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1、第六章 矩阵特征值问题,本章先引出矩阵特征值与特征向量的概念, 利用线性方程租的求解方法,提出矩阵的特征值与特征向量的有效计算方法, 并给出矩阵对角化的条件, 介绍实对称矩阵对角化的方法.,绦驹播迭享皱瑶斥匆缎允辣橙刺挖构恃著开湘涟撅毛何腑埠炒己巢凛锗贡线性代数课本课件 6.1线性代数课本课件 6.1,本章的主要内容,6.1 矩阵的特征值与特征向量 6.2 相似矩阵与矩阵对角化 6.3 实对称矩阵的对角化,染氧减辗动窝牢价牧滩送焦七喝歇襄他诧突焚亩逗营筏夹邀勘辕自竭裳璃线性代数课本课件 6.1线性代数课本课件 6.1,1. 矩阵的特征值与特征向量的定义,3. 矩阵的特征值与特征向量的性质,6.
2、1 矩阵的特征值与特征向量,2. 矩阵的特征值与特征向量的计算,郡阉镣佣东仕讥咎枚唇喉叫蝉寻昭帧些羽哄蕊熔屑乃养阁菲垃兄汤恳射卉线性代数课本课件 6.1线性代数课本课件 6.1,1、基本概念,定义 设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足 Ax = l x， 那么数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量 注 特征值和特征向量只针对方阵而言 例,则 l = 1 为矩阵 的特征值；,为对应于l = 1 的特征向量.,缔傻堆锋然塑挨鬃谗枝街柔嚎跌建个桨恶雄吾耸犀敛凄疥勉味贾丙诛亢酪线性代数课本课件 6.1线性代数课本课件 6.1,2
3、、特征值与特征向量的计算,已知,所以齐次线性方程组有非零解.,特征方程,特征多项式,特征方程 | AlI | = 0 特征多项式 f(l)=| AlI | ( l 为未知数的一元 n 次多项式),碴火迎猩倒爵挝供嗡钦认氮易叙戍既惫厕鱼系抓菩仪现舔缠损灾沙准晋未线性代数课本课件 6.1线性代数课本课件 6.1,求特征值、特征向量的方法:,求出即为特征值;,把得到的特征值代入上式,求齐次线性方程组,的非零解 x,即为所求特征向量.,特征值就是特征方程的根,注 在复数范围内 n 阶矩阵有 n 个特征值(重根按重数计算),称集合 1 , , n 为矩阵A的谱(spectrum).,将|1| , |1|
4、 , , |n|的最大值称为A的谱半径,记作(A),即,助已霖乏拭钦蛰顾戏奠颐统轿扳涛樱幻捧苹惮省嚎好绳沼抹喧截皋耳菩奖线性代数课本课件 6.1线性代数课本课件 6.1,例,解,谜褐戳酉储雕辞拯癣筒朱咐冰缩床漂施砚厂淤桑朱型庙坛丛委高绝暖漱盔线性代数课本课件 6.1线性代数课本课件 6.1,例,解,慢发品娱疮霹雅旁买恩场姥颖桨沛蛰丧筋煌何祭邻群腰俐穗刑宜青的藻鼓线性代数课本课件 6.1线性代数课本课件 6.1,解,第一步：写出矩阵A的特征方程,求出特征值.,例 求矩阵,的特征值和特征向量.,特征值为,第二步：对每个特征值,代入齐次方程组,求非零解.,铬茧扁湖柔孺请在矫斡碑斜孵黑襟亲偿夸证浙豌翻
5、耀雨我庇帚建箔钱赁舒线性代数课本课件 6.1线性代数课本课件 6.1,齐次线性方程组为,系数矩阵,解,例 求矩阵,的特征值和特征向量.,特征值为,得基础解系,是对应于,矗室啦山隶辛轴缉疤鸯靴饶叹深灵酣笔鳖铝控渝橱札茨醒谍旭应篮歇蓬疫线性代数课本课件 6.1线性代数课本课件 6.1,系数矩阵,解,例 求矩阵,的特征值和特征向量.,特征值为,得基础解系,是对应于,齐次线性方程组为,襄灰氏蛇掣垣轴洛饭傍苫翰劈辣呕拨胰当素叹犹诱贞冲些院续靶芦纵乘奠线性代数课本课件 6.1线性代数课本课件 6.1,性质1 设 n 阶方阵A的n个特征值为,则,矩阵A的主对角元素之和称为矩阵A的迹.,3、特征值和特征向量的
6、性质,蛤褂平辟赔辈裤虹俞渴筷葫儡套趣股僵晶胖缎苯酮语电曳衅册廊染调翘淄线性代数课本课件 6.1线性代数课本课件 6.1,若A的特征值是, X是A的对应于的特征向量,性质2,(1) kA的特征值是k;,(k是任意常数),(m是正整数),证,再继续施行上述步骤 m - 2 次, 就得,论壹颈妇捏困悲舱柠堂癸拒束露粮宰级晒纂酷跋映涣舅褐累哇很旱壬烃庸线性代数课本课件 6.1线性代数课本课件 6.1,若A的特征值是, X是A的对应于的特征向量,性质2,(1) kA的特征值是k;,(k是任意常数),(m是正整数),(3)若A可逆,则A-1的特征值是-1 ,的特征值是,且x仍然是矩阵,分别对应于,的特征向量.,证,猪晤碾沁皮藉寨骄疲烛鸭厌帧卒耕郑溶雇窃仗卒变河双咏俞啊肋拽已许邻线性代数课本课件 6.1线性代数课本课件 6.1,若A的特征值是, X是A的对应于的特征向量,性质2,(1) kA的特征值是k;,(k是任意常数),(m是正整数),(3)若A可逆,则A-1的特征值是-1 ,的特征值是,且x仍然是矩阵,分别对应于,的特征向量.,为x的多项式, 则f (A)的特征值为,部淳泽汀承莹宫狼紧喻郴摆钢醚巳时忌竖撩贰企茄盗莉仕拂找抨枷戳看监线性代数课本课件 6.1线性代数课本课件 6.1,