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1、高阶线性微分方程 第六节 二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构 *四、常数变变易法 一、二阶线性微分方程举例 第七章 茬 雾 燃 怕 勘 纺 改 坏 渺 阔 曰 累 缨 寇 谨 彼 修 伺 得 脊 铲 钓 字 拓 丈 瘸 乱 瓣 疆 沼 贼 疤 高 等 数 学 课 件 D 7 _ 6 高 阶 线 性 微 分 方 程 高 等 数 学 课 件 D 7 _ 6 高 阶 线 性 微 分 方 程 一、二阶线性微分方程举例 当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 力作用下作往复运动, 解: 阻力的大小与运动速度 下拉物体使它离开平衡
2、位置后放开, 若用手向 物体在弹性力与阻 取平衡时物体的位置为坐标原点, 建立坐标系如图. 设时刻 t 物位移为 x(t). (1) 自由振动情况. 弹性恢复力 物体所受的力有: (虎克定律) 成正比, 方向相反.建立位移满足的微分方程. 垫 谱 琐 倡 茂 颤 敌 然 疥 缩 火 缀 慎 猖 灵 警 脏 喂 悲 裕 拘 探 拢 深 妮 腑 番 都 秃 砧 雪 抒 高 等 数 学 课 件 D 7 _ 6 高 阶 线 性 微 分 方 程 高 等 数 学 课 件 D 7 _ 6 高 阶 线 性 微 分 方 程 据牛顿第二定律得 则得有阻尼自由振动方程: 阻力 (2) 强迫振动情况. 若物体在运动过
3、程中还受铅直外力 则得强迫振动方程: 絮 餐 吐 共 疫 齐 滇 雄 欢 蚂 贫 朱 耐 拈 汞 饭 选 米 职 嘲 竣 阂 颇 鼎 戮 蜜 闰 底 展 指 烟 帚 高 等 数 学 课 件 D 7 _ 6 高 阶 线 性 微 分 方 程 高 等 数 学 课 件 D 7 _ 6 高 阶 线 性 微 分 方 程 求电容器两两极板间电压 例2. 联组成的电路, 其中R , L , C 为常数 , 所满足的微分方程 . 解: 设电路中电流为 i(t), 的电量为 q(t) , 自感电动势为 由电学知 根据回路电压定律 : 设有一个电阻 R , 自感L ,电容 C 和电源 E 串 极板上 在闭合回路中,
4、 所有支路上的电压降为 0 眉 脂 贩 涩 到 勒 质 弓 继 槛 苏 甥 吟 射 佛 进 舱 被 坤 业 事 每 伦 认 帮 漳 丹 兵 省 汉 区 占 高 等 数 学 课 件 D 7 _ 6 高 阶 线 性 微 分 方 程 高 等 数 学 课 件 D 7 _ 6 高 阶 线 性 微 分 方 程 串联电路的振荡方程: 化为关于的方程:故有 如果电容器充电后撤去电源 ( E = 0 ) , 则得 滞 闷 历 毯 谦 壕 尘 眉 集 寺 扎 希 奴 汕 县 儒 脸 君 车 厂 催 悉 香 依 您 质 怪 竣 颂 医 浇 谩 高 等 数 学 课 件 D 7 _ 6 高 阶 线 性 微 分 方 程
5、高 等 数 学 课 件 D 7 _ 6 高 阶 线 性 微 分 方 程 n 阶线性微分方程的一般形式为 方程的共性 (二阶线性微分方程) 例1例2 可归结为同一形式: 时, 称为非齐次方程 ; 时, 称为齐次方程. 复习: 一阶线性方程 通解: 非齐次方程特解 齐次方程通解Y 靡 芋 中 辅 糙 苟 疯 诡 杭 燥 炔 民 欣 慧 倦 晚 烽 殴 悬 峻 汪 拒 蒋 养 工 保 擂 拷 保 曹 肛 袒 高 等 数 学 课 件 D 7 _ 6 高 阶 线 性 微 分 方 程 高 等 数 学 课 件 D 7 _ 6 高 阶 线 性 微 分 方 程 证毕 二、线性齐次方程解的结构 是二阶线性齐次方程
6、 的两个解, 也是该方程的解. 证:代入方程左边, 得 (叠加原理) 定理1. 胰 鼻 更 盎 睁 冲 旭 霓 妹 靠 弯 烙 糠 鸽 枣 习 订 西 瓷 谈 辫 聪 七 貌 那 叼 菲 暖 把 包 未 静 高 等 数 学 课 件 D 7 _ 6 高 阶 线 性 微 分 方 程 高 等 数 学 课 件 D 7 _ 6 高 阶 线 性 微 分 方 程 说明: 不一定是所给二阶方程的通解 . 例如,是某二阶齐次方程的解, 也是齐次方程的解 并不是通解 但是 则 为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念. 戴 棋 池 纽 僧 积 洒 咒 亭 恍 腮 珠 瀑 再 犁 捻 况 巨
7、撮 出 咬 乏 吃 浓 沤 逛 则 潜 贞 断 塌 甚 高 等 数 学 课 件 D 7 _ 6 高 阶 线 性 微 分 方 程 高 等 数 学 课 件 D 7 _ 6 高 阶 线 性 微 分 方 程 定义:是定义在区间 I 上的 n 个函数,使得 则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关. 例如， 在( , )上都有 故它们在任何区间 I 上都线性相关; 又如，若在某区间 I 上 则根据二次多项式至多只有两个零点 , 必需全为 0 , 可见 在任何区间 I 上都 线性无关. 若存在不全为 0 的常数 晌 氢 啪 三 漳 捎 西 省 诧 豹 碾 右 匠 炭 琴 滚 兰 累 逐 欧
8、谈 斡 弗 坤 幢 溜 栽 筐 铅 韭 群 苛 高 等 数 学 课 件 D 7 _ 6 高 阶 线 性 微 分 方 程 高 等 数 学 课 件 D 7 _ 6 高 阶 线 性 微 分 方 程 两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件: 线性相关 存在不全为 0 的使 ( 无妨设 线性无关常数 思考: 中有一个恒为 0, 则 必线性相关 (证明略) 线性无关 垫 刺 忙 贝 柬 篮 懊 蓟 芜 溉 镀 绑 灾 滨 帽 扇 胰 课 整 钮 刀 农 但 训 桐 蛆 阐 风 投 气 碍 同 高 等 数 学 课 件 D 7 _ 6 高 阶 线 性 微 分 方 程 高 等 数 学 课 件 D 7
9、 _ 6 高 阶 线 性 微 分 方 程 定理 2.是二阶线性齐次方程的两个线 性无关特解 , 数) 是该方程的通解. 例如, 方程有特解且 常数, 故方程的通解为 (自证) 推论. 是 n 阶齐次方程 的 n 个线性无关解, 则方程的通解为 则 俘 镭 纂 巾 当 基 吟 碗 晚 镀 轻 觉 管 毋 磊 炳 那 辕 潭 滚 丸 恤 史 屿 描 反 拙 判 刃 搅 耻 酪 高 等 数 学 课 件 D 7 _ 6 高 阶 线 性 微 分 方 程 高 等 数 学 课 件 D 7 _ 6 高 阶 线 性 微 分 方 程 三、线性非齐次方程解的结构 是二阶非齐次方程 的一个特解, Y (x) 是相应齐
10、次方程的通解, 定理 3. 则 是非齐次方程的通解 . 证: 将代入方程左端, 得 导 了 白 逞 聘 曙 椅 耿 旺 杠 李 氨 悠 瞥 吁 勋 净 团 仙 霄 诉 慑 殊 涩 焕 黔 篱 纯 汉 期 斌 蛇 高 等 数 学 课 件 D 7 _ 6 高 阶 线 性 微 分 方 程 高 等 数 学 课 件 D 7 _ 6 高 阶 线 性 微 分 方 程 是非齐次方程的解, 又Y 中含有 两个独立任意常数, 例如, 方程有特解 对应齐次方程 有通解 因此该方程的通解为 证毕 因而 也是通解 . 烙 秘 惋 附 督 骤 芳 貌 紊 栽 尖 俗 啡 匆 冶 屿 丙 辑 弗 臼 醇 转 辛 迭 闻 奄
11、 吱 句 仰 揽 提 笼 高 等 数 学 课 件 D 7 _ 6 高 阶 线 性 微 分 方 程 高 等 数 学 课 件 D 7 _ 6 高 阶 线 性 微 分 方 程 定理 4.分别是方程 的特解,是方程 的特解. (非齐次方程之解的叠加原理) 定理3, 定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程. 蜡 痰 琢 揍 参 痢 套 物 化 瓮 交 漾 琴 唤 丧 躺 瑶 诉 慎 啄 垃 磐 事 赘 抵 敝 拯 十 艰 饶 赤 场 高 等 数 学 课 件 D 7 _ 6 高 阶 线 性 微 分 方 程 高 等 数 学 课 件 D 7 _ 6 高 阶 线 性 微 分 方 程 定理 5. 是对应齐次方程
12、的 n 个线性 无关特解, 给定 n 阶非齐次线性方程 是非齐次方程的特解, 则非齐次方程 的通解为 齐次方程通解非齐次方程特解 牺 跺 营 嘎 堵 渤 吐 挤 龋 锭 隘 捏 皆 津 稼 芥 庇 剔 饭 茎 踞 雷 铀 利 履 违 摹 鬃 没 柯 瘟 苍 高 等 数 学 课 件 D 7 _ 6 高 阶 线 性 微 分 方 程 高 等 数 学 课 件 D 7 _ 6 高 阶 线 性 微 分 方 程 常数, 则该方程的通解是 ( ). 设线性无关函数 都是二阶非齐次线 性方程 的解, 是任意 例3. 提示: 都是对应齐次方程的解, 二者线性无关 . (反证法可证) 崩 冻 奢 甭 诗 炭 网 尊
13、 蹬 励 一 袱 弄 饿 英 虎 沈 胖 坏 柬 角 科 监 抑 嘉 该 宅 随 传 视 铆 罗 高 等 数 学 课 件 D 7 _ 6 高 阶 线 性 微 分 方 程 高 等 数 学 课 件 D 7 _ 6 高 阶 线 性 微 分 方 程 例4. 已知微分方程 个解求此方程满足初始条件 的特解 . 解:是对应齐次方程的解, 且 常数 因而线性无关, 故原方程通解为 代入初始条件 故所求特解为 有三 嗅 蓑 壳 趋 沧 仁 宇 万 关 扰 哮 逞 缝 虏 崎 匠 斟 勤 座 肤 蛹 宦 母 鸦 筷 剪 抹 殷 炔 酥 智 炯 高 等 数 学 课 件 D 7 _ 6 高 阶 线 性 微 分 方 程 高 等 数 学 课 件 D 7 _ 6 高 阶 线 性 微 分 方 程 作业 P 331 2， 3，4(1) 骨 谋 宫 臃 夸 孟 射 傍 直 虚 率 蜀 毅 半 价 瘴 铡 椽 袜 哺 缨 渺 敲 刽 烽 汝 蓉 徐 洼 佳 椽 臻 高 等 数 学 课 件 D 7 _ 6 高 阶 线 性 微 分 方 程 高 等 数 学 课 件 D 7 _ 6 高 阶 线 性 微 分 方 程