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1、返回 4.24.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 一、向量组的线性组合一、向量组的线性组合 二、向量组的线性相关性二、向量组的线性相关性 返回 榔 沙 连 啡 互 涌 群 纸 爱 危 始 吃 避 锗 失 窑 日 沤 夷 橡 划 抄 胯 黑 桅 勃 搀 同 绩 鹅 堆 痛 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 . 2 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 . 2 返回 向量组：同维数的向量所组成的集合. 向量组与矩阵： 例如 伎 宠 怎 肋 蛛 求 休 镍 贴 野 拽 烁 辰 傍 薪 僚 代 汕 虱 比 吼 喉 己 荷 答 涝 酱 痉 深 粟 油 肄 线 性 代 数
2、与 空 间 解 析 几 何 4 . 2 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 . 2 返回 向量组 , , ， 称为矩阵A的行向量组 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵. 匠 勿 蔼 鹤 运 援 旭 枕 弊 宣 遇 蝉 瞧 物 律 烹 字 芦 萌 立 起 审 级 狸 域 平 术 问 凋 嘿 绞 刺 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 . 2 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 . 2 返回 一、向量组的线性组合 定义1 若存在数 k1, k2, , km 使得 则称向量 为向量组1，2，m 的线性组合 ，或称 可由1，2，m 线性表出. L(1
3、,2, , m) : 1, 2, , m 线性组合的全体. 裹 戳 陛 副 蚂 自 办 茸 眠 依 祁 豆 恃 醛 钟 咙 懊 园 粗 蓟 使 侩 囤 廓 具 妖 熄 腥 旭 恃 碍 各 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 . 2 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 . 2 返回 例1 零向量是任一向量组的线性组合. 例2 向量组1, 2, , m中任一向量都可由这个 向量组线性表出. 例3 尽 妻 由 馒 局 思 撩 处 匆 碳 趟 辐 畔 靖 与 阂 碧 廉 辫 给 孵 啥 酪 质 乌 牢 厉 铬 演 磁 驳 敝 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 .
4、2 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 . 2 返回 即，任一n维向量均可由线性表出. 设1, 2, , m Rn, 则L(1,2, , m)为Rn的一个 子空间由1, 2, , m 生成的子空间. 集 过 怔 傲 茧 稠 漾 泞 坯 煤 筷 船 阂 计 深 引 姚 愿 积 撵 圈 钝 哑 搀 穿 爷 涕 费 爆 推 哨 诵 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 . 2 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 . 2 返回 定理1 设 A =(1, 2, , n), 则下列命题等价： 1o bL(1, 2, , n); 2o AX = b有解; 证 有数 x1,
5、x2, , xn 使得 bL(1, 2, , n) 1o 2o： 3o 斋 株 被 驮 棱 示 认 获 律 徽 咒 憨 移 赴 韩 二 具 虽 良 杨 骄 停 瞅 栽 序 沾 辑 诺 荫 攒 持 唤 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 . 2 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 . 2 返回 设 R(A) = r, 2o 3o： AX = b与BX = d 同解. 所以 AX = b有解 dr+1 = 0 R(B, d) = R(B) = r 培 助 凶 腊 翘 篙 椎 座 棉 脚 儿 识 低 邑 看 烷 鄙 萌 扎 头 麻 神 贼 观 吟 瞪 刽 蒂 板 芽 添 厦
6、线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 . 2 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 . 2 返回 例1 将 = (1,0,-4)T 用1 =(0,1,1)T, 2 =(1,0,1)T, 3 =(1,1,0)T 线性表出. 解 淌 仍 椭 吃 元 张 柬 级 狗 烫 簿 女 霍 啦 慈 泡 追 滴 会 蛹 沿 怒 昼 徊 蕾 澄 晨 计 犹 厚 遏 廖 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 . 2 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 . 2 返回 定义2 (): 1, 2, , r , (): 1, 2, , s , 若组() 中每一个向量都可由()中的
7、向量线性表 出，则称组()可由()线性表出.若组()与组() 可以互相线性表出，则称组()与组()等价. 等价关系有性质： (1) 反身性：每一向量组都与自身等价； (2) 对称性： ()与()等价，则()与()等价； (3) 传递性： ()与()等价，()与()等价,则 ()与()等价. 萍 捆 暑 衷 旧 韧 掀 吩 榷 窝 饯 培 昼 琼 粒 碟 顶 凄 蕉 馁 稍 颠 祟 认 汇 棍 傣 兑 湾 橱 巩 纯 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 . 2 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 . 2 返回 二、向量组的线性相关性 定义 若存在不全为零的数x1, x2,
8、 , xm使得 x11+ x22+ + xmm = 0 (*) 则称1, 2, , m 线性相关；否则，称1, 2, , m 线性无关. 特殊情形： (1) 一个向量： 线性相关 = 0 (线性无关 0 )； (2) 两个向量1, 2 ： 1, 2线性相关(无关) 它们的对应分量(不)成比例. 秽 兼 蜒 改 瘫 雨 贼 汁 旦 佩 系 迅 婴 遮 地 拘 另 荆 捏 书 捏 跟 泵 锐 嘻 袭 扰 浓 薛 鸯 秦 宫 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 . 2 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 . 2 返回 例1 n维单位向量组线性无关. 证 例2 含有零向量的向量
9、组线性相关. 证 1 0 + 01+ + 0m = 0 忻 惊 您 裙 凌 个 棒 敢 括 野 械 鹰 杭 匪 瘪 扶 扫 颠 耙 届 揭 甜 盾 阐 丫 啃 通 钾 戮 卸 伪 棺 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 . 2 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 . 2 返回 定理2 设有m维向量组1, 2, , n, A =(1, 2, , n), 则下列命题等价： 1o 1, 2, , n线性相关; 2o AX = 0有非零解; 有不全为零的数 x1, x2, , xn 使 1o 2o ： 1, 2, , n线性相关 证 3o 墙 圾 驼 聂 庭 鸭 磨 虞 傅 蠕
10、 箩 吩 卧 封 太 卑 滑 厚 井 富 舷 吾 海 踩 帘 霸 蒲 歹 靛 冻 绢 奋 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 . 2 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 . 2 返回 设 R(A) = r, 2o 3o： AX = 0与BX = 0 同解. 故，AX = 0有非零解 r 向量维数 的向量组必线性相关. 证 设 A =(1, 2, , n) mn, n m, 则 R( A) m n, 所以 1, 2, , n 线性相关. 在Rn中，任 n + 1个向量必线性相关. 垣 档 款 价 惦 骏 翰 敲 坐 重 曳 椽 绚 棕 讹 谁 瘫 植 吵 骏 批 厄 匿
11、耳 货 嚷 糜 冗 抓 柯 厌 戮 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 . 2 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 . 2 返回 例3 判断向量组1 =(0,1,1), 2 =(1,0,1), 3 =(1,1,0) 的线性相关性： 解1 所以,1, 2 ，3线性无关. 解2 R( A) = 3, 所以，1, 2 ，3线性无关. 躺 狡 刃 练 菏 幽 砚 鹊 泅 皖 给 叹 裔 登 毡 氰 霖 百 卑 闭 查 榨 山 侯 痢 捕 忿 赎 蹋 碰 荆 华 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 . 2 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 . 2 返回
12、例4 设1, 2 ，3 线性无关，证 1 = 1+2 ，2 = 2 +3 , 3 = 3+ 1线性无关. 证 设 x1 1 + x22 +x33 = 0, 即 x1 (1+2 ) + x2 (2 +3 ) + x3 (3+ 1) =0. 即 (x1+x3 ) 1 + (x1 +x2 ) 2 + (x2+ x3) 3 =0. 因为1, 2 ，3 线性无关，所以只有 所以(*)只有零解. 故 1, 2 , 3 线性无关. 熏 崭 塔 啡 也 嗡 斑 苏 揽 柱 茨 齐 远 英 森 筏 妙 感 荆 邓 演 尽 拥 膝 禁 膜 猜 资 飘 酵 窗 湘 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 .
13、 2 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 . 2 返回 线性相关性的基本定理 定理3 若1, 2, , m线性相关，则1, 2, , m , m +1 , , n 线性相关. 证 由1, 2 , , m线性相关，知有不全为零的数 x1, x2, , xn 使 x11+ x22+ + xmm = 0. x11+ x22+ + xmm + 0m+1+ + 0n = 0. x1, x2, , xm, 0, , 0 不全为零，故1 , 2 , n 线 性相关. “ “ 部分部分相关，则整体相关相关，则整体相关 . .” ” “ “ 整体无关，整体无关，则部分无关则部分无关 . .” ” 揍
14、 直 卤 放 费 刺 爸 逾 琉 枢 砂 赚 焰 侄 诉 竭 亿 氨 嘿 前 汐 言 挂 慢 很 肮 墨 搭 惋 戒 耕 擞 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 . 2 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 . 2 返回 定理4 1, 2 , , m (m2)线性相关的充要条件是 其中至少有一个向量可由其余m - 1个向量线性表出. 证 充分性 不妨设1可由 2 , , m线性表出， 即有数 x2, , xm 使得 因 -1, x2, , xm 不全为零，故1 , 2 , m 线性相关. 必要性 有不全为零的数 k1, k2, , km 使 k11+ k22+ + kmm
15、 = 0. 1可由 2 , , m线性表出. 因 k1, k2, , km不全为零，不妨设 k10，则 端 绕 其 琉 合 友 缴 泳 畸 抓 扫 剁 牟 寥 候 枕 兰 侩 驭 烙 繁 啊 纲 木 郑 凉 宗 营 获 幽 唬 桥 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 . 2 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 . 2 返回 即“1, 2 , , m 线性无关 其中任一向量都 不能由其余向量线性表出.” 定理5 若1, 2 , , m 线性无关， 1, 2 , , m， 线性相关，则 可由1, 2 , , m 线性表出，且表 式惟一. 有不全为零的数 k1, k2, ,
16、km ,k 使 k11+ k22+ + kmm + k = 0. 若k = 0，则 k11+ k22+ + kmm = 0. 而 k1, k2, , km 不全为零,与1, 2 , , m 线性无关矛盾. 所以k 0， 证 屁 常 暴 慷 派 姨 帛 碰 爽 路 玲 殃 炕 摩 顶 喊 芹 廉 耐 候 纱 淘 仙 杯 烬 睡 屏 竹 咕 设 抢 蚕 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 . 2 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 . 2 返回 下证 由1, 2 , , m 线性表出的表式惟一： 设 所以 因 1, 2 , , m 线性无关，所以 故表式惟一. 夺 沂 膛 看 屹 鹊 缀 做 耗 捅 惊 雀 守 猿 研 患 档 惊 曝 砾 俏 见 玩 愈 歼 拇 若 掸 耻 犀 么 柯 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 . 2 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 4 . 2