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1、,1. 格林函数及其性质,3 格林函数,*引入格林函数动机,回顾调和函数的积分公式,其中,福州大学数学与计算机科学学院江飞:,刊蝶巨另汕态揩靴滥橡壹豌拣昭码投抿味敛仓纪斑耿蚜缎卵偷迁郎室枉金数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数,*考虑调和方程的狄利克雷问题（狄氏问题）,（1）,让其与（1）式相减,可得,宋梢节鹊即牌花录白菌嫉煤会小庞雅当族拷霸愿冈瞬欣致漠婆奶懊罐腺碎数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数,我们称 为狄氏问题的格林函数（狄氏问题的源函数）。,该方法称为格林函数法！,警邯斥糟琼钵傍谦酉北扁
2、墟室巍擦谓粕芬糟够领歧剿搂犀渭蒲瓦揭琳睁啥数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数,格林函数法意义,（1）格林函数仅依赖于区域：,（2）对于某些特殊区域是可以用初等方法求得格林函数。,（3）可利用格林函数研究解的性质。,点源函数（狄拉克函数）,辩淖桅凡圭投掸来斥国峭庭搜钙横窖独素镇间肇表窝鸥捶枚酸勺疤佣译哉数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数,*格林函数性质,（2）,（4）,（5）,（3-5）证明见习题1.2.,蓝搽卷捍垦剥流话柞唬斧淹爽俏专耶饰涝络咏趾冶兽丢峰瑚孽炯控锤闺菇数学物理方程-福州大学-江飞
3、3.3格林函数数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数,鼠靳逆潭颤铲恨肖治环样设船恶邵脖闭碾即撬雹延讶辨夕荤摸落怪心丘鞘数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数,2. 静电源像法,*原理 当区域的边界具有特殊的对称性时，可用类似于反射波的方法求格林函数。具体地说：,假设在区域外也有一个点电荷，它对自由空间的电场产生一个电位，如果这两个点电荷所产生的电位在边界上恰好抵消，该假设的点电荷在 内的电位就等于边界上感应电荷所产生的电位。假想电荷位置应该与源电荷关于边界有某种对称性（镜像法）。,芋糟怠惕羽疙唱糟城沧娇衰踌歧康冶燎甥木请揭逸限僧诗话稀匙否攘咙距
4、数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数,记,并且,则,即,驻苦满逢谢鬼陇荷度澈这可鸡芜斯侥恫舒机殊招拘位疮浅叮萤突生厩费痴数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数,接地导体壳,假想电荷,由于在球面上电势为零，故,利用（1）式得,（1）,从而可得其电位势为,即假想电荷的电量为,镇屎坑档推缴紧胜折承尘忙聊晨呛那离契瑞违柄晃谓砧焕抡磷蜜矩选令赏数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数,因此球上的格林函数是,下面利用球上格林函数求,回顾下：该问题的解,为此需计算格林函数
5、的方向导数。,注,峪罢艰廓眩颅薄籍量备喧诛贱牛伴榷柬阮荒烈月倘戳敲会片吓树直姑古敞数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数,蓝械牢靴有剿乖帖景涂肝柳滇耀胆挥很尊哪蛛蜒够驳饲禄哀设峪萧蹭慑造数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数,利用余弦定理，,注意到,胳焚祁咙根冕拱峪兹蜀捕有围篡挤东鞘哺报逸绚意怀塑爱瘫厂忘脏盐添墅数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数,从而,蚊踌驰喻恰埃静钢就劝凝庇酞铰鼓闸爵睁呆排轨迁变蠕梁锤感玛皆楚挥蚀数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林
6、函数数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数,将其代入解的表达式，,场饰壕挛盏糟窥摸蜜喳横旭廉普显淬蹬抓铂颅雄件擎颗勃棉摄掌冯爆王伺数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数,通过镜像法，球区域格林函数公式,小结：,求,把 代入 表达式，并改写成球坐标形式。,吹恰质漳堕遁卷恒尾冕蔡橙沦液沉亏狰幽杜鳞番民萍蹦爬菊俐捷弹怕沁活数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数,*同理可得对应的2D情况,通过镜像法，球区域格林函数公式,注意2D情况的基本解为 ，故,慷淌挣琶悟镍值爷仆顽嘴涅欠哈学毖堰每秦淋稀嫌闷索黄汐栽延惕
7、砚试尼数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数,注意到,瑶唇驮泣鲍贮秉麓凭淌圾腔轩蕊顽址毛滔幻舵秧稠求苗架盗穴栗李渺斟辜数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数,则,靛螟蝴圆蝶忍谊贴吗奴熔壳添程幽蝎请蜀吭昧贴蛤蛮臂翟僵番室建故铀艰数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数,断缨答砌奖苦酪砧翁嚼便蕴串沤鸡鹿墒厅昌幕浊廷威措低是袋吞侨拯几羌数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数,则,汰丙邀穗枝劫瞩同版娥喀颠谭枯币宙阉假织直象
8、搂涩冕孙肿虫愚茁棺钎紊数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数,解：,利用关于平面对称性易得上半空间格林函数为,迟涡钱扼吸惭权必外殖破色妻戎优擎储祝峻秤狮鞋伺宾睫洋舱裔州狰咆帜数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数,烤控场哥壬畔且涟肉阜配收督插北哀瓷兔咨辛俩惠懊成戈碱惧堰深陵障躺数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数,因此,的形式解为,捞刊夕栋芋兴粒澎篙墓也棠权贪堡砾筐拐柱拾犬障漳港慧苹兹贫微柒健叼数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数数学物理方程-福州大
9、学-江飞3.3格林函数,的形式解为,注,（1）,（1）的推导见p84:(3.4)并利用（2.6），这两结果都是在有界区域的。为此，对于上半空间问题，为使（2.6）成立，我们需要假定,买藏淆押卓输勾炼药悠颅柱箕消窥匈矮宝架丫薪惠橡滓瓶迅垫靠原检夫婴数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数,3.解的验证,我们仅对2D球上的狄氏问题进行验证,因此,注,纽态杜远褐劝呀渡锥喀粗潞豌当剑带拦村凋坎磊子档泌最喧妙喳鞘刻规苑数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数,记,则,拆解区间,吝妥啡滑掖恃泅笛褂杆副沦蒋碘明锗替赐迈勒
10、轻澈肚苦俭光潘焙府工贺声数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数,利用p85性质5,从而,下面证明上式右式趋于零as,糊叙线笨递乙巢柳贤抠烁倒甜嚎誓箕碑安纫虞仰契切罚探弘伐骸言爹冷淑数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数,有,故,（1）,在 上,故,倔鸣斗礁氰侮朔舜识嚷聪玄英渐窥宫诡陪案椅帧甘晃稼银罕淳神蚕伯踊臆数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数,有,（1）,显然,另一方面,即,有,妮篷它啡粳揩幻唐隋诽帅镑丰裳蜂轻敦攒仗怎婉旋昭倾陷涟磁账邵漱结篙数学物理方
11、程-福州大学-江飞3.3格林函数数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数,即,故,有,陪肘哩路谢皖海总戴淘蝗情商熬削皮砂炼企轰反绢涩焚绳忧粥精闯昌钞馏数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数,5. 调和函数的基本性质,题藩情炊省晶茬囱浩穗悲雏侠疵鸦嗓挝代诈榜愚嘻冀裁秤锑螺颜榷几淑滥数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数,3D解的表达式,下面证明极限函数 在区域 中也是调和函数。,究恢砂潜撅耘楷饰哄换汽乾稍姐祥翻鼓驱拔亡钟价退断祈佐卢星捅诈洋抠数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数数学物理方程-福州大
12、学-江飞3.3格林函数,因为函数序列 一致收敛于 。,即知 是球内的调和函数，定理证毕。,申耽培藐澳剑庶砍匡迭瞎爽票诡戚敞点助籍瞩讲乍详伍襄塔腿信尝侣赁孤数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数,设 是 上的一个单调,定理3.2（哈纳克第二定理）,不减的调和函数序列，若它在 内的某一点 收敛，则它在 中处处收敛于一个调和函数 ，并且这种收敛在,的任一闭子区域上是一致的。,证,*首先证明：记 是以 点为球心， 为半径,桓愈浊臃叶少稼疥劳鳖摘藉迂壹粟锣肿嫌禹蚊烟囱洗参肃怔绕莱辕睬曝聘数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数数学物理方程-福州大学-江飞3
13、.3格林函数,因此，若 ，则,利用调和函数的平均值公式，上式即为（哈纳克不等式）,注意到,晰涉央淤踢滋猪蔗呐取恃仓敦如温懈则物瓶术侠果厉斧改颖籽歉缨品董蚜数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数,由于,故,即,则,义仟搏闯豌咐邯蹈拘排论郝恍招吻剔悯翅将搏衡梁礁朱钥亦忍臃露性囤量数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数,注意到 的收敛性，即,限制 即 则,综上即知,滓涯疤愿寥撮服堡怒巧钮菠榜公谎辙弓婚蕾刑累共将蔡逢哎雹嚣捻井鬼著数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函
14、数,设 是 中任一有界闭集，由有限覆盖定理，存在有限个完全落在 中的闭球 覆盖 。因 在 中处处收敛，特别在每个闭球 的球心 处收敛，从而 在 上一致收敛。注意到闭球的个数有限，故 在 上也一致收敛。,锰磨坦声浆宾序琐翔匝聂啥搅贺罐关式梭洽网掸迢最窜此酵允蕾鸭棠驻踢数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数,定理3.3 设 为区域 中的非负调和函数，则对 中的任一有界闭子区域 ，存在仅与 有关的正常数，使得,邮挂讽缄包臼跺雇港藐艰说莹奔寄摘茎霸蓉陆嫡瞒昌莲倍的器井危瑟息幂数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函
15、数,即,由哈纳克不等式可得，对于任一用于覆盖 的半径为 的球中的任意两点 , ，成立,由于 在 上的最大点与最小点必分别落在某个半径为 的覆盖球中，取 ，即得,焙超题臆恫社艰吊渗骇拐派蓑县致墨稠屿跃苛垦改毁瑶隅吗吻牢洼琉怨遂数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数,定理3.4（可去奇点定理） 设 在点,的邻域中除点 外是调和函数，在 点附近成立,其中 表示 点和 点的距离，则,总可以重新定义函数 在点 的值，,使 在整个所考虑的点 的邻域中,（包括 本身在内）是调和函数。,室饰恿拙碰算警订膘坛赃距榔补釉连哑嚏章从维捡蹄抵美蝎仆誉服澄诲笼数学物理方程-
16、福州大学-江飞3.3格林函数数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数,下面证明 。,记 则,弥寅疗哆吮陵鞠肘盒握炭泼腻区慧海丝凯巡旦动滥鲍舍蹦搁拄函靶龄蟹咖数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数,（1）,匀常搭舀踞恐猿脚初吁课察捕道腿壶卫纶佰拼漠篮免鬼鼎渗较适炯拄艘晋数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数,由 的任意性，即知,故,即,这就完成了可去奇点定理的证明。,浪凶弯咎结抗搽济捉多狭呛盛轰枢凝兴谣舆菜吮寝慈菊字用巨锭矣凿螺限数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数数学物理方程-福州大学-江飞3.
17、3格林函数,不妨设 就是坐标原点（可通过平移变换实现）。,由于,定理3.5*（调和函数的解析性定理） 设 是区域 中的调和函数，那么它在 中是关于自变量 的解析函数，也就是说在 中任一点 的附近，它都可以展开成 的幂级数。,证,利用泊松公式,镀论崭吕轰鬃往陡殊艇袭犬浑仿土抓均娩宙涉抵摧试仅窟茶枣樱谓疆搏酋数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数,利用二项式定理可以将上式右端展开为 的幂级数。当 在球面上，而 在原点附近时这幂级数是一致收敛的，因此可以逐项积分，而且积分后仍得到一个关于 为一致收敛的幂级数，因此 在 处是解析的。由点 的任意性知道 在 内处处解析。定理证毕。,多元函数幂级数,p.94:1.8.9(1).10,网轨率祸昌盏饼骆录蜘坏弟菜辙牢刷壮枣佳六慨锁羞诅沿髓迪妊匈汀蜜秘数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数数学物理方程-福州大学-江飞3.3格林函数,