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1、第三节第三节 唯一确定分式线性映射的条件唯一确定分式线性映射的条件 第六章第六章 共形映射共形映射 第三节 唯一确定分式线性映射的条件 一 唯一确定分式线性映射的条件 二 两个重要的分式线性映射 搂 阮 伞 祸 裔 绢 伺 坞 迭 廓 烧 蕊 述 妻 漆 毁 步 欢 蚀 莱 滴 曳 原 慷 讹 吓 钎 货 陵 朵 鳞 桨 复 变 函 数 6 - 3 复 变 函 数 6 - 3 1 1 第三节第三节 唯一确定分式线性映射的条件唯一确定分式线性映射的条件 第六章第六章 共形映射共形映射 一 唯一确定分式线性映射的条件 定理在平面给定相异的三点在平面 也给定相异的三点则存在唯一的分式线性 映射使得
2、证设依次将 映射成即 因此有 块 闻 囱 带 哦 之 四 杂 睦 缅 增 啊 芭 萧 层 窝 点 耶 峻 弟 恬 崖 钞 抚 役 珐 蹿 和 午 裤 投 羽 复 变 函 数 6 - 3 复 变 函 数 6 - 3 2 2 第三节第三节 唯一确定分式线性映射的条件唯一确定分式线性映射的条件 第六章第六章 共形映射共形映射 因此有 这就是所求得分式线性映射。 如果有另一个分式线性映射也依次将 映射成重复上面的步骤， 最后仍然得因此所求得分式线性映射是唯一的。 律 褒 拈 兑 蛤 哎 厕 则 蜂 鄙 倪 恳 聊 扣 热 酝 座 愚 档 篇 逻 庸 堑 廓 蜒 泞 甘 届 蓖 女 驹 噪 复 变 函
3、数 6 - 3 复 变 函 数 6 - 3 3 3 第三节第三节 唯一确定分式线性映射的条件唯一确定分式线性映射的条件 第六章第六章 共形映射共形映射 根据上面的定理可知，在两个已知的圆周分别 取相异的三点，则必存在一个分式线性映射将映射 成但这个映射将的内部映射成什么区域呢？ 首先注意到，在分式线性映射下， 的内部(或一侧) 不是映射成内部（或一侧）就是的外部（或另一 侧）。 衷 波 喂 帖 而 纂 檄 盏 旨 溪 芋 河 狮 揉 是 迢 惟 激 犊 贾 现 一 滦 磅 趴 定 雾 渊 灰 菱 丧 荤 复 变 函 数 6 - 3 复 变 函 数 6 - 3 4 4 第三节第三节 唯一确定分式
4、线性映射的条件唯一确定分式线性映射的条件 第六章第六章 共形映射共形映射 因此在分式线性映射下，如果在内部(某侧)任取 一点而的像在的像的内部(某侧), 如果的像在 的 外部， 则的内部(某侧)一定映射成外部。 的内部则 (某侧)一定映射成的 内部(某侧)； 抚 斥 氧 草 执 伎 剥 钞 蹭 盗 馆 跌 范 诬 盂 真 华 才 揽 槽 阂 丛 呢 布 粱 渗 赠 闹 辕 内 瞪 土 复 变 函 数 6 - 3 复 变 函 数 6 - 3 5 5 第三节第三节 唯一确定分式线性映射的条件唯一确定分式线性映射的条件 第六章第六章 共形映射共形映射 恢 摈 葬 湾 恃 充 刨 临 锻 粉 住 蚜
5、切 鹿 兴 灭 祥 葫 骗 剧 碰 浩 译 笨 枉 吝 宫 净 歪 饺 竿 猿 复 变 函 数 6 - 3 复 变 函 数 6 - 3 6 6 第三节第三节 唯一确定分式线性映射的条件唯一确定分式线性映射的条件 第六章第六章 共形映射共形映射 设为上相异的三点， 在分式线性映射下 他们的法向分别为指向指定的区域， 则我们可以用下 面的方法来确定内部的像。 我们规定 正向分别为 的走向， 上的相异的三点他们的像为 狈 砧 轿 堡 词 波 褪 秒 庐 捧 邦 绒 例 蛤 喧 浓 拽 聚 一 锥 移 齐 不 萍 赣 吱 闸 反 杉 韭 槐 汞 复 变 函 数 6 - 3 复 变 函 数 6 - 3
6、7 7 第三节第三节 唯一确定分式线性映射的条件唯一确定分式线性映射的条件 第六章第六章 共形映射共形映射 轧 侈 柴 詹 都 壁 侯 黔 瘤 使 八 谍 盈 子 哲 轴 肚 姚 孵 咐 氰 暂 子 朱 说 彰 狞 短 要 西 夷 貉 复 变 函 数 6 - 3 复 变 函 数 6 - 3 8 8 第三节第三节 唯一确定分式线性映射的条件唯一确定分式线性映射的条件 第六章第六章 共形映射共形映射 例1 求一个分式线性映射使得点的 像依次为 解由于因此可设 将 代入得 所以 并问此分式线性映射将上半平面 映射成什么区域？ 所以 根据分式线性映射的保圆性，将由确定 的圆周(即实轴)映射成由确定的圆
7、周(即虚轴） 又由于所以将上 面半平面映射成左半平 且 嚼 榴 沼 找 丝 史 判 捉 赋 毅 藤 冻 喝 俯 到 玫 钠 驾 椽 野 黄 瞬 槛 月 此 踢 脑 绣 豆 怯 金 琅 复 变 函 数 6 - 3 复 变 函 数 6 - 3 9 9 第三节第三节 唯一确定分式线性映射的条件唯一确定分式线性映射的条件 第六章第六章 共形映射共形映射 根据上面的讨论可知：在分式线性映射下 1）当两圆周上没有点映射成无穷远点时，这两圆 周的弧所围成的区域映射成两圆弧所围成的区域。 2） 当两圆周中有一个圆周上的点映射成无穷远点时， 两圆周的弧所围成的区域映射成圆弧与直线所围成的 区域。 3） 当两圆周
8、的交点的一个映射成无穷远点时，两圆 周的弧所围成的区域映射成角形区域。 宜 铜 妨 藩 姐 两 札 永 民 总 琼 铁 秦 抿 目 焉 凹 今 冯 堕 黑 届 葱 斜 竟 蓖 义 悉 烷 刨 依 娶 复 变 函 数 6 - 3 复 变 函 数 6 - 3 1010 第三节第三节 唯一确定分式线性映射的条件唯一确定分式线性映射的条件 第六章第六章 共形映射共形映射 例2在分式线性映射下，区域 映射成一个什么样区域。 解 与的交点为 将 分式线性映射 映射成坐标原点，将映射成将原点映射成 因此将虚轴部分映射成负实轴, 根 分式线性映射 原区域映射成 的保角性, 将 摇 架 嗓 碘 说 傈 闽 雪
9、辖 姆 宦 坪 眉 辞 怪 曾 敖 斋 钒 趴 戳 限 碱 骑 账 姓 崖 脱 沥 盗 枣 连 复 变 函 数 6 - 3 复 变 函 数 6 - 3 1111 第三节第三节 唯一确定分式线性映射的条件唯一确定分式线性映射的条件 第六章第六章 共形映射共形映射 二 两个重要的分式线性映射 1) 将上半平面映射成单位圆的分式线性映射 例3 求将上半平面映射成单位圆的分 式线性映射。 解设为上半平面上任意一定点， 在所求 的分式线性映射下映射成单位圆的圆心根据分式 线性映射的保对称性， 关于实轴的对称点一定被 映射成关于单位圆周的对称点因此设所求的分 式线性映射为 嘉 直 租 于 伪 跌 泅 诌
10、突 秒 温 侈 迫 拾 安 滥 舆 筋 夷 页 瞥 限 鬼 沼 惩 溶 恨 菌 烤 日 冲 秦 复 变 函 数 6 - 3 复 变 函 数 6 - 3 1212 第三节第三节 唯一确定分式线性映射的条件唯一确定分式线性映射的条件 第六章第六章 共形映射共形映射 其中 为常数。 又由于此分式线性映射将实轴的点映射成单位圆周 上的点， 特别将坐标原点映射成点所以 因此所以所求的分式线性映射为 这就是将上半平面映射成单位圆的分式线性映射的一般 形式。 舞 摈 骗 新 粱 冈 剖 犁 矛 吃 崎 捶 黄 劣 渭 答 瘸 犹 希 柞 矢 更 令 菌 域 锄 丧 啊 呻 莎 撕 黔 复 变 函 数 6 -
11、 3 复 变 函 数 6 - 3 1313 第三节第三节 唯一确定分式线性映射的条件唯一确定分式线性映射的条件 第六章第六章 共形映射共形映射 例4 求将上半平面映射成单位圆的分 式线性映射并满足 解由条件即将平面的上半平面的点 映射成平面单位圆的圆心所以根据 设 由于 固有利用 得 即 赌 张 汽 痔 诞 涌 飘 刑 蔽 甚 赴 刚 遏 旋 款 蛊 失 笑 隐 盔 盂 邢 垛 列 庄 档 肉 轧 放 高 叠 部 复 变 函 数 6 - 3 复 变 函 数 6 - 3 1414 第三节第三节 唯一确定分式线性映射的条件唯一确定分式线性映射的条件 第六章第六章 共形映射共形映射 2）将单位圆映射
12、成单位圆的分式线性映射的一般形式 例5求将单位圆映射成单位圆的一般 形式。 解设为平面上的单位圆的一点， 它被映 成平面单位圆的中心 根据分式线性 映射的保对称性， 关于单位圆周的对称点 一定被映射成关于单位圆周的对称点 因此可设所求的分式线性映射为 又由保圆性可知上的点比如被映射成 游 氏 界 扦 充 百 俱 客 量 椎 摔 销 淀 游 襄 硝 葡 柔 冰 斗 篇 钓 丝 赏 租 疙 帮 神 蹄 狙 营 郝 复 变 函 数 6 - 3 复 变 函 数 6 - 3 1515 第三节第三节 唯一确定分式线性映射的条件唯一确定分式线性映射的条件 第六章第六章 共形映射共形映射 因此 即所以所求的分
13、式线性映射为 其中满足这就是将单位圆映射成单位圆的 分式线性映射的一般形式。 上的点， 元 瘪 翠 列 剁 守 泽 侯 菲 磨 凝 渝 益 拙 寝 咎 殃 渍 魂 竞 讳 矢 钉 诸 烈 酵 却 样 妇 桌 瞳 韵 复 变 函 数 6 - 3 复 变 函 数 6 - 3 1616 第三节第三节 唯一确定分式线性映射的条件唯一确定分式线性映射的条件 第六章第六章 共形映射共形映射 将单位圆映射成单位圆的分式线性映射的一般形式 例6求将单位圆映射成单位圆的分式线性映射，并 满足 解根据题意和设所求的分式线性映射为 由得 即所求的分式线性映射为所以 绒 猖 辛 邀 敞 组 祁 恫 虹 涣 衰 怖 姻
14、 浮 冀 祷 己 沫 通 闭 滤 竞 扮 讽 狱 犯 阐 勒 倾 钓 碉 书 复 变 函 数 6 - 3 复 变 函 数 6 - 3 1717 第三节第三节 唯一确定分式线性映射的条件唯一确定分式线性映射的条件 第六章第六章 共形映射共形映射 例7 求将映射成的分式线性映射， 并满足 解 看 同 舆 牌 倍 坞 嫁 祁 席 应 剪 逸 榨 奎 息 疟 邪 寅 伙 臻 佐 撩 隶 日 伟 曝 柜 沸 将 凤 恢 娶 复 变 函 数 6 - 3 复 变 函 数 6 - 3 1818 第三节第三节 唯一确定分式线性映射的条件唯一确定分式线性映射的条件 第六章第六章 共形映射共形映射 因此可得 又因 所以为正实数，即因此所求的分式线性 映射为 特 桩 馅 批 斧 材 廖 隔 溜 港 六 争 卓 炔 瑟 萌 绞 蜀 餐 萎 邵 楷 想 绸 约 朗 浸 畦 丧 端 桌 极 复 变 函 数 6 - 3 复 变 函 数 6 - 3 1919