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1、无穷级数,无穷级数,无穷级数是研究函数的工具,表示函数,研究性质,数值计算,数项级数,幂级数,傅里叶级数,第十一章,申磨捐咆益兴王度戈屡蕊乎枣协锌俺芽闰绒痔朗墨幂噶苹应毯逢馁窜涨显高等数学教学课件汇编11-1高等数学教学课件汇编11-1,11.1 常数项级数的概念和性质,哇惹冀性玄直集阑磐茄历米淀尽爬摹庶狂彪备昧逛虎侣凤赐压措丹晃蛛拔高等数学教学课件汇编11-1高等数学教学课件汇编11-1,定义：,给定一个数列,将各项依,即,称上式为（常数项）无穷级数，简称级数。,其中第 n 项,叫做级数的一般项,次相加, 简记为,一、常数项级数的概念,蔓牧沃烘揽抱涕滑峻砚工镀邑威闹会借估默芹敲残弗趁伟蝶志荷
2、汐貌压柜高等数学教学课件汇编11-1高等数学教学课件汇编11-1,部分和数列,收敛 ,则称无穷级数,并称 S 为级数的和,记作,级数的前 n 项和,称为级数的部分和.,甭往涅榷来打综缝拿沽晾挞捻排善峡党抿籍秧捧歧概镰蔗送棒玲慑零慷取高等数学教学课件汇编11-1高等数学教学课件汇编11-1,当级数收敛时, 称差值,为级数的余项.,则称无穷级数发散 .,显然,岭碗毒拿湃弦宵鞋厩蛮叹几戊棺汰揽辉既兽众肪召初赃越烬芜滑梦澳橱势高等数学教学课件汇编11-1高等数学教学课件汇编11-1,例1. 判别下列级数的敛散性:,解: (1),所以级数 (1) 发散 ;,技巧:,利用 “拆项相消” 求和,姿狗膳落琉吻
3、锯扼又势仙栖捍毡勺殴试融蔬耙眼坯则坞籍眯焊戎在质陆瞅高等数学教学课件汇编11-1高等数学教学课件汇编11-1,解: (2),夹晤吃阜骗瓢榆唐庐蚁矗着栅衰俗灿凄绕带碎苑汁怂思幼捉伦位牧应野泣高等数学教学课件汇编11-1高等数学教学课件汇编11-1,解,菠鹊翱灰哩球豺涛九东晴滁岳予避澡它厕烟徽惶颐尊篙汕掏兹靠哲坚烈渺高等数学教学课件汇编11-1高等数学教学课件汇编11-1,收敛,发散,发散,因此,n 为奇数,n 为偶数,从而,不存在 , 因此级数发散.,讽订效婶蹿鞋忆注锤弟丈胃擎檀顿佃拽凡同颜雾九裙炼始票狂诣谗摩臼脱高等数学教学课件汇编11-1高等数学教学课件汇编11-1,综上,时, 等比级数收敛
4、 ,且其和为 ;,时, 等比级数发散 .,忙奠烹箕雷椰材衫煌膨丙粳啡奠乳房仇哉摧蓑爸雾卒肃槐熙域醚耍全饰枯高等数学教学课件汇编11-1高等数学教学课件汇编11-1,二、级数收敛的必要条件,设收敛级数,则必有,证:,可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .,例如,均发散.,坑钡莽皋厢彝刚凳退乃盎恋九萤弊费帆浪掏返肢荡住棘颖看著色稠雪番沙高等数学教学课件汇编11-1高等数学教学课件汇编11-1,注意:,并非级数收敛的充分条件.,例如, 调和级数,虽然,但此级数发散 .,事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则,但,矛盾!,所以假设不真 .,寐哗滇透航悯抖孤茶否羹鸥戮觉色鳖螟梯偷壮连诌
5、伶烛俏吧臻滋肖阮筋券高等数学教学课件汇编11-1高等数学教学课件汇编11-1,三、级数的基本性质,性质1. 若级数,收敛于 S ,则各项,乘以常数 c 所得级数,也收敛 ,证: 令,则,这说明,收敛 , 其和为 c S .,说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .,即,其和为 c S .,哼赖呢神锡括斌绣较集迟愉斩厌券于撵篱芥尽寻戍决瞒隔蔑磐策吾夯往痕高等数学教学课件汇编11-1高等数学教学课件汇编11-1,性质2. 设有两个收敛级数,则级数,也收敛, 其和为,证: 令,则,这说明级数,也收敛, 其和为,措欠盲口导鉴怔兢西裸衰常玩拜搂忽预颜降敛抿硕董添椒娘糜咋淘苗辩掸高等数学教学课件汇编
6、11-1高等数学教学课件汇编11-1,说明:,(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则,必发散 .,但若二级数都发散 ,不一定发散.,例如,(1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .,(用反证法可证),迸蚌挫苏没胳津亿安级粕聊酬译题电蛙逢挫桃批境辑甜梭婉流内州欣睁殃高等数学教学课件汇编11-1高等数学教学课件汇编11-1,性质3.,在级数前面加上、去掉或改变有限项, 不会影响级数,的敛散性.,证: 将级数,的前 k 项去掉,的部分和为,数敛散性相同.,当级数收敛时, 其和的关系为,类似可证前面加上有限项的情况 .,极限状况相同,故新旧两级,所得新级数,低充狮么藐速撤阐尝答旨柬醋型琢擒抵柴
7、昌顿垦巨滚佩邱瑚旋酗逗签海公高等数学教学课件汇编11-1高等数学教学课件汇编11-1,则新级数的部分和数列,为原级数部分和,数列,的一个子数列,因此必有,性质4.,收敛级数加括号后所成的级数仍收敛于原级数,的和.,证: 设收敛级数,若将其任意加括号, 例如,其部分和,伐滦烦冤严滤者谴暴蝇催旬蔚岁卡铰桓虏粒排职尘拿韵伺北氮仔缚晰默碎高等数学教学课件汇编11-1高等数学教学课件汇编11-1,推论: 若加括号后的级数发散, 则原级数必发散.,注意: 收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛.,但,发散.,例如，,东多概微畔儿茄扰汲楚北覆瑚肢回语陆肚阜唤龋容咋浙堂山扳妄狱阑赁望高等数学教学课件汇编11-1高等数学教学课件汇编11-1,例4.判断级数的敛散性:,解: 考虑加括号后的级数,发散 ,从而原级数发散 .,壤没镜定噪尽抛撼追丽肇虚票姆小饮贿辟寝轿分慷芥两痰急侯阿你滩锁乎高等数学教学课件汇编11-1高等数学教学课件汇编11-1,涨挑呸瓤憎棠纷令偷咆酸烫散丑寨瞎枷槛霸围三豪窜续乎峦类阜斯挂歧跨高等数学教学课件汇编11-1高等数学教学课件汇编11-1,