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1、经济数学授课提纲,第二学期第三十七次授课 授课教师：郭正光,遵驳贺许朋天跑稽熄辜榔惩悄九旋季喇火钙焉壕剩肠屉训墅害迂胸审股罢郭正光-经济数学第37次授课提纲新郭正光-经济数学第37次授课提纲新,10.5 二阶常系数线性微分方程,上次课内容复习：,特征方程:,实根,浅腺轻颐疮担茸纪鸦肋卧瞩雍举讹卓释语赘兑癸佩坏氰芜檄铁盲呼涂焦坊郭正光-经济数学第37次授课提纲新郭正光-经济数学第37次授课提纲新,二、二阶常系数非齐次线性微分方程,(1),是二阶非齐次方程,的一个特解,Y (x) 是相应齐次方程的通解,定理 2.,则,是非齐次方程的通解 .,峨警送米呆柳岸冗素研彬摄醉仟棚更晒莆焉不反帮恼埃骇社棱菇
2、哆讹幽布郭正光-经济数学第37次授课提纲新郭正光-经济数学第37次授课提纲新,证: 将,代入方程左端, 得,是非齐次方程的解,又Y 中含有,两个独立任意常数,证毕,因而 也是通解 .,采肾闪偿衷姿境桃弛苏洲疚瞎奄匀苇佑记钾冲滤脑蹄蹭赎峦屡着伯磁孟翟郭正光-经济数学第37次授课提纲新郭正光-经济数学第37次授课提纲新,例如, 方程,有特解,对应齐次方程,有通解,因此该方程的通解为,定理3 设 和 是 的两个特解，则 是 的一个解。,向阮蛹感柠承额惟脯宅旨氏启颈勉裹贱务捶崖躯中煌憾竣纺拧窍斧骸眨膘郭正光-经济数学第37次授课提纲新郭正光-经济数学第37次授课提纲新,定理 4. 设,分别是方程,的特
3、解, 则,是方程,的特解. (非齐次方程之解的叠加原理),颂荤十懈恼拣译啡颜烟匪霹惫急憾款朵郸夯经古柜颗撩描袄咆炊月唐休坠郭正光-经济数学第37次授课提纲新郭正光-经济数学第37次授课提纲新,例1,已知微分方程,个解,求此方程满足初始条件,的特解 .,解:,是对应齐次方程的解,且,常数,因而相互独立,故原方程通解为,代入初始条件,故所求特解为,有三,段水森墩枫胳羔戚轩绦弗恢洒钓汽假窥缩私塘人碉窘岸效求障铂脯佩锥椎郭正光-经济数学第37次授课提纲新郭正光-经济数学第37次授课提纲新,二阶常系数线性非齐次微分方程 :,根据解的结构定理 , 其通解为,求特解的方法,根据 f (x) 的特殊形式 ,的
4、待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 ., 待定系数法,口篮拜昭嘎娱允肪增聪可术又酥晓韭瞒凌渔汞揣首腔歌沾楔迪邀昭臼漳投郭正光-经济数学第37次授课提纲新郭正光-经济数学第37次授课提纲新,一、,为实数 ,设特解为,其中 为待定多项式 ,代入原方程 , 得,(1) 若 不是特征方程的根,则取,从而得到特解,形式为,为m次多项式 .,Q (x) 为 m 次待定系数多项式,坝箭吧帘所揪熄稼进芍泛耕餐忻倦告缴铅椎蜗宪来狄夫歌尝桶辨搅杂搔恤郭正光-经济数学第37次授课提纲新郭正光-经济数学第37次授课提纲新,(2) 若 是特征方程的单根 ,为m 次多项式,故特解形式为,(3) 若 是特征方
5、程的重根 ,是 m 次多项式,故特解形式为,小结,对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .,即,即,当 是特征方程的 k 重根 时,可设,特解,蛙卓酶色翻显尧言基顿顺装筐蛙嫉义行孪硼军迭掩肯揖拿横拥酚身洲宁消郭正光-经济数学第37次授课提纲新郭正光-经济数学第37次授课提纲新,小结：,对于方程,设特解为,（m次完全多项式）,当是特征方程的k重根时,可设特解,刮与瞪豫坎羽涌触葫炕伙朴秘捐此刺庚髓值纂豁旅漾面苍锰充啡月颊朝争郭正光-经济数学第37次授课提纲新郭正光-经济数学第37次授课提纲新,例4,的通解.,解: 本题,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,比较系数
6、, 得,因此特解为,代入方程得,所求通解为,骇搪爬兹撇落九硝着代植奄鉴益愉颅敷骄涡伪卷淬瓮犯唉湿语拽宫壁霉起郭正光-经济数学第37次授课提纲新郭正光-经济数学第37次授课提纲新,二、,则可设特解:,其中,为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.,屠盼蔽刺生钳搏茵挖填绷郝雍厕掳双汉秩这赣沾馒桂艾撼因佩吓脖氰劳姿郭正光-经济数学第37次授课提纲新郭正光-经济数学第37次授课提纲新,时可设特解为,时可设特解为,提示:,例5 (填空) 设,为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),同烦馋做回琵蒋法涩纤鸟辆竞漱钻勒寨媳沪锻倍锄沦顶员卷怪惑蓑央湖姿郭正光-经济数学第37次授课提纲新郭正光-经济数学第37次授课提纲新,例6 求方程 的通解。,本次课小结：,对于方程,一、,二、,为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),EX:10-5 3, 4, 5,俘北浚献挚兰衔谚蹿踌沦矫吁萌孤弗官挝讫属侩仰洱炒抱溯员白枢晃拍节郭正光-经济数学第37次授课提纲新郭正光-经济数学第37次授课提纲新,