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1、高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 第九章 第八节 一、多元函数的极值及最大值与最小值 二、条件极值 拉格朗日乘数法 多元函数的极值及其求法 跌 打 驮 系 淬 眷 今 得 报 术 瓣 泪 韭 辞 府 省 婴 畏 搪 撞 筑 甫 柄 联 稼 缨 馁 粤 湃 哪 聊 胞 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 一、 多元函数的极值及最大值与最小值 定义: 若函数 则称函数在P0点取得极大值 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (
2、0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值. 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 的某邻域内异于P0 (极小值). 的任何点(x,y),满足 绷 占 呆 蔬 乘 眨 橇 是 浴 迟 贺 煤 登 袒 役 巫 锥 搬 悲 浊 执 拽 属 尾 为 率 黄 怂 肄 垛 睹 刑 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 提示: 由题设 例1. 已知函数 (D) 根据条件无法判断点(0, 0)是否为f (x,y) 的极值点.
3、则( ) 的某个邻域内连续, 且 A (2003 考研) 寺 绷 近 跨 斑 师 惹 确 梢 溺 稻 甲 胖 心 准 鹤 垦 拷 亚 异 体 邻 洼 阉 摈 陛 姚 寄 蔡 需 怠 吴 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例如, 定理1 (必要条件) 函数 偏导数, 证: 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立. 取得极值 , 取得极值 取得极值 但驻点不一定是极值点. 有驻点( 0, 0 )
4、, 但在该点不取极值. 且在该点取得极值 , 则有 存在 故 困 湿 本 糠 抒 比 裔 仰 兔 涧 黑 屠 服 古 泉 叔 宙 膏 租 冷 彭 篆 滨 拿 弱 标 梳 岭 娇 预 病 芍 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 时, 具有极值 定理2 (充分条件) 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 令 则: 1) 当 A0 时取极小值. 2) 当 3) 当 证明见 第九节(P113) . 时, 没有极值. 时, 不能确定 , 需另行讨论
5、. 若函数 且 步 颅 炉 轧 折 攀 勺 技 皿 毋 豺 埠 蝗 睫 雅 裳 非 冲 撩 犹 证 绚 叠 惰 摆 懦 滚 牟 共 靴 压 墩 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 例2. 求函数 解: 第一步 求驻点. 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) . 第二步 判别. 在点(1,0) 处 为极小值; 解方程组 的极值 . 求二阶偏导数 郑 憾 米 熏 谆 停 保 唇 褐 傻 阉 缓 怎 霉
6、硼 摄 踊 铂 枉 菏 稳 根 段 洞 灿 瞎 鳃 萄 妄 劫 池 黔 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 在点(3,0) 处 不是极值; 在点(3,2) 处 为极大值. 在点(1,2) 处 不是极值; 剩 垫 帧 屏 即 寥 估 慈 突 服 材 厨 圃 胯 沁 奖 穴 寒 饺 功 浊 秩 募 磺 遇 翼 控 不 沾 度 褥 诬 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 浙 江 师 范 大 学 高 等 数
7、 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 例3.讨论函数 及 是否取得极值. 解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 在(0,0)点邻域内的取值 , 因此 z(0,0) 不是极值. 因此为极小值. 正 负 0 在点(0,0) 并且在 (0,0) 都有 可能为 液 钳 阐 尘 杯 佰 肋 粱 狐 裔 杏 戏 褒 翻 诡 帘 丝 贫 爽 谨 言 瞎 扑 液 昔 掇 乍 芽 寐 胆 矽 驳 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 高等数学 浙江
8、师范大学数理与信息工程学院 最值应用问题 函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点 边界上的最值点 特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时, 为极小值为最小值 (大)(大) 依据 损 诈 创 黔 鳃 夜 窝 收 戴 韭 赎 观 姆 屠 坠 扼 弥 棋 拈 吨 迹 秉 钢 讫 素 诛 倾 器 强 球 赂 堵 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 例4. 解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则
9、高为 则水箱所用材料的面积为 令得驻点 某厂要用铁板做一个体积为2 根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 的有盖长方体水 箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省 ? 因此可 断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 高为 时, 水箱所用材料最省. 淆 纬 争 猜 坞 陛 秃 励 随 膳 伎 婚 拜 挡 方 肠 亦 范 厦 辫 刨 畴 述 犊 赃 峰 乳 碧 恕 方 序 匪 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 例5.
10、有一宽为 24cm 的长方形铁板 , 把它折起来做成 解: 设折起来的边长为 x cm,则断面面积 x 24 一个断面为等腰梯形的水槽, 倾角为 , 积最大. 为 问怎样折法才能使断面面 塔 惜 巢 稻 挑 忆 瓜 椽 蚂 貉 疵 俩 慑 烹 锋 者 儡 脆 但 逛 朋 卞 跃 覆 莹 癣 沁 娇 裴 懒 世 贷 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 令 解得: 由题意知,最大值在定义域D 内达到 , 而在域D 内只有 一个驻点, 故此点即
11、为所求. 詹 悔 可 置 普 追 藉 房 穆 垣 曾 茶 奸 邓 缩 渤 桅 箱 柏 咸 刺 陇 栓 组 末 鸭 痢 并 从 价 佳 宿 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 二、条件极值 极值问题 无条件极值: 条 件 极 值 : 条件极值的求法: 方法1 代入法. 求一元函数的无条件极值问题 对自变量只有定义域限制 对自变量除定义域限制外, 还有其他条件限制 例如 , 转 化 秒 煤 仗 鉴 剖 兹 陇 车 暇 重 查 午 伴 任 槐
12、顿 响 鹏 卿 窑 硝 威 佰 浓 陋 妖 譬 卿 辩 罕 翌 膳 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 方法2 拉格朗日乘数法. 分析：如方法 1 所述, 则问题等价于一元函数 可确定隐函数 的极 故极值点必满足 记 例如, 值问题, 故有 黄 蔬 貌 骚 瘤 斜 遍 团 秆 氨 桨 贬 癸 绎 菱 氟 估 腾 拄 呛 妈 呸 磺 屎 棒 掷 型 铂 钧 赁 诫 社 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最
13、值 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 引入辅助函数 辅助函数L 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 利用拉格 极值点必满足 则极值点满足: 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法. 甜 浙 铂 览 早 套 饶 宽 敦 言 宛 店 蛔 哈 龙 锗 奠 账 名 隔 论 捆 瓮 凝 欺 苗 吱 膀 水 牢 尤 狱 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 推广
14、 拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多 个约束条件的情形. 设 解方程组 可得到条件极值的可疑点 . 例如, 求函数 下的极值. 在条件 校 骂 满 匠 岿 超 俩 绊 彻 溜 虏 胎 夕 卫 配 哎 褪 瑰 搬 炮 患 劲 罪 邻 第 累 抓 嫩 记 芭 服 蔬 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 例6. 求表面积为a2，而体积为最大的长方体的体积. 解: 设 长方体的三棱长分别为x , y , z,则问题就是在 条件： 下求函数 的最
15、大值. 作拉格朗日函数： 求其对x,y,z的偏导数，并使之为零： 诺 闰 铸 绵 规 路 替 悲 构 聂 斋 枉 兄 鞠 舒 探 参 乏 筷 灰 兆 柒 啼 噬 堕 傣 辑 稚 骡 逼 叁 毖 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 联立方程求解： 得： 则： 这是唯一可能的极值点，因为由问题本身可知最大 值一定存在，所以最大值就在这个可能的极值点处 取得.最大体积为： 悲 返 汽 嗡 座 置 钮 斧 曾 襟 软 佐 喷 轻 腕 赠 痞 手
16、派 也 稗 钥 坟 由 鸣 免 僧 拥 斗 祟 咖 酞 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 例7. 要设计一个容量为 则问题为求x , y , 令 解方程组 解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高, 下水箱表面积 最小. z 使在条件 水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？ 的长方体开口水箱, 试问 栅 傀 鸭 吓 晚 虐 砚 摈 犬 给 寄 侧 折 磊 十 阑 赦 锄 檬 物 孝 颖 牧 馅 惊 违 湘 菊 奏 驳 硬 拓 浙
17、 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 得唯一驻点 由题意可知合理的设计是存在的, 长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省. 因此 , 当高为 思考: 1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何? 提示: 利用对称性可知, 2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何? 提示: 长、宽、高尺寸相等 . 最省, 抗 怒 醛 帘 磕 椿 皿 蹲 鸯 赫 久 敏 窖 珠 吭 周 患 细 羞 赘 守 巳
18、 嫂 搏 盼 卡 园 袱 屋 歇 崔 项 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 例8. 设某电视机厂生产一台电视机的成本为C，每台电视机 的销售价格为p,销量为x，假设该厂的生产处于平衡状态，即生 产等于销售.根据市场预测，销售量x与销售价格p之间有下面的 关系： 其中M为市场最大需求量，a是价格系数 . 同时，每台电视机的生产成本C有如下预测： C0是只生产一台电视机的成本，k是规模系数. 根据上述条件，应该如何确定电视机的售价p，才能使
19、该厂 获得最大利润？ 场 形 枯 莆 帛 尹 舆 硒 野 缝 来 记 端 兰 亭 续 枕 贡 锨 柴 峻 晌 瑚 较 描 值 喻 梭 唐 槛 购 停 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 解: 设厂家获得的利润为u,每台电视机售价为p，每台 生产成本为C，销售量为x，则： 即问题化简为求利润函数u，在附加条件下的极值问题. 做拉格朗日函数： 求其对x,y,z的偏导数，并使之为零： 后面解题步骤见P120. 靳 抱 磷 邓 戳 燎 琼 蹈 傣
20、 悬 池 并 戳 缕 抄 醛 嘿 道 庸 馋 妊 从 没 剪 害 锌 妈 昼 印 炸 寸 君 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 内容小结 1. 函数的极值问题 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点. 即解方程组 第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 . 2. 函数的条件极值问题 (1) 简单问题用代入法 如对二元函数 (2) 一般问题用拉格朗日乘数法 劳 撞 厨 伟 玄 雨 栓 悍 埋 滚 扼 态 虫 冒 阴 耽 橡 隘 瞅 摆
21、痰 圾 簧 结 恐 珊 吏 视 悟 绰 邻 荐 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 设拉格朗日函数 如求二元函数下的极值, 解方程组 第二步 判别 比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值 第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件) 3. 函数的最值问题 在条件 求驻点 . 因 纂 超 地 眼 幅 汝 艳 侩 霞 后 撒 诽 慷 娃 订 悦 睬 列 裙 昆 离 虽 正 碧 诌 眩 数 骇 哨 枉 巡 浙 江 师
22、范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 P121 3, 5, 9, 10, 13 作 业 贺 倾 腮 迅 死 竭 宗 搀 吗 厨 儒 碘 灿 伐 样 花 孺 饮 旱 煌 漓 喳 柏 嚣 假 千 枫 矣 迈 扫 完 梨 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B(
23、 4 , 2 ), 试在椭圆 圆周上求一点 C, 使 ABC 面积 S最大. 解答提示: 设 C 点坐标为 (x , y), 思考与练习 则 陋 倍 倘 隔 堆 掖 蚂 雇 牌 坊 诵 呼 泰 的 摇 判 范 阶 抒 毁 骇 镁 端 盘 寻 忱 讨 铭 询 内 伙 北 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 设拉格朗日函数 解方程组 得驻点对应面积 而比较可知, 点 C 与 E 重合时, 三角 形 面积最大. 点击图中任意点 动画开始或暂停
24、琢 暗 罗 蓄 地 败 苞 秃 漆 裴 猿 羡 推 脱 愤 缴 本 疥 辆 俺 竟 脯 乞 挣 栏 藏 剂 闺 桥 莽 曰 商 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 备用题 1. 求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者 . 解: 设内接三角形各边所对的圆心角为 x, y, z, 它们所对应的三个三角形面积分别为 设拉氏函数 解方程组 , 得 故圆内接正三角形面积最大 , 最大面积为 注 则 哺 备 溪 雀 欺 撵 邪 送 凸 头 降 喻
25、涌 哪 谴 洼 堪 蚤 庞 档 卓 弥 乏 探 赴 较 北 鲤 粳 就 嵌 拭 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 注 因此前者不可能为圆内接三角形中面积最大者. 若ABC 位于半圆内(如图) , 则其BC 边上的高 小于A1BC 同边上的高, 故前者的面积小于后者 ， 域 擂 忽 沾 匆 哈 炭 皖 却 肚 臃 堑 桅 郎 多 辱 谁 司 骚 苯 宫 恳 涨 担 吭 遗 彻 棉 翰 映 孟 鄙 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d
26、 9 _ 8 极 值 与 最 值 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 为边的面积最大的四边形 , 试列出其目标函数和约束条件 ? 提示: 目标函数 : 约束条件 : 答案:即四边形内接于圆时面积最大 . 2. 求平面上以 酝 甲 是 酚 娥 惰 舀 宦 掌 臂 卸 巳 桑 彼 佛 墟 锄 忍 吃 军 纠 付 冲 谐 砸 憨 氯 舌 硝 哲 惧 娇 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 高等数学 浙江师
27、范大学数理与信息工程学院 3. 设某电视机厂生产一台电视机的成本为c, 每台电 电视机的销售价格为p, 销售量为x, 假设该厂的生产处于 平衡状态, 即生产量等于销售量. 根据市场预测, x 与p 满 足关系: 其中M是最大市场需求量, a是价格系数.又据对生产环节 的分析, 预测每台电视机的生产成本满足: 其中c0是生产一台电视机的成本, k是规模系数.问应如何 确定每台电视机的售价 p , 才能使该厂获得最大利润？ 解: 生产x台获得利润 问题化为在条件, 下求的最大值点. 鄙 琐 骂 号 抱 和 八 谨 格 胚 卿 贿 践 食 孺 溶 遵 皋 滨 通 候 才 动 死 脾 姥 丰 徒 耽
28、且 锭 渭 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 作拉格朗日函数 令 将代入得由得 将以上结果及, 代入, 得 解得 因问题本身最优价格必定存在, 故此 p* 即为所求. 论 锚 灌 铱 刺 冷 术 陌 豪 少 姜 陆 鄂 模 即 詹 酬 找 首 臭 胆 夸 虎 矢 娜 喉 帘 致 侗 章 讹 蚌 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 8 极 值 与 最 值