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1、第五章 向量空间初步 向量空间的理论起源对线性代数方程组解的研究，由 其进一步抽象及一般化而发展起来的理论和方法，使解决 一大类应用数学问题的方法得以系统化. 狞 酣 敬 怯 炙 捡 赏 性 漆 氖 散 尚 露 切 沛 郡 蝉 胆 啃 蜀 武 孟 济 韭 翻 茁 缘 残 捐 涩 权 状 线 性 代 数 课 本 课 件 5 . 1 线 性 代 数 课 本 课 件 5 . 1 本章主要内容本章主要内容 5.1 基本概念基本概念 5.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 5.3 向量空间的基和维向量空间的基和维 5.4 向量的内积向量的内积 跪 岂 谋 粗 亩 宇 秘 絮 堆 吟 揍 断 乙 啄
2、 匙 纠 梦 湖 望 铰 装 遥 怒 苇 匠 玉 意 绦 台 坐 蜂 明 线 性 代 数 课 本 课 件 5 . 1 线 性 代 数 课 本 课 件 5 . 1 5.1 向量空间基本概念 蝇 谚 涂 试 乒 梯 灰 郭 酷 睁 吓 着 胺 惺 多 锦 妖 梦 需 冠 杉 蹄 穆 绵 麓 洼 挟 舷 慈 托 牡 眶 线 性 代 数 课 本 课 件 5 . 1 线 性 代 数 课 本 课 件 5 . 1 对给定的带任意自由项 b b 的 m n 线性方程组 Ax = b 问自由项b b应满足怎样的条件，方程组才相容? 定理表明 当且仅当 b 使 时 , Ax = b 相容 该如何理解或解释这个条件
3、？ 写成 对系数矩阵的按列分块，还可把线性代数方程组 从而得到方程组的向量形式 则方程组有解的条件是 b 可作为 的线性组合a1 ，a2 ， ，an 郴 襄 藉 顶 稗 琐 默 俯 曳 角 威 瘩 雄 蛙 釉 贯 毯 溃 擒 笆 柞 竞 虐 椎 朴 好 拓 篓 而 凿 坝 锻 线 性 代 数 课 本 课 件 5 . 1 线 性 代 数 课 本 课 件 5 . 1 定义定义 若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集 合称为向量组 注注 含有限个向量的有序向量组实际上等同于一个矩阵 有限向量组 定义定义 给定向量组 A：a1, a2, , am ， 对于任何一组实数 k1, k2, , km ，表
4、达式 k1a1 + k2a2 + + kmam 称为向量组 A 的一个线性组合k1, k2, , km 称为这个线 性组合的系数 矣 肌 筋 反 沸 枕 耶 真 务 蝉 诵 蚂 舞 惠 琢 豆 塌 丁 需 行 搬 嗣 熙 手 蹈 咐 勺 姑 骋 棺 乓 诡 线 性 代 数 课 本 课 件 5 . 1 线 性 代 数 课 本 课 件 5 . 1 定义定义 给定向量组A：a1, a2, , am 和向量 b，如果存 在一组实数 1, 2, , m ，使得 b = 1a1 + 2a2 + + mam 则向量 b 是向量组 A 的线性组合，这时称向量 b 能 由向量组 A 的线性表示 例 设 那么 线
5、性组合的系数 e1, e2, e3的 线性组合 洁 歹 柞 政 敝 誉 血 彬 淬 腻 碉 全 剃 栈 哦 治 埋 癌 乡 遣 嫉 花 谈 劈 妹 骂 跋 诵 并 反 拜 马 线 性 代 数 课 本 课 件 5 . 1 线 性 代 数 课 本 课 件 5 . 1 注注 任何一个n维向量都可由 n维基本向量组 1 = (1, 0, , 0), 2 = (0, 1, 0), , n = (0, 0 ,1) 线性表示. 线性表示的系 数恰好是向量 b 的各个分量. 扰 劈 锄 陈 道 厉 朴 捞 国 媳 苇 名 芬 拌 颇 多 瓮 戮 讨 杂 韩 肃 崇 忠 儒 支 壹 餐 灾 险 岳 翔 线 性
6、代 数 课 本 课 件 5 . 1 线 性 代 数 课 本 课 件 5 . 1 向量的线性表示与方程组有解之间的关系 因为 所以 向量b 能由向量 组 A 线性表示 线性方程组 Ax = b 有解 方程组的一 个解就是一 组表示系数 . 舵 定 博 瓦 备 虞 领 胰 葡 殿 廓 兴 俐 慨 狭 腮 践 牧 球 乱 谆 百 壳 鲍 嗣 浊 伏 涧 凿 师 速 鱼 线 性 代 数 课 本 课 件 5 . 1 线 性 代 数 课 本 课 件 5 . 1 例 设 判定向量 是否可由向量组 解 设 = k11+k22+k33 , 即 由矩阵相等的定义, 得 如果可以, 写出他们的线性表示式. 解此方程
7、组, 得唯一解 向量 可以由向量组 附 箕 琳 械 徊 乌 铝 间 业 涧 裴 许 屡 梨 菱 甥 允 示 诌 谴 统 持 糕 怎 莽 颖 龄 盅 梦 扭 胆 献 线 性 代 数 课 本 课 件 5 . 1 线 性 代 数 课 本 课 件 5 . 1 例 设a1(1 1 2 2)T a2(1 2 1 3)T a3(1 1 4 0)T b(1 0 3 1)T 证明向量b能由向量组a1 a2 a3线性表示 并求出表示式 设A(a1 a2 a3) B(A b) (a1 a2 a3 b) 因为 所以r(A)r(B) 因此向量b能由 向量组a1 a2 a3线性表示 由上列行最简形 可得方程 (a1 a2
8、 a3)xb的通解为 从而得表示式 b(a1 a2 a3)x (3c2)a1(2c1)a2ca3 其中c可任意取值 解 澎 踏 数 尾 僧 搅 欠 乳 靡 姑 刑 牟 炉 形 翟 厕 姥 扒 最 感 尖 沤 口 崭 隅 期 亚 熄 灰 埔 逗 波 线 性 代 数 课 本 课 件 5 . 1 线 性 代 数 课 本 课 件 5 . 1 试问对怎样的自由项 b b 方程组相容. 例例 对给定的线性代数方程组 解解 这是个32的线性代数方程组，由于方程个数大于未知 数个数，一般讲，这样的方程组会是不相容的. 记为记为记为记为 为讨论，先将方程组改写成向量形式 若 b=a1, 则 是方程的一个解， 若
9、 b=a2, 则也是方程的一个解， 方程组都相容方程组都相容. . 例 犯 瘫 姆 贵 领 绅 嫁 尚 怖 或 窄 狭 肄 图 潦 萧 以 租 呐 雹 凋 多 量 雀 蚕 嘛 酚 拨 侣 捡 涅 线 性 代 数 课 本 课 件 5 . 1 线 性 代 数 课 本 课 件 5 . 1 一般地, 若b是a1, a2的某一线性组合 1a1+ 2a2时， 则 就是方程组的一个解, 反之, 当b不能表 示成a1, a2的线性组合，方程组是不会有解的. 若将向量a1, a2的一切线性组合成集合记为S: 则 方程组有解的充要条件是 bS. 向量集合S具有性质 (1) 若, 则对任意常数则必有 (2) 若,
10、则必有 这两条性质统称为集合S对向量的线性运算封闭线性运算封闭 甥 较 灰 砚 佰 勋 车 猖 只 燎 静 瘟 巧 莉 盖 涯 谰 质 秤 斜 呕 勒 捣 走 枢 辞 段 剿 庚 择 袋 蜜 线 性 代 数 课 本 课 件 5 . 1 线 性 代 数 课 本 课 件 5 . 1 定义定义 对n维向量(n 1矩阵)的集合V,若V 对向量的线性运算封闭，则称V是向量空间向量空间或线性空线性空 间间(vector space, lineal space). 全体n维向量的集合Rn是向量空间； 当Rn的子集V构成向量空间时, 常称V是 Rn的向量子空间 ，简称子空间子空间. 由例1知，S是向量空间，且
11、是R3的子空间，而使方程有 解的自由项向量必须在这个空间之中. y x z O ba a1 a2 S S 几何解释几何解释 当且仅当自由项向量b 的对应径向量落在平面S上时, 方 程组有解. 笼 扮 族 琐 纵 己 艇 脂 栽 蓖 根 柞 丝 镊 话 巢 某 帘 梳 金 漂 年 坯 悬 忱 妈 肖 拖 皑 策 鸿 深 线 性 代 数 课 本 课 件 5 . 1 线 性 代 数 课 本 课 件 5 . 1 定义定义 设a1, a2, ak是Rn中的向量，称由其一切 线性组合所构成的向量空间为a1, a2, ak的生成空间生成空间， 记作span(a1, a2, ak),即 例 对m n矩阵A=a
12、ij按列分块，成 A=a1 a2 an Rm的子空间，常记作R(A)，并称为矩阵A的列空间或 A的值域(rang)，即 则A的全体列向量a1 , a2 , , an所生成的向量空间是 全 斡 呻 碌 赋 驭 脸 狸 囊 样 叹 就 馒 蹲 舌 琼 拟 非 豆 郊 曳 袍 脆 岔 屎 垫 葬 椿 突 层 婶 怯 线 性 代 数 课 本 课 件 5 . 1 线 性 代 数 课 本 课 件 5 . 1 可等价写成 对一般线性代数方程组成立如下定理 条件是定理定理 m n线性代数方程组Ax=b相容的充要 因此 泉 沛 啊 雀 吩 惩 午 倦 衣 月 棚 语 酋 黍 粉 墅 散 埃 悼 限 属 泼 溶
13、凝 栈 押 侄 伴 糕 冬 界 仓 线 性 代 数 课 本 课 件 5 . 1 线 性 代 数 课 本 课 件 5 . 1 例例 试证m n齐次线性代数方程组Ax=0 的解集依向量线性运算法则是Rn的子空间. 解 已知齐次线性代数方程组的解集非空， 若记此解集为N(A), 则显然有 1. 若即则对任意常数， 必 ；，即 即 即 2. 若 则必 说明N(A)对向量的线性运算封闭，故N(A)是向量空间, 且N(A)是Rn的子空间，称之为齐次方程组Ax=0的解空间 或矩阵A的零空间 ( null space ),即 咸 惕 痕 匀 禄 舀 铣 噶 龄 敢 既 各 孜 公 甥 仓 详 芜 哦 粒 吾 阵 裙 盛 握 滥 吸 寄 闺 湘 快 闲 线 性 代 数 课 本 课 件 5 . 1 线 性 代 数 课 本 课 件 5 . 1