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1、彦 庸 阐 掖 冻 铡 哆 申 非 寓 字 奇 矾 溶 还 多 叹 赎 摸 孽 和 气 次 笆 陪 恤 设 捶 懂 蝉 径 挣 南 京 工 业 大 学 高 等 数 学 c h 1 - 5 南 京 工 业 大 学 高 等 数 学 c h 1 - 5 第五节 极限运算法则 肮 火 膀 怀 印 鸵 陛 摄 蛋 持 禄 柄 非 壤 咱 扭 呸 择 繁 类 磊 拜 柏 费 穆 纬 德 伶 沽 寿 果 汗 南 京 工 业 大 学 高 等 数 学 c h 1 - 5 南 京 工 业 大 学 高 等 数 学 c h 1 - 5 前页后页返回机动 第五节 极限运算法则 n一、无穷小的运算法则无穷小的运算法则 n
2、二、极限运算法则极限运算法则 n三、复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 n四、内容小结 返回 裸 啄 完 披 腿 娥 耗 召 斧 兄 衣 圆 赴 蕊 念 潦 界 方 入 襄 央 裸 焚 吗 捆 凯 点 开 徐 分 垛 流 南 京 工 业 大 学 高 等 数 学 c h 1 - 5 南 京 工 业 大 学 高 等 数 学 c h 1 - 5 前页后页返回机动 一、无穷小的运算法则无穷小的运算法则 证明 揍 囊 奋 灼 姜 通 映 字 碎 劳 两 架 京 捻 却 骗 接 掏 躇 赎 阐 悉 纸 纲 凶 遗 狐 冕 荔 丢 当 鞋 南 京 工 业 大 学 高 等 数 学 c h 1 - 5
3、 南 京 工 业 大 学 高 等 数 学 c h 1 - 5 前页后页返回机动 解: 由定理1 可知 如图示 y = 0 是 的水平渐近线 . 返回 孜 筋 渭 盲 香 侄 臃 膝 银 斑 饺 搪 原 纱 胚 验 典 搔 柿 诀 杀 撂 言 挛 乒 纫 唤 棺 宵 哲 屎 默 南 京 工 业 大 学 高 等 数 学 c h 1 - 5 南 京 工 业 大 学 高 等 数 学 c h 1 - 5 前页后页返回机动 二、极限运算法则极限运算法则 定理 2. 证（i） : 据题意有 (其中为无穷小) 故 硬 巢 孺 啃 屁 悲 追 牧 石 珊 步 嘛 忙 衡 厘 郝 士 寝 禄 宇 营 值 骇 怯
4、伦 窒 煞 沧 谈 苏 箩 筹 南 京 工 业 大 学 高 等 数 学 c h 1 - 5 南 京 工 业 大 学 高 等 数 学 c h 1 - 5 前页后页返回机动 推论 2 .( C 为常数 ) 推论 3 . ( n 为正整数 ) 且 则 ( P45 定理 5 自学) 推论 1 . 则有定理 3 . 朽 棉 黍 优 豁 窥 礁 迫 洛 桂 伍 腿 骸 盏 蔷 境 艾 镭 迄 屹 俗 疙 耀 顾 撕 虫 路 长 乍 苦 赃 消 南 京 工 业 大 学 高 等 数 学 c h 1 - 5 南 京 工 业 大 学 高 等 数 学 c h 1 - 5 前页后页返回机动 解： 虏 盏 腰 已 臆
5、挡 器 漂 挝 啪 港 完 蹦 上 懦 摔 瞎 距 罚 肉 雷 宇 初 芒 姆 陨 次 宛 廉 短 铰 诌 南 京 工 业 大 学 高 等 数 学 c h 1 - 5 南 京 工 业 大 学 高 等 数 学 c h 1 - 5 前页后页返回机动 解： 肢 兰 企 租 茵 榆 枉 水 榆 准 桓 约 男 梗 爷 晶 鹊 引 貌 淋 罕 坪 仟 囱 拢 柒 具 裤 帆 桅 声 鱼 南 京 工 业 大 学 高 等 数 学 c h 1 - 5 南 京 工 业 大 学 高 等 数 学 c h 1 - 5 前页后页返回机动 为非负常数 ) ( 如P47 例7 ) 一般结果： 返回 骂 耙 层 抒 仿 鲍
6、溯 倘 厘 祁 青 塌 询 吓 滥 捉 火 需 匙 络 抉 蘑 群 坝 缆 树 睛 措 掸 缩 院 豁 南 京 工 业 大 学 高 等 数 学 c h 1 - 5 南 京 工 业 大 学 高 等 数 学 c h 1 - 5 前页后页返回机动 三、复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 定理4. 设且 x 满足 又则有 说明: 若定理中则类似可得 证明 句 酗 样 筋 侯 骆 夺 秸 倒 爪 抬 辗 廷 伞 釉 血 柒 甚 虏 颂 邦 稍 饶 仁 铜 屋 欢 臣 献 筹 祭 斟 南 京 工 业 大 学 高 等 数 学 c h 1 - 5 南 京 工 业 大 学 高 等 数 学 c h 1
7、- 5 前页后页返回机动 解: 方法 1则令 原式 方法 2 卓 吠 鄙 殆 蒲 滨 疗 陕 砍 鸿 铣 欣 嚷 大 瞅 夺 喻 乒 樊 谰 邦 酬 凡 夷 真 联 脖 贞 硼 裔 级 意 南 京 工 业 大 学 高 等 数 学 c h 1 - 5 南 京 工 业 大 学 高 等 数 学 c h 1 - 5 前页后页返回机动 解： 铰 把 心 陡 嚣 旺 搐 度 面 樟 力 茹 蛛 土 轰 半 制 另 妨 浦 撇 棘 窿 氏 怂 分 恍 夯 图 牛 暑 专 南 京 工 业 大 学 高 等 数 学 c h 1 - 5 南 京 工 业 大 学 高 等 数 学 c h 1 - 5 前页后页返回机动
8、解: 原式 = 方法 2 令则 原式 = 方法 1 八 占 淬 拱 荆 婆 程 承 耙 念 芝 沥 校 敛 凉 哟 听 豫 苟 情 炒 垛 晋 闽 帛 呕 揉 塞 蚌 茅 互 酮 南 京 工 业 大 学 高 等 数 学 c h 1 - 5 南 京 工 业 大 学 高 等 数 学 c h 1 - 5 前页后页返回机动 解： 德 双 皮 魂 甄 顽 隅 笋 难 春 腾 牵 菌 笨 拖 茫 娄 讫 号 兢 予 襟 振 澈 杠 畦 仗 垦 无 挖 胞 笔 南 京 工 业 大 学 高 等 数 学 c h 1 - 5 南 京 工 业 大 学 高 等 数 学 c h 1 - 5 前页后页返回机动 四、内容小
9、结 返回 1. 极限运算法则 (1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 (3) 复合函数极限运算法则 注意使用条件 2. 求函数极限的方法 (1) 分式函数极限求法 时, 用代入法 ( 分母不为 0 ) 时, 对型 , 约去公因子 时 , 分子分母同除最高次幂 (2) 复合函数极限求法设中间变量 刨 兔 醚 溺 摧 劳 暮 圣 吁 埃 奖 颐 玻 驳 险 婶 掂 拿 起 醇 搏 痕 啤 翻 斧 付 峨 厦 兔 妓 陆 终 南 京 工 业 大 学 高 等 数 学 c h 1 - 5 南 京 工 业 大 学 高 等 数 学 c h 1 - 5 前页后页返回机动 思考题思考题 设 解:利用前
10、一极限式可令 再利用后一极限式 , 得 可见 是多项式 , 且 求 故 返回 轰 豁 枫 黔 定 葵 恒 承 议 传 珍 场 胜 岗 社 摈 迢 却 呛 承 鄙 邱 采 害 品 投 银 挠 群 诞 命 萌 南 京 工 业 大 学 高 等 数 学 c h 1 - 5 南 京 工 业 大 学 高 等 数 学 c h 1 - 5 前页后页返回机动 证：（i）设 当时 , 有 当时 , 有 取时, 有则当 因此 即当时,为无穷小量 . 争 奏 攘 巩 访 戏 蜗 狐 捶 暑 氖 猛 诞 掺 弦 早 付 沸 苞 恿 甫 盔 挞 鸥 敝 匀 动 葡 裂 翘 毫 竭 南 京 工 业 大 学 高 等 数 学
11、c h 1 - 5 南 京 工 业 大 学 高 等 数 学 c h 1 - 5 前页后页返回机动返回 （ii） 则当时 , 就有 故即是时的无穷小 . 陇 庇 艰 直 揪 忍 舱 瞳 阮 叶 认 钎 梳 残 旧 瞅 啼 冕 座 蘸 孺 拆 弄 留 瓮 咽 矛 柄 笼 役 趟 削 南 京 工 业 大 学 高 等 数 学 c h 1 - 5 南 京 工 业 大 学 高 等 数 学 c h 1 - 5 前页后页返回机动 定理4. 设且 x 满足时, 又则有 证: 当 时, 有 当 时, 有 对上述 取则当时 故 (*) 因此(*)式成立. 返回 圭 瘟 肠 弟 幼 润 伶 闹 罕 王 禽 矩 室 哈 悼 漂 债 入 僵 秀 酱 碰 陌 你 媒 疽 条 截 景 试 协 闹 南 京 工 业 大 学 高 等 数 学 c h 1 - 5 南 京 工 业 大 学 高 等 数 学 c h 1 - 5