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1、结构动力学 多自由度体系的自由振动 在工程实际中，很多问题可以简化成单自由度体系进行 计算，但是也有一些问题不能这样处理。例如多层房屋的侧 向振动、不等高排架的振动等都要当成多自由度体系进行计 算。按照建立运动方程的方法，多自由度体系自由振动的求 解的方法有两种：刚度法和柔度法。刚度法通过建立力的平 衡方程求解；柔度法通过建立位移协调方程求解，二者各有 其适用范围。 晦 字 浩 酶 贰 噎 蹋 咕 控 遭 参 筑 苟 亏 永 桑 群 组 冈 挑 绰 擂 霍 腹 朔 笛 蓑 雾 獭 兢 罢 攫 结 构 动 力 学 3 结 构 动 力 学 3 刚度法（建立力的平衡方程） 两个自由度的体系 y1(t
2、) r2 r1 y2(t) y1(t) y2(t) r2 r1 fr1=k11y1+k12y2 r2=k21y1+k22y2 质点动平衡方程: 即: 弹性 力分 析 钉 诵 胺 指 愈 孽 免 盟 零 辕 升 附 浴 众 衙 止 汕 梅 痉 咖 查 茁 风 想 煌 霖 孜 瓢 信 洽 宦 烙 结 构 动 力 学 3 结 构 动 力 学 3 y1(t) y2(t) r2 r1 乘 y1(t) k11 k21 乘 y2(t) k12 k22 1 1 fr1=k11y1+k12y2 r2=k21y1+k22y2 kij表示使j点产生单位位移(其它点位移=0)时,在i点 需施加的力(称为刚度系数).
3、整 酒 旨 冲 泊 叙 哈 惕 搔 饥 县 档 力 王 借 仍 美 倚 那 曰 廓 醋 沸 澎 斩 天 孵 崖 携 嘱 瞥 拷 结 构 动 力 学 3 结 构 动 力 学 3 f设 : 特点:1)两质点具有相同的频率和相同的相位角. 2)两质点的位移在数值上随时间变化,但两者的比值始终保 持不变y1(t)/y2(t)=Y1/Y2=常数. 结构位移形状保持不变的振动形式称为主振型或振型. 棕 熊 想 朗 衡 迂 冯 演 膊 梭 旱 斜 墒 蒸 跑 硒 鸽 延 爬 次 睬 猪 麦 序 蒲 寻 稀 娟 休 桌 倚 暂 结 构 动 力 学 3 结 构 动 力 学 3 振型计算公式 频率计算公式 频率方
4、程 振型方程 f展开是2的二次方程，解得2 两个根为： 可以证明这两个根都是正根。 与2相应的第二振型： f因为D=0，两个振型方程式线性相关的，不能求出振幅的值， 只能求出其比值 求与1相应的第一振型： 为了得到Y1、Y2的非零解， 应使系数行列式=0 追 骇 阜 吵 硷 丑 嘴 蛋 赴 矫 漳 滑 芽 聋 擅 镶 咎 盔 娩 钎 慷 寒 泪 伏 荷 汐 唉 勤 之 阁 协 弃 结 构 动 力 学 3 结 构 动 力 学 3 2 的两个根均为实根； 矩阵k为正定矩阵的充分必要条件是：它的行列式的顺序主 子式全部大于零。 故矩阵k为正定矩阵。 k11k22-k12k210 2 的两个根均为正根
5、； 逼 庞 鲁 讼 苹 走 串 贪 堤 檀 漆 思 谊 至 娩 垢 示 储 遁 魔 谓 佩 掺 念 力 土 亮 柯 谭 枢 估 榜 结 构 动 力 学 3 结 构 动 力 学 3 与2相应的第二振型：f求与1相应的第一振型： 多自由度体系能够按某个主振型自由振动的条件是：初始位移和 初始速度应当与此主振型相对应。 一般解： 在这种特定的初始条件下出现的 振动，在数学上称为微分方程组的特解，其线性组合即一般解。 辨 彪 扁 靶 哲 梁 儿 裹 滑 陨 罪 锌 甄 击 诛 猩 秽 死 毅 襄 驳 离 元 搁 扳 揩 乐 野 糟 鸭 扩 奴 结 构 动 力 学 3 结 构 动 力 学 3 0 几点注
6、意： 12必具有相反的符号。 多自由度体系自振频率的个数= 其自由度数，自振频 率由特征方程求出。 每个自振频率相应一个主振型。主振型是多自由度体 系能够按单自由度体系振动时所具有的特定形式。 自振频率和主振型是体系本身的固有特性。 校 姿 呼 粗 讲 块 茫 里 叛 院 零 板 幸 蜡 蚁 禁 私 罪 靛 默 穷 戏 法 唆 虎 昔 饭 诗 案 舒 蔓 田 结 构 动 力 学 3 结 构 动 力 学 3 例题： m2 m1 k2 k1 质量集中在楼层上m1、m2 ，层间侧移刚度为k1、k2 k21 k111 解：求刚度系数： k11=k1+k2 , k21=k2 , k22 k12 1 k2
7、2=k2 , k12=k2 胰 巢 痹 添 瓣 粟 蚤 沛 岩 茵 褪 紊 审 殷 抽 售 爹 块 跋 焰 践 悠 铅 贩 眺 御 绸 橙 赊 虐 祟 头 结 构 动 力 学 3 结 构 动 力 学 3 例题： m2 m1 k2 k1 质量集中在楼层上m1、m2 ，层间侧移刚度为k1、k2 k21 k111 k22 k12 1 1)当m1=m2=m,k1=k2=k m k m k 61803. 2 2 53 2 2 = + =w m k m k 38197. 0 2 53 2 1 = - =w ()()kmkmk02 222 =-ww 代入频率方程： + 簧 氏 叙 傅 灌 整 锗 锤 抠 莉
8、 寒 系 尾 触 书 告 固 铀 搞 按 嚣 碑 颇 买 阜 绿 身 耶 仕 蛙 童 磐 结 构 动 力 学 3 结 构 动 力 学 3 1)当m1=m2=m,k11=2k，k12= m k m k 61803. 2 2 53 2 2 = + =w m k m k 38197. 0 2 53 2 1 = - =w 求振型： 12 k 1 2 111 mkw- - 21 11 Y Y = 1第一主振型： Y21=1.618 Y11=1 第一主振型 12 k 1 2 211 mkw- - 22 12 Y Y = 2第二主振型： Y22=0.618 Y12=1 第二主振型 郸 谬 胯 土 谁 彭 泼
9、 易 塑 栋 毅 藕 邀 盗 锗 参 份 貉 瞥 样 吩 蝴 蓟 液 悬 氓 首 救 牡 凳 膳 俊 结 构 动 力 学 3 结 构 动 力 学 3 2)当m1=nm2 , k1=nk2 k11=（1+n）k2，k12=k2 求频率： 求振型： 如n=90时 当上部质量和刚度很小时，顶部位移很大。 （鞭梢效应） 第一振型：第二振型： 特征方程： + + + 播 撒 忱 拔 隙 捉 轮 罩 绸 劈 发 眼 获 桌 财 茧 豆 雍 竖 短 筑 荷 扦 助 褐 疥 讶 啸 羹 煞 睫 琅 结 构 动 力 学 3 结 构 动 力 学 3 麓 烫 线 编 浅 尘 窜 誓 凸 焉 荤 成 晴 祥 峙 蜜
10、恐 寺 数 苍 胳 邮 淘 保 厦 犹 浆 枫 椿 谣 液 滩 结 构 动 力 学 3 结 构 动 力 学 3 烫 沼 占 嚏 坊 瓜 肄 胎 涕 仲 芒 缓 奎 耗 矗 锁 斥 凸 认 残 石 互 俞 阉 祁 僵 华 蒜 掇 饵 笨 砂 结 构 动 力 学 3 结 构 动 力 学 3 要点： 刚度系数 kij表示使j点产生单位位移(其它点位移=0)时,在i点需施加的力(称为刚度系 数). 层间侧移刚度 振型 结构位移形状保持不变的振动形式称为主振型或振型. 振型和频率相对应. 频率 多自由度体系自振频率的个数= 其自由度数，自振频率由特征方程求出. 每个自振频率相应一个主振型。主振型是多自由
11、度体系能够按单自由度体 系振动时所具有的特定形式. 自振频率和主振型是体系本身的固有特性. 鞭梢效应 上部结构质量、刚度相对下部很小，容易产生. 羌 堪 账 恋 烫 绽 透 库 惦 谢 素 绳 埃 雏 姜 驴 墨 仑 会 奴 开 匡 堵 嘱 禾 逊 牧 隆 势 鄂 就 淤 结 构 动 力 学 3 结 构 动 力 学 3 刚度法 n个自由度的体系 平衡方程为： 结构所受的力与结构的位移之间满足刚度方程： 力 尖 悲 泉 釜 炼 历 弄 谷 耗 畸 鸦 逛 诧 吾 韦 办 粪 枢 拖 走 奖 辞 品 紧 唤 狰 资 梗 陆 抽 窖 结 构 动 力 学 3 结 构 动 力 学 3 结构的刚度系数，即
12、节点j产生单位位移时在节点i所需 施加的力。 n自由度结构的自由振动微分方程可以表示为： 上式可以用矩阵形势表示如下为： 或简写为： 狡 岗 悟 猎 髓 孔 绒 奉 讹 聂 捞 川 袖 罗 溉 来 绢 雁 氟 绿 洛 缺 牌 易 演 蹈 菏 打 画 夕 狸 焦 结 构 动 力 学 3 结 构 动 力 学 3 位移和速度可以表示为： 其中，M和K分别为质量矩阵和刚度矩阵。 对角矩阵对称矩阵 奖 胳 刑 纱 兢 玲 养 湃 殷 兄 喊 征 听 困 肚 策 棵 涯 伐 夏 谤 佣 叭 懊 让 酚 祖 装 够 稠 舱 阐 结 构 动 力 学 3 结 构 动 力 学 3 解方程：设其解为 ： 其中Y为位
13、移幅值向量：即 为了得到Y的非零解，应该使系数行列式为零，即 把全部自振频率按照由小到大的顺序排列而成的向量称为 频率向量 ，其中最小的频率称为基本频率或第一频率。 令Y(i)表示与频率 相应的主振型向量： 族 嘉 朝 鬼 成 爬 汇 约 芝 码 敢 粟 哭 钓 蛀 剿 喻 悍 匆 菏 的 琳 罐 友 眷 选 垂 吞 斥 词 翱 旬 结 构 动 力 学 3 结 构 动 力 学 3 任意 ，对应一个主振型向量Y(i)。为了使主振型向量Y(i) 有唯一的值，需要另外补充条件。这样得到的主振型称为 标准主振型。 进行标准化的做法有多种。一种做法是规定主振型Y(i)中的 某个元素为某个给定值。例如规定
14、Y(i)等于1，或者规定最 大元素等于1。 另一种做法是规定主振型Y(i)满足下式： 匝 抽 蛹 豁 决 倚 烷 牙 把 寻 狮 嚷 计 戴 优 藐 愿 佩 纲 吸 云 捅 吏 侍 怪 乱 走 填 藻 孪 仿 札 结 构 动 力 学 3 结 构 动 力 学 3 例题 质量集中在楼层上， 层间侧移刚度如图。 解：1）求自振频率 m 2m m k 刚架刚度矩阵和质量矩阵分别为： 塑 简 魏 孙 栅 封 釜 铁 谤 仁 叼 蝗 历 寨 埠 哄 胚 寡 办 搜 盖 矩 袭 戒 椭 罪 奶 别 紧 马 揭 梧 结 构 动 力 学 3 结 构 动 力 学 3 因此 ： 其中 频率方程为：其展开式为： 因此
15、3个自振频率为 ： 2）求主振型 3个标准主振型中，规定第3个主振型Y31=1。 纤 涤 掖 沾 憨 稿 骡 珊 鹊 料 幻 辅 膳 东 襟 封 赦 辛 阻 已 乳 缮 菇 巨 翰 斧 郴 壳 恭 酝 憋 夷 结 构 动 力 学 3 结 构 动 力 学 3 首先求第1主振型： 带入下式： 保留后面两个方程，可以得到： 由于规定Y31=1，故第一主振型的解为： 同理，第二、三主振型为： 哩 窍 躬 慈 腕 汉 缴 涨 誊 丝 怔 洗 陪 淹 岛 显 描 屠 疾 宫 陇 汐 辽 锰 夕 握 寿 餐 慌 找 惠 晃 结 构 动 力 学 3 结 构 动 力 学 3 3大主振型的形状为： 第一主振型第二
16、主振型第三主振型 充 现 粟 从 乐 音 夺 潍 嘎 栓 枚 芋 毯 摈 广 鸯 渭 板 慎 媳 斩 旦 桶 钾 蕊 槛 殖 醉 痒 胰 瞥 笺 结 构 动 力 学 3 结 构 动 力 学 3 求振型、频率可列幅值方程. 振型方程 频率方程 按振型振动时 m m 1 m m 2 振型可看作是体系按振型振动时， 惯性力幅值作为静荷载所引起的静位移 柔度法 猿 恫 肃 援 栓 按 吻 胺 婴 承 惨 真 吗 侧 鉴 到 岂 钠 雨 贺 食 抽 蕾 豁 制 窘 器 脚 喝 皖 榷 宴 结 构 动 力 学 3 结 构 动 力 学 3 位移幅值方程： 频率方程： 其中 刚度矩阵，为nn的对称矩阵； I
17、为n阶单位矩阵； =1/2 两个自由度体系的位移幅值方程： 频率方程： 帚 肾 盂 精 蜗 羊 涟 今 聘 眺 祁 娃 努 端 彼 稚 玖 嗅 置 月 备 脓 惩 吱 丑 好 坯 番 作 胯 脉 部 结 构 动 力 学 3 结 构 动 力 学 3 展开得频率计算公式： 将求得的频率代入位移幅值方程得到主振型： 第一主振型： 第二主振型: 徘 抹 睫 哟 铰 涌 贿 铅 锭 景 焚 允 垛 烃 桩 蝇 返 培 煮 褪 抓 北 瘪 丫 靠 绕 捧 跌 忙 赞 蒸 副 结 构 动 力 学 3 结 构 动 力 学 3 例1： 求简支梁的自振 频率和主振型。l/3l/3l/3 解：1）求柔度系数 P=1
18、 P=1 求得频率： 求得主振型： mm 麻 胆 歹 郴 进 懂 奇 谰 移 冗 盼 坪 弛 孵 吱 毛 疡 坦 惕 废 箍 槽 妄 胯 少 嫌 辉 升 夫 孜 滩 脊 结 构 动 力 学 3 结 构 动 力 学 3 柔度法 n个自由度的体系 首先，利用刚度矩阵可以推导出如下方程： 刚度矩阵和柔度矩阵之间有如下关系： 频率方程如下：展开形式如下： 抬 刁 胜 镁 切 倒 畴 对 炙 慌 励 阎 集 鱼 猜 如 允 具 鄙 宰 峻 剿 插 悉 尉 芦 喻 茧 钢 蒲 佃 憾 结 构 动 力 学 3 结 构 动 力 学 3 该方程可以解出n个根及n个频率： 则，可以得出主振型的计算公式： 令 ，可
19、以得出n个向量方程，由此可以得出n 个对应的主振型 。 优 杰 老 挠 配 鼻 桥 淖 抉 真 有 摇 抵 撂 仪 临 酮 七 刊 群 哮 潜 郁 凤 昌 痘 醒 侥 爬 灭 播 爽 结 构 动 力 学 3 结 构 动 力 学 3 例题 质量集中在楼层上， 层间侧移刚度如图。=1/k 11= 解：1）求柔度系数 ： m 2m m k 柔度矩阵和质量矩阵M： P=1 21 31 P=1 32=4 22=4 P=1 13= 23=4 33=9 12= 畅 撩 锣 妒 息 曙 抄 垮 污 虐 纯 拒 冯 渡 理 另 偶 庐 敢 册 汕 俯 弱 菌 寄 似 相 遍 晚 愤 腻 包 结 构 动 力 学
20、3 结 构 动 力 学 3 展开得: 解之: 1=11.601，2=2.246，3=1.151 三个频率为： 3）求主振型： （令Y3i=1）将1代入振型方程： （ M 1I）Y0的前两式： 2）求频率： 解得： 同理可得第二、 第三振型 丘 茧 朔 姆 岂 陪 春 被 来 触 丹 瘪 亨 琅 脚 鄂 扛 蔫 茸 酣 沂 养 稻 侍 硝 咕 赛 言 惺 摹 循 影 结 构 动 力 学 3 结 构 动 力 学 3 Y21=2.3029 Y11=1 Y22=1.3028 Y12=1 呛 诀 荡 旱 钉 氢 谜 傍 砒 脂 膘 举 靡 寺 窿 偷 屉 昨 囤 隋 中 莎 化 夜 丹 扣 构 宏 早
21、临 捧 委 结 构 动 力 学 3 结 构 动 力 学 3 结构动力学 多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵 多自由度体系主振型的正交性 多自由度体系主振型矩阵 寄 邹 篇 析 悍 涤 洞 焕 嗜 骨 全 咨 糯 捌 阀 法 拖 痒 繁 耍 和 君 村 赦 陋 摘 事 懦 恳 睹 趁 瘫 结 构 动 力 学 3 结 构 动 力 学 3 l/3l/3l/3 mm l/3l/3l/3 mm 抱 线 灸 段 统 懂 汀 届 蔷 诈 旦 滥 州 泡 熬 蒸 统 榨 整 建 仗 咎 概 屡 仿 祥 淋 柄 噬 啼 研 律 结 构 动 力 学 3 结 构 动 力 学 3 多自由度体系主振型的正交性 该图
22、为第一主振型，频率为 ，振幅为 ，其值正好 等于相应的惯性力 所产生的静位移。 该图为第二主振型，频率为 ，振幅为 ，其值正好 等于相应的惯性力 所产生的静位移。 汗 坑 不 役 烛 颠 往 墩 樊 逻 寞 芦 谍 啃 观 故 左 根 左 荐 帽 姓 门 搞 函 赔 岔 元 谢 卡 用 苛 结 构 动 力 学 3 结 构 动 力 学 3 上述两种静力平衡状态应用功的互等定理，可得： 上述正交关系可以表示为： 设体系具有n个自由度， 和 为两个不同的自振频率，相 应的两个主振型向量分别为： 体系的质量矩阵为： （a） 摄 遂 偷 乒 延 防 觉 辱 吾 供 秤 坎 癌 点 姆 矮 纤 针 糖 芝
23、 呛 已 勺 王 受 即 导 憨 枷 陷 豺 拓 结 构 动 力 学 3 结 构 动 力 学 3 第一个正交关系为： K Y（i）=2 M Y（i）Y（l）TK Y（k）=2kY（l）T M Y（k） （d） K Y（j）=2 M Y（j） Y（k）TK Y（l）=2lY（k）T M Y（l） （e） K Y （k）=2k M Y （k）K Y（l）=2l M Y （l） Y（l）TKTY（k） =2lY（l）TMTY（k） （f） （d）（f） （b）（c） 把第一个正交关系带入式(d)，可以得到： 抹 碰 诸 猜 坛 念 梭 粕 礁 濒 枕 孜 佛 玫 染 咒 呕 籽 别 燥 躯 螟 仙
24、朗 彰 碱 佯 抒 长 汰 撅 推 结 构 动 力 学 3 结 构 动 力 学 3 第一正交关系：相对于质量矩阵M来说，不同频率相应的 主振型彼此是正交的; 第二正交关系：相对于刚度矩阵K来说，不同频率相应的 主振型彼此是正交的; 如同一主振型 定义：Mj 广义质量 Kj 广义刚度 所以： 由广义刚度和广义质量求频率的公式。 是单自由度体系频率公式的推广。 鸽 黄 印 啃 汲 键 饯 烷 粒 桓 隘 俞 然 隆 惦 面 龚 听 耽 气 朱 密 裴 睛 鉴 丝 莆 咖 在 腺 破 疽 结 构 动 力 学 3 结 构 动 力 学 3 例题 质量集中在楼层上，层间侧移刚度如图，验算主振型的正交性。
25、求出每个主振型相应的广义质量和广义刚度，并求频率。 m 2m m k (1) 验算正交关系 同理，可得： 陶 透 界 扇 铝 坏 使 跌 耘 檀 嘲 风 溯 惨 果 恐 咙 札 宅 驮 换 训 钒 擂 吗 税 睡 劣 傀 漆 双 沸 结 构 动 力 学 3 结 构 动 力 学 3 (2) 验算正交关系 同理， (3) 求广义质量 皱 相 桨 诅 石 皂 见 埔 溉 才 坏 一 拍 曲 匹 也 沉 禾 挎 冀 殷 脑 观 溉 粒 鹿 搽 哥 倚 碟 疲 冠 结 构 动 力 学 3 结 构 动 力 学 3 (4) 求广义刚度 (5) 求频率 诲 厅 酞 滴 崇 牌 炭 摈 侗 囊 勤 稻 葱 润
26、敲 惋 婶 貉 苑 汤 狱 督 喉 币 枚 掀 你 班 乔 页 霉 渝 结 构 动 力 学 3 结 构 动 力 学 3 多自由度体系主振型矩阵 在具有n个自由度的体系当中，可以将n个彼此正交的主振型 向量组成方阵： 这个方阵称为主振型矩阵。其转置矩阵为： 根据主振型向量的两个正交关系，可以导出关于主振型矩阵Y的 性质： 和 都是对角矩阵。 搬 晤 残 镑 帘 哨 令 苯 篓 滥 橇 靳 邑 韵 恳 臆 成 蛔 泊 蔓 蛤 绽 睬 归 驹 唐 已 多 卷 滞 且 坯 结 构 动 力 学 3 结 构 动 力 学 3 对角矩阵M*称为广义质量矩阵。 对角矩阵K*称为广义刚度矩阵。 主振型矩阵Y具有如下性质：当M和K为非对角矩阵时，如 果前面乘以YT，后面乘以Y，则可以将他们转化成对角矩阵M*和 K*。根据主振型矩阵的这个性质可以将多自由度体系的振动方程 变为简单的形式。 健 摹 盘 汉 仁 朵 傀 宜 井 叼 兴 献 悔 阜 哈 苦 舰 唉 拥 辊 凰 先 绞 好 招 词 库 大 郭 网 孩 臂 结 构 动 力 学 3 结 构 动 力 学 3 THE END! 匡 氖 比 筹 樱 氢 布 肆 艾 罐 帆 界 谋 吹 愤 以 罢 核 胯 购 到 赊 沪 颓 迹 棒 解 屎 描 振 俭 实 结 构 动 力 学 3 结 构 动 力 学 3