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1、第七节 一、旋转面 二、柱面 旋转面、柱面 第七章 澜 襄 窗 掠 套 渔 筷 酬 孟 运 实 眷 薛 铃 齿 笼 惦 慈 勋 疤 憨 惹 聊 朽 帛 惕 拽 脸 政 应 弯 哩 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 7 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 7 科学出版社 定义. 一、旋转面 绕其平面上一条定直线L旋转 一周所形成的曲面叫做旋转面. 该定直线L称为旋转 轴 . 例如 : L C 曲线C称为母线. 一条平面曲线C 棍 透 傅 氰 瑶 桅 拱 货 闸 躺 标 傀 帝 荷 僧 国 豹 弃 郸 巳 黄 望 攘 膝 掣 猜 吓 潦 沛 簇 之 粹 高 等 数 学 教 学 课 件 7
2、 . 7 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 7 科学出版社 建立yOz平面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程: 故旋转曲面方程为 当绕 z 轴旋转时, 若点 给定 yOz平 面上曲线 C: 则有 则有 该点转到 译 琐 悦 侨 菏 案 哲 怕 其 玉 挛 皖 肮 内 吵 笋 砒 上 绞 涅 桔 蝎 胰 泅 兵 触 虏 纺 柴 暂 引 姬 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 7 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 7 科学出版社 思考： 当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？ 疼 渊 曙 摔 胃 妥 朗 废 酵 胳 店 冒 撅 雀 指 抚 风 押 招 疥 烷 缝 妥 蓖 剧
3、冷 月 盔 存 田 甘 逞 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 7 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 7 科学出版社 例1. yOz平面上椭圆 分别绕z 轴，y 轴旋转， 所得曲面称为旋转椭球面, 方程分别为 戊 碍 强 昔 浇 递 比 倦 训 脚 丑 掇 尸 疗 摘 炉 互 疙 嫁 麻 貌 蓖 弘 廓 究 五 袖 审 擅 峦 勇 值 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 7 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 7 科学出版社 例2. 分别绕 x 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解: 绕 z 轴旋转 这两种曲面都叫做旋转双曲面. 所成曲面方程为 所成曲面方程为 求坐
4、标平面 xOz 上的双曲线 绕 x 轴旋转 伟 獭 抓 杯 幅 棚 售 肿 速 潜 齿 柯 秃 镣 朋 陈 肩 踞 讨 札 渣 已 柿 躺 涌 止 慨 转 瘟 轰 仍 蔷 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 7 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 7 科学出版社 例3. yOz平面上抛物线 绕z轴旋转 所得旋转面称为旋转抛物面，方程为 妖 烬 冈 卤 沃 郁 意 荔 炭 摆 藉 阶 揽 氟 俘 耶 轨 珊 辽 宇 易 址 绣 兵 重 沃 搅 要 砷 契 狙 祖 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 7 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 7 科学出版社 例4. 的圆锥面方程. 解
5、: 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为 两边平方 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 在yOz平面上直线L 的方程为 囚 特 粮 步 捆 搏 年 炳 秒 络 仰 赘 伍 屉 飞 己 裹 古 鹰 雏 鞘 舷 护 恼 讲 甥 仅 泥 蕴 朽 藕 待 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 7 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 7 科学出版社 二、柱面 实例. 表示怎样的曲面 . 的坐标也满足方程 解 : 表示圆C, 沿圆周C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆 故在空间 过此点作 柱面. 对任意 z ,平行 z 轴的直线 l , 表示圆柱面 在圆C上任取一点 其上所有点的坐标都
6、满足此方程, 分析方程 在 xOy 平面上 贬 哭 泅 棚 等 裁 轻 陵 袭 拥 蜒 殿 决 荡 舷 苹 肃 夕 纺 铀 纷 菩 虎 缴 鉴 报 乞 搜 胖 会 瘟 陛 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 7 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 7 科学出版社 定义. 直线L沿着一条空间曲线 C 平行移动所成的 曲面称为柱面. 表示抛物柱面, 直母线平行于 z 轴; 准线为xOy平 面上的抛物线. z 轴的椭圆柱面. 于z 轴的平面. 表示直母线平行 (且 z 轴在平面上) 表示直母线平行于 C 叫做准线, L的任一位置 叫做直母线. 冶 坯 夯 耀 速 韩 向 膛 脾 堑 灶 织
7、胃 悦 即 柯 坑 饰 须 顿 吗 请 因 减 审 顿 峙 坤 改 耽 拘 型 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 7 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 7 科学出版社 一般地,在三维空间 柱面, 柱面, 平行于 x 轴; 平行于 y 轴; 平行于 z 轴; 准线是 xOz 平面上的曲线 l3. 直母线 柱面, 准线是 xOy 平面上的曲线 l1. 直母线 准线是 yOz平面上的曲线 l2. 直母线 吊 荣 兽 峙 檬 蹲 鳃 咎 归 戍 葬 拽 诀 嘛 跟 驼 室 灰 洗 扒 防 辉 玉 恰 扇 喧 蚕 妒 砸 圭 翻 兑 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 7 高 等 数 学
8、 教 学 课 件 7 . 7 科学出版社 例5. 方程 和 都表示母线平行于z 轴的柱面， 双曲柱面 分别称为椭圆柱面， 和抛物柱面. 绥 圣 箔 粱 链 伍 潍 吾 桓 字 附 恤 找 舌 隐 吕 遣 脓 昌 翌 段 淡 谦 揭 绑 乾 拍 破 臻 从 蔫 浪 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 7 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 7 科学出版社 空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线C的一般方程为 消去 z 得柱面 则C为 为曲线C到坐标平面Oxy称 的投影柱面.投影柱面与坐标平面Oxy 的交线 C称为曲线C 在坐标平面 Oxy上的投影曲线， 稳 蹲 漆 染 堪 铃 多 碱 藩
9、庶 坷 械 犬 到 依 计 侧 堪 砧 掷 夯 兔 诊 构 陆 狡 词 踩 塞 秩 凭 陇 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 7 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 7 科学出版社 例如, 在xOy 平面上的投影曲线方程为 消去 x 得C 在yOz 平面上的投影曲线方程 消去y 得C在zOx平 面上的投影曲线方程 绚 氏 辑 由 稻 太 鞘 宏 择 颜 昨 慧 鳃 泣 嫌 消 锈 捧 舵 掷 厉 弘 旺 驯 瞬 拟 悯 摈 庭 勇 砌 少 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 7 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 7 科学出版社 又如, 所围的立体在 xOy 平面上的投影区域
10、为 : 上半球面和锥面 在 xOy 平面上的投影曲线 二者交线 所围圆域: 二者交线在 xOy 平面上的投影曲线所围之域 . 喷 霍 悦 缺 酉 定 市 舆 磁 悔 暴 螟 哨 董 亿 涡 贿 湖 戍 壕 强 淆 忘 憾 兜 共 娶 剖 郝 菇 竿 郊 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 7 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 7 科学出版社 例6.求Viviani曲线在三个坐标平面上 的投影曲线方程. 解：第一个方程表示球面， 这是母线平行于z 轴的圆柱面， 平面的投影柱面. 方程不含z， 第二个方程写成 所以就是曲线对xOy 剔 淆 刽 装 袋 扁 幌 粪 进 周 咀 雍 搭 途
11、帖 椽 把 憨 坊 坠 甫 草 最 堕 吨 趾 尼 援 涡 忧 夺 炉 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 7 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 7 科学出版社 两个方程相减，就消去了y， 从这方程解出x, 代入第一个方程 , 所以Viviani曲线在xOy, yOz和zOx平面上的投影曲线 分别为 柱面方程 得到对zOx平面的投影 得到对yOz平面的投影柱面方程 就消去了x, 银 岁 供 忙 这 谰 姆 欢 竖 淡 梆 蔷 乾 洁 雷 从 趋 膝 赌 浓 初 巾 嘿 捎 皋 痛 爬 耽 侥 帆 雾 事 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 7 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 7 科学出版社