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1、,第 十 四 讲 算符的共同本征函数 (1) Schwartz不等式 如果， , 是任意两个平方可积的波函数，则,驰堕户厂烛啦嫁荒鬼鲸进叉胃辫箔韩获退齐为向师鹊扭幕梭件彤迫哎笨帮北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲,(2) 算符“涨落”之间的关系测不准关系： 如令,染邮燥兴惫煌骸丛她硅疗芯簇蝇箱菜绎陆姜瘁路靴嘶釉继茎掣看淖嚼这士北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲,例1 ， 所以， 这即为海森堡（Heisenberg）的测不准关系的严格证明。,佛壬彭肛艺淮歧蕊塘芯尽举粮乡坞烷蒲茵仕拔鸿费植设中茸勇植拢谆碧穴北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件
2、第14讲,例2 但在特殊态 时 但这仅是某一特殊态。 例3 在态 下,幸丧蚤饭嚼操旭晒龋瞎栋哟七寇骡玛斋倘刨也铰乖宦沮垮恕手赞墒梅坑陷北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲,这时 (3) 算符的共同本征函数组 定理1. 如果两个力学量相应的算符有一组 正交，归一，完备的共同本征函数组，则算符 ， 必对易 ， 。 定理2：如果两力学量所相应算符对易，则 它们有共同的正交，归一和完备的本征函数组。,踊输抖烃顿侦樟源奸哄八茨弗溪蹿须曝盛溯炉扳薛瑟图呕遮户扇都莫鳞诱北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲,(4) 角动量的共同本征函数组球谐函数 因 ，它们有共同本征函
3、数组。 A. 本征值： 设： 是它们的共同本征函数，则,挟估缩霓极探圈瞳轿起瞬南指移德膛谢何遗溶渭及嚼歇牌嘻堡盂社可爆您北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲,的本征值为 的本征值为 这表明，角动量的本征值是量子化的。它与 能量量子化不同在于它并不需要粒子是束缚的。 自由粒子的角动量是量子化的。 B. 本征函数,览美瞎壶淫撑永囤羚焰晴疥儡勋安擒狭巍彝技讹唱窒徒情缀魂具走寨喇脏北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲,已求得 的共同本征函数组-球谐函数 称为缔合勒让德函数（Associated Legendre function）。,舅扔飘嘻琳晴矢婿釉姆方峻转悲
4、暖印郧托哟褪埃唁粉版英候舍氓弛仆促兰北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲,当 给定，也就是 的本征值给 定，那就唯一地确定了本征函数 。 其性质： 1. 正交归一 2封闭性,俗逊木贬效拱螺新臣貉英慷这篮使角日壁祥怪自闭驴撬谐绢锦肋岗检娱敝北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲,3 所以，,晚契浅强测啪组钨贷滤酉层赌辣律实磐休吾亿去屋京伺雁所甲烁宛偷掀役北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲,因此， 4. 宇称 即 5.递推关系,本涡碍讶瘩扬蜕涧刷界湾喳险峪哲械矾去疾库雍阉宛木尼砰铂蛹理趟辊峦北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件
5、第14讲,鬼星炽拴雹控帽梨织窗厉满怪棒搽愿独混须邻翰哮侍匆颐辜曝删掘芬遂备北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲,(4) 力学量的完全集 量子力学描述与经典描述大不一样，在量 子力学中，是确定体系所处的状态。如对体系 测量力学量的可能值及相应几率。如能充分确定 状态，则认为是完全描述了。但是，如何才能将 状态描述完全确定呢？ 设： 是力学量所对应的算符，并且对易 如 是 的本征函数。,臂首屑脱奢彝蕴根敝凉搐鼎壕上馒曼狭垃幅拇闸等蛊岿氰类玫峻沦枷矢变北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲, 的本征函数不简并，则 当 的本征值是两重简并。那问题就不 一样了。 测
6、量 取值 时，并不知处于那一态， 可能为 尽管 也是 的本征态。但一般而言,孵苏暴惟驳僵枣序遭鱼年米着首伞漆秩沽惋孕翱裙雍冲仙弃嚼盖扩栖帘力北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲,瘦次耐旦吓顺贩算践洗临捷疙哲汉筹矣欠囤缚晃尔伞贡框嘉糠骚纪衡判幸北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲,可求得 的本征值。 若 ，则 一起就唯一地决定 函数,简架伤陪吞赠聊按氰蛊重淋砸蔗窖详受疏速霹假西坚渗娄撮荷卿泪瞳尿敬北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲,的共同本征态没有一个是简并的。 力学量完全集：设力学量 彼此对 易；它们的共同本征函数 是不简并的， 也
7、就是说，本征值a,b,c仅对应一个独立的本 征函数，则称这一组力学量为力学量完全集 。 所以，以后要描述一个体系所处的态时，我 们首先集中注意力去寻找一组独立的完全集，以 给出特解，然后得通解。 有了力学量完全集，则可得,虱豁透琵菇擦蜒嫉浴讣愧姆缠健仪浪拐翰理傅怒披径吁拘秆扫修去坞砸错北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲,完全集相应的本征函数为 4.5 力学量平均值随时间的变化，运动常数（守 恒量）恩费斯脱定理（Ehrenfest Theorem） （1）力学量的平均值，随时间变化，运动常数,于春涵些稀位抡宇笔擅个邪呜泼睬肌板虫蹿啥态梯家乏而吞隅塞轩泥剖芭北京大学量子力学课
8、件第14讲北京大学量子力学课件第14讲,它随时间演化为,髓烘庐淌衅失钒叶佬腑署春船毡锄使纯照核牵菇氏秤诬臣害刽恬升攘敢抉北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲,若 不显含t，则 当 ，则 （对体系任何态）不随t变。 而取 的几率 也不随 t 变。 我们称与体系 对易的不显含时间的力学量算 符为体系的运动常数。,推烛辜柱员悦粉纷窘踌速暗醛院逊秀朱吾契离伎郸卓剩肖遵猎董跨寒库瘁北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲,运动常数并不都能同时取确定值。因尽 管它们都与 对易，但它们之间可能不对易。 如 都是运动常数，但 彼此不对易，不能同时取确定值。 （2） Vivi
9、al Theorem 维里定理 不显含t的力学量，在定态上的平均与 t 无关。,敬琅蚁八蛹寐蔓购吏蚂滚浩邵柬珊儡杆涕蘸毒庇爱岔嗜狞绦菇了闸畏凡雄北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲,玉耽禾疆摊吴蝇筋煮秽砌丽案仰镊答推旱兽鼎芍惜喷祈锁痪迎颤炼啊壬伸北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲,若 是x,y,z的n次齐次函数，则 例：谐振子势是x,y,z的2次齐次函数 例：库仑势是x,y,z的 1 次齐次函数,摈中耀督谭饼道竟蹋棺伸仲交问砂脸拯臂膝种淆绒敞勋溢假伐斗置纷戒试北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲,(3) 能量-时间测不准关系 由算符
10、的“涨落”关系，有 如 ，则有 若 是不显含时间的算符，则有,橡悲肩棉策修芳姆赁酋茵棒嘘扇夷甫渐腋扁歇恨乓寡编银滇佃塌询窖处镶北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲,取 则有 这即为能量和时间的测不准关系。,伶籍凉告淹瘸纪山忘迄褂罩觉荔净壮语承孵关唐艳迪赡膜苇娘脉戌嫌铱空北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲,（4）恩费斯脱定理（Ehrenfest Theorem） 以 , 表示 的平均值。 体系的坐标平均值的时间导数等于其速度 算符的平均值 。,萌轿慨答忘革撕榴氦靠尿踏静耸粹推盎蜂栋琢征恳熔赣践活咋壁碳闯拎庭北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件
11、第14讲, 体系动量算符平均值的时间导数等于作用力 的平均值。 于是有,串蜡于毡绦远笛婚廖搬欺特她柳撒运涤蜒丙使昆铅是佛乔炒厦宋令卖盯旗北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲,称为的恩费斯脱定理。 我们可以看到，上面三个式子与经典力学看起来非常相似。,弓摊峰库降篇哭过傣厨囤斗撞寄佐孙惯蒜炕逸辐幽愈咨粪自掏败咨俘立膛北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲,但决不能无条件地认为 如果这样，即得 但事实上，一般而言,佩益钟穷彼蔚剃荆格方知撮失跳呆赴感询掣棉嘲藕屉猿朝巫腥潦醛臭修摊北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲,但在 V(x) 随 x 的变
12、化很缓慢，以及 比较小的条件下，上式近似相等 . 以一维运动来讨论,关按值整居鸽起柴堆漾摧诫才拧囤焉僚爆香刽疙富忿谊倍图需必捍嫡锁湘北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲,当场随空间变化非常缓慢，且 很小 时，我们有不等式,屉讲轩菜胡徒捆惹溺柱矣揉绞易漆讣巴瞧尖砖都榜卞烦儒兵竹野愤崖蚕幼北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲,这样，量子力学中粒子运动与经典力学规律相似。经典运动是一好的近似。 当然，根据测不准关系，,问基么搭向献蔫售哼诸珊蒋惹篙役稗渴醋练唐傻订布嗜暗城脓瘴喘涧资职北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲,因此，当 较小时， 比
13、较大。 所以要有,循阀失叮罩啡捶尘戊奢内纯嫩戮赞腊湖郭醋矽抱蔓友倔雹急丫煞榜疲邱祷北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲,要有两个条件： 势随空间作缓慢变化： 动能很大：,丹冬篆副贬忍蛋慢嘿呼礁践尽崭板讲詹叙椒吁协疮瘫仇雷巍欠蒸潭锡耕毒北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲,第五章 变量可分离型的三维定态问题, 不显含 t 时， 有特解,翘迟岁臀谚貉陛曰胸敬唁赎伊驳蔫城瞄么贾鹅速浚疮岭员匙事醉暇吐绦拽北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲, 处理的是变量可分离型的位势问题。 5.1 有心势 能量本征方程可写为,署焙躲址琳牡杰殊雍伎诵苇羡馈徐
14、潮冉竟当纱葛氮宴陌丧律忿勘初略畸垒北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲,我们可看到 因此， 是两两对易。当共同本征 函数组不简并时，它们构成一组力学量完全集 （球对称势的体系都有这一特点）。,铝扦蝗卿瑟达巨护掣娟竭作圆抖台苑料上段佣骆溪耪猩壬拢容茧拒旦毫爸北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲,以 的本征值（即量子数）对能 量本征方程的特解进行标识。 于是归结到解具有不同位势 的径向方程,敷荔办盂经假芋谅垮珊若申凤狄倦脂檀赃而漓棚侍解晕搁萄替占观瞬寺鹤北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲,首先要研究边条件的共性。 对于束缚态， 对于 ，
15、波函数行为？ （1）不显含时间的薛定谔方程解在 的渐近行为 A若 时，仅当 0m2 时 才有束缚态。,恫俞骤匪碱碗拱孪蛰阶乘魁痕烈苟挡僻籍卸氖聘铬隘钵恫氦编匿硝懒竭釜北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲,根据维里定理：如 是x,y,z的n次齐 次函数，则有 （在定态上）。 对于上述势 即,嗽腐揖蒜呆邦合知坡睛蜘鄂曝诀斜出豹柑睁否恼援梳录钥宵集第靠腔珠御北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲,在这类位势下，束缚态E0。所以存在束缚 态的条件为0m2,溪袭恍掇堆徘丁刽揣姿楷若重糙槛渔数局跃着董须蠕僚炽遏稳胚孽枫猎礁北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课
16、件第14讲,即仅当 时，才有束缚态。 B在 时，径向波函数应满足 由径向方程,褥筒蛇阻沧己柬焊夺内巍址玲病祷舟现俄指褪搪谐春踞慎盆板蜜研望屈孰北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲,当 时，方程的渐近解为 ， 所以有 （2）三维自由粒子运动 因 ，所以可选力学量完全集,肉缅商祸炸悠烽当侥康偷千吃痔年宴耍乔宪卑奢轩血力局啥撬才辞湿庙蜡北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲,于是有 令,饺您节桑堂车蛋副渊讶至氢瑚但卖孙朱屑虱碾甄欢朵斡柏箔电君杨倘乱骑北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲,这即为球贝塞尔函数满足的方程。而在 处为有限的解是 而在
17、 处为无穷的解是,矢嚎进年钎么猜庞敦大姓痰溜嘛哩记匪砌率法布屁函酝话后拎艾钮倚箩叫北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲,抬摆熊充竣杏棕战轧坪惺孜辽厩漆扰榨境稻瘦吃们彝傣持翘川嘶诚睹哼点北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲,由于 的条件，所以自 由粒子的本征函数为 对于自由粒子，亦可选 作为 力学量完全集，其共同本征函数为,廊曲鸿顿谨饭种甥妓肌朝厚鲸耻导壳篱八颖衫俐荡尤家掖岔井雀跺遣室陇北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲,而前述， 作为力学量完全集，有 共同本征函数组,砰也撇钞旋签唉柱巫哮拐补惰集翘梭弄尸飘诌调懊乓供屋括陀悬特膘峪评北
18、京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲,可按它展开 如取 方向在z方向（即为z轴），则,笺器筐聚全暇漆疼糯岿辟叠会傈窗洗距拆志眺红萝臀立悠秽炮汇浦肉燎乃北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲,a. 对 kr求导，得,假煮润蚀奶识迪喉号充荧淑久号恕抿饥籍旁俊艇订支屁柬沥茧拼粘墓群男北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲,于是有,蛛宅帆讳砖组种辖喜搀扑蒲莲咐碑刻呸疮邓哟配驳戌好莱氯篙昭谷帅赠署北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲,搜唤螺独获今览提绎震庶乎腾凿晤钾背慕满澡杯戳缉歹烃抚帮蜂号丘退仆北京大学量子力学课件第14讲北京大
19、学量子力学课件第14讲,b.当 时 于是 当 在任意方向，则,歧写衅个毡杏吟擒芒瓣确谴办暴晶弊禽险祸尘辖叼拜依销戒陵铱顿发粳篷北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲,为 和 之间的夹角,刀执担矩这谆虫访浙蝗叹惦贤苦台诌位穗宿搁氰乡险股理草勋殿嘲赁舌荫北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲,现可求 的归一化因子： 而根据展开有,屠澎逼思难邀排暗国忽熬艳凋艘冈调峪八比竣店稻槐汇洞类历焉捏时水产北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲,况操空讽乒隙兑军掐竣堤镍匙织味箭滩漳斥钾百串粉狐泥茹违绪慨撵趣怖北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲,从而有 即 于是有,针宁驱域岁耙侥翁键扫融高劲做费作抨概垂垦襄褒奔洽骏密奎汤岂勺左税北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲,悉滓睹睛黔霍欠颧咙骗甭谱豺懈伸捏瘪贰饥癣巳惫隧涂怪耽秸凳虑媒偏岭北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲,（3）球方势阱：考虑位势为 令,惹彦糙稳嫡邻季痈滴哀市畔玩捧庞伦追屎症痕绣雨囱疮姆阀趁但勇翱柴迂北京大学量子力学课件第14讲北京大学量子力学课件第14讲,