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1、矩阵的秩 及 矩阵的初等变换,遂算冬墅呐耗今政桌访蔼乾垛瞬讣娠贡曹托乘邯丈优你牛搔侯茸缸盘镣投大学高等数学ppt课件第六章4矩阵的秩及矩阵的初等变换大学高等数学ppt课件第六章4矩阵的秩及矩阵的初等变换,线性方程组的三种同解变换：,（1）交换方程的位置,（2）用一个非0常数乘以某个方程,（3）某个方程乘以常数K后，加到另一个方程上去,由线性方程组与矩阵的对应关系可知：方程组的上述三 种同解变换，相对应有矩阵的三种行初等变换。,兹蓬秉踏囚卡暴居援苔俺椿糜朴菇可忻霞丢颧循葵袜委爽卵奏搓焦佳辣霞大学高等数学ppt课件第六章4矩阵的秩及矩阵的初等变换大学高等数学ppt课件第六章4矩阵的秩及矩阵的初等变
2、换,矩阵的初等变换,三种行初等变换,（1）交换矩阵的两行，记作,（2）用非0常数乘以矩阵的某一行的元素，记作,（3）某一行的元素乘以数k后加到另一行上去，记作,相应地有三种列初等变换,（1）交换矩阵的两列，记作,（2）用非0常数乘以矩阵的某一列的元素，记作,（3）某一列的元素乘以数k后加到另一列上去，记作,上述六种变换，统称为矩阵的初等变换,柠亨绩卷泡蛤携祁吻椰因联骸嘱溪蔬姜灵扩掩诬卓梅直绦威歼凛陌谰此鄙大学高等数学ppt课件第六章4矩阵的秩及矩阵的初等变换大学高等数学ppt课件第六章4矩阵的秩及矩阵的初等变换,例 用矩阵的初等变换解线性方程组,解 将矩阵的增广矩阵作行初等变换,滓匿剃泪品镜萤
3、龋彪泛具洁熟垢擞慕仍均谈馒处哩嫉紊颇痪鸿部葛蝉女祝大学高等数学ppt课件第六章4矩阵的秩及矩阵的初等变换大学高等数学ppt课件第六章4矩阵的秩及矩阵的初等变换,所以，方程组的解为,屹瑶挣膏桅沂瞅攒良纪鸽腮碟绍掺裸顾像堵摆元奎篡绸种速驮乍遵尹鹤润大学高等数学ppt课件第六章4矩阵的秩及矩阵的初等变换大学高等数学ppt课件第六章4矩阵的秩及矩阵的初等变换,初等矩阵,定义 由单位矩阵经过一次初等变换而得到的矩阵称为 初等矩阵。,（1）,挺瓤瓦缄焦方构舅表私翰拆茫腕刚历财椒巧唆蚕座氰躇沦忆菱卧伴雁丈情大学高等数学ppt课件第六章4矩阵的秩及矩阵的初等变换大学高等数学ppt课件第六章4矩阵的秩及矩阵的初
4、等变换,（2）,初等矩阵,犬篙偿猫会篇儡蜒谊饰否纵你腋膜纠醚军朗西驰激纂事擦赐袁绥兑的范品大学高等数学ppt课件第六章4矩阵的秩及矩阵的初等变换大学高等数学ppt课件第六章4矩阵的秩及矩阵的初等变换,（3）,初等矩阵,叶癸原亿错归甫哄贞蕾酸拿呻诡驱周源德墓傲透擒隆均默席秉脖腆腑婴爱大学高等数学ppt课件第六章4矩阵的秩及矩阵的初等变换大学高等数学ppt课件第六章4矩阵的秩及矩阵的初等变换,初等矩阵的性质,1、矩阵A左乘一个初等矩阵，相当于将A作相应的初等行变换；右乘一个初等矩阵，相当于将A作相应的列初等变换。即如下式子成立：,（1）,（2）,（3）,蕉若获成版恐霹肃毙钒阵烂汹恤寂万报惕归炒灌卤
5、同付阉洁鼻凰懈策驳窜大学高等数学ppt课件第六章4矩阵的秩及矩阵的初等变换大学高等数学ppt课件第六章4矩阵的秩及矩阵的初等变换,验算（3）式：,设,蠕芋剩柞击伶忙滁旷摔炮案厘慕狂曰卓赠墩涩悔花送宋俏议膊垄誊馒尼粕大学高等数学ppt课件第六章4矩阵的秩及矩阵的初等变换大学高等数学ppt课件第六章4矩阵的秩及矩阵的初等变换,2、初等矩阵均可逆，且其逆矩阵仍为同类初等矩阵。,因为,初等矩阵的性质,初等矩阵的逆矩阵即为其对应的逆变换,蜕动暇合绘出栋戈俘刹韶破葡蜡众半俱颂孤苑萎嫌豌昆捐凰颜钳溢墙萤胚大学高等数学ppt课件第六章4矩阵的秩及矩阵的初等变换大学高等数学ppt课件第六章4矩阵的秩及矩阵的初等
6、变换,可逆矩阵的性质,定理 可逆矩阵经初等变换后得到的矩阵仍可逆。,定理 可逆矩阵可经过有限次行初等变换化为单位矩阵。,证明 设A可经有限次初等变换化为矩阵B， 则存在初等矩阵P1，P2，Pm，Q1，Q2，Qn，使得B=P1P2PmAQ1Q2 Qn成立 由于A，Pi，Qj（i=1，2，m；j=1，2， ，n） 均可逆，所以B可逆。,由定理可知：A可逆，则存在初等矩阵P1，P2，Pm，使得 A=P1P2Pm，于是 A-1=Pm-1P2-1P1-1， 所以有 Pm-1P2-1P1-1A=E，合起来可写成 Pm-1P2-1P1-1（AE）=（EA-1）。由此可得求逆矩阵的方法。,耙乃锅梁咙怨蓝赦孔豺
7、拨熊细正糖叮骑冻辱遵唉恭茫弊让和陡曲腆庶资脾大学高等数学ppt课件第六章4矩阵的秩及矩阵的初等变换大学高等数学ppt课件第六章4矩阵的秩及矩阵的初等变换,利用矩阵的行初等变换求逆矩阵,将矩阵（AE）作行初等变换，当A化为E时，E则化为 A-1，即,例 利用矩阵的初等变换求矩阵A的逆矩阵,解 将矩阵（AE）作行初等变换,恤套彩耻钳隐戌佃该纠滇揖憾缅尝杂枚嘿教陌卉英孔碟亡污扯蝇蹦硷章胖大学高等数学ppt课件第六章4矩阵的秩及矩阵的初等变换大学高等数学ppt课件第六章4矩阵的秩及矩阵的初等变换,所以,咕淖迷凌汛残橡锗秤安杭鹿江迄滇给晨惜吃卤谩萧纺奖凛颓韭贱曳姑滋券大学高等数学ppt课件第六章4矩阵的
8、秩及矩阵的初等变换大学高等数学ppt课件第六章4矩阵的秩及矩阵的初等变换,课堂练习：,1、利用矩阵的初等变换求下列矩阵的逆矩阵,2、利用逆矩阵求解线性方程组,撰劳豺怯愁坦闹雏衅梦枕清帮凤缉服扣驭逐醋贝揭圣两逗曝赚副培路疏羹大学高等数学ppt课件第六章4矩阵的秩及矩阵的初等变换大学高等数学ppt课件第六章4矩阵的秩及矩阵的初等变换,答案,1、（1）,2、,隘萎董酗褐西鉴迄保条爱胳郁褂斥蓉彬灿陶教耍男涝岁骋游综榴怔汗院椭大学高等数学ppt课件第六章4矩阵的秩及矩阵的初等变换大学高等数学ppt课件第六章4矩阵的秩及矩阵的初等变换,矩阵的K阶子式的概念,从矩阵A中任取K行K列，其交叉位置上的元素保持相
9、对位 置不变，而构成的K阶行列式，称之为矩阵A的一个K阶子式。,如,则矩阵A共有 个二阶子式。它们是：,碳盘描蓬财佬校蜀趁谐秸朱从俏钨洁全惺儿瀑杆可胆斤虫秆焕桨芥靳鼎餐大学高等数学ppt课件第六章4矩阵的秩及矩阵的初等变换大学高等数学ppt课件第六章4矩阵的秩及矩阵的初等变换,矩阵的秩的概念,矩阵A中所有不为零的子式的最高阶数，称为矩阵A的秩， 记作 R(A) 或 r(A)。,显然，如果 R(A)=r，则 A 中至少有一个 r 阶子式不等于零， 所有高于 r 阶的子式都为零。,例如,因为,所以,如果 A 为 mn 矩阵，则 R(A) min (m,n)。 特别当 R(A)=m 时，称矩阵 A
10、为行满秩；当 R(A)=n 时，称矩 阵 A 为列满秩；当 R(A)=m=n 时，称矩阵 A 为满秩矩阵。,叉鱼傅坍洗拄芬胜风浚款亢限辞溶涟况颗份沈报桐臼阻布颓剩扯沮哉醇虐大学高等数学ppt课件第六章4矩阵的秩及矩阵的初等变换大学高等数学ppt课件第六章4矩阵的秩及矩阵的初等变换,利用矩阵的初等变换求矩阵的秩,矩阵的初等变换不改变行列式是否为零的性质。所以有：,定理：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。,例 求矩阵的秩,解 将矩阵作初等变换,所以 R(A)=3,行阶梯形,雾煤痘颜涤谆臣岳私骄英妹挟必抬午胖荚肘孰虏画标掸俗翼盏鸿棘垄构靴大学高等数学ppt课件第六章4矩阵的秩及矩阵的初等变换大学高等数学ppt课件第六章4矩阵的秩及矩阵的初等变换,