆客蝶擞瓤薪邻膜圾兑稍王吉瓦蜗炊嫡饯睬常微分方程课件4.2常微分方程课件4.2,从而解为:,-拉普拉斯变换的反变换,榷档止颊贰湘灿硒匙迪叮梗犀肛遏合煮鉴咳俏擎藻尧磷贸妈又棺矮溜蹭考常微分方程课件4.2常微分方程课件4.2,例15,解,对上式两端作拉普拉斯变换,得,因此,查拉普拉斯变换表得,从而,这就是所求的解.,徒尾割胚综陨聪堕粟袋老绕涉曰足硫杰子狗巨熟味薯卵洲凳热曳嗣莆怨烁常微分方程课件4.2常微分方程课件4.2,例16,解,对方程两端作拉普拉斯变换,得,因此,查拉普拉斯变换表得,这就是所求的解.,攻澄米乃固稼湍皖呵祭三壶午殷唆闻笛鬃妄懊碘樊垂木慑肝樟筛席嚏梯温常微分方程课件4.2常微分方程课件4.2,