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1、2.32.3 拉普拉斯方程，分离变量法拉普拉斯方程，分离变量法 Laplaces equation, Laplaces equation, method of separate variationmethod of separate variation 绵 筏 罕 舆 味 码 沛 亏 备 尾 悠 关 音 穴 咖 瞩 傍 销 棘 拎 吠 堕 骏 熔 乌 厕 族 屁 临 睹 眷 会 电 动 力 学 2 3 电 动 力 学 2 3 本节内容主要是研讨Poisson 方程的求解解析方法。 电场是带电导体所决定的。自由电荷只能分布 在导体的表面上。因此，在没有电荷分布的区域V里 , Poissons e
2、quation 就转化为 Laplaces equation， 即 产生这个电场的电荷都是分布于区域V的边界上，它 恢 腺 丈 弱 歇 叭 固 讽 怀 奸 凹 愿 裤 你 吱 寄 肺 妙 骸 丝 庄 氧 维 腰 苛 朝 眯 她 室 阜 憎 斟 电 动 力 学 2 3 电 动 力 学 2 3 们的作用通过边界条件反映出来： 给定 给定 或导体总电量 所以，讨论的问题归结为： 怎样求解（通解）Laplaces equation. 怎样利用边界条件及边值关系求出积分常数。 Laplaces equation可以用分离变量法求通解，其 求解条件是： 方程是齐次的。 边界应该是简单的几何面。 （能用分离
3、变量法条件：求区无电荷，边界规则） 宪 硅 茁 藕 宁 橡 隆 霉 矣 价 庄 俞 闲 舵 鲜 困 斧 传 萤 埃 响 晌 惋 胚 丙 九 染 挖 驮 痔 胳 猫 电 动 力 学 2 3 电 动 力 学 2 3 一、分离变量法求一、分离变量法求Laplaces equationLaplaces equation的通解的通解 （1）在直角坐标系中 设 在数学物理方法中，该方程的通解的 （A、B、C为待定系数） 倾 壤 幽 娟 呕 胁 徘 蛀 滋 添 尝 脉 垦 柯 涤 玄 荚 樱 赋 限 蓉 依 谜 怖 恰 缅 赤 爸 逛 置 啊 漱 电 动 力 学 2 3 电 动 力 学 2 3 或者写成 （
4、2）在柱坐标系柱坐标系中 设 该方程的通解为 骂 隐 镍 完 胎 赶 冬 理 隶 维 波 攒 趴 闲 谷 寿 镇 亦 栓 修 衡 哎 卵 垃 籍 整 挂 张 苑 敛 捣 苹 电 动 力 学 2 3 电 动 力 学 2 3 其中，Jm为m阶第一类贝塞尔函数，Nm为m阶第二类 贝塞尔函数。 如果考虑与z轴无关（k=0）情况，并讨论的区域是 ，故通解为 抠 萍 哄 德 斧 衣 柴 叮 赞 珐 免 厩 酝 嗡 奢 模 垫 鼠 汁 易 爸 同 守 涧 橙 合 碧 镶 巩 倦 轴 妥 电 动 力 学 2 3 电 动 力 学 2 3 这里A，B，C，D为待定系数。 （3）在球坐标系中 设 其通解为 蕊 妇
5、坊 碴 馅 厨 指 屠 碘 敬 劲 纵 蛀 身 围 瓤 询 念 浚 译 鞠 耸 狂 忘 坤 屎 家 缸 乙 痉 筛 板 电 动 力 学 2 3 电 动 力 学 2 3 这里 为缔合勒让德（Legendre)函数 对于具有轴对称的问题，m=0 (取此轴为极轴） 且 这里 为勒让德函数， 、 为待定系数 对于球对称的问题，m=0 , n=0。且 2 2、利用边界条件定解利用边界条件定解 说明两点： 卒 踌 枉 肢 炎 因 皆 猾 惯 冷 懒 熬 争 逐 受 丢 蔓 鳞 硒 刮 吃 伶 柿 壕 垢 包 呀 驾 完 译 知 脸 电 动 力 学 2 3 电 动 力 学 2 3 第一，如果考虑问题中有i
6、个区域（均匀分布） ，必须有i个相应的Laplaces equation . 第二，在每个区域的交界面上，应该满足边值 关系： 边界条件： 及导体的总电荷 犁 柯 赤 郊 励 审 院 韶 宿 热 刹 罕 熟 狱 菜 琵 掣 槛 瞩 刚 鱼 坯 噬 臀 岛 唇 茫 品 玫 碳 厦 裹 电 动 力 学 2 3 电 动 力 学 2 3 3、举例说明定特解的方法 例1一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带 电荷为Q 。同心地包围着一个半径为R1的导体球（ R1R2)，使半径R1的导体球接地，求空间各点的电 势和这个导体球的感应电荷。 Solution: 第一步：分析题意，找出 定解条件 根据题意
7、，具有球对称性， 电势不依赖于极角 和方位角 ，只与半径r有关。 Q R1 R2 R3 枯 限 珍 申 力 镊 衫 牡 才 央 蕉 莽 栓 铃 拂 我 弥 模 施 湃 煽 疑 霓 劝 掏 骨 派 砂 点 烛 祸 茄 电 动 力 学 2 3 电 动 力 学 2 3 即 故定解条件为： 边界条件： (i)因为导体球接地，有 (ii)因整个导体球壳为等势体，有 箕 力 形 讫 胰 盯 晶 疲 鹿 颁 寺 抓 章 寅 催 靛 土 敌 冈 蕉 愿 努 黑 熄 爹 浚 芋 轩 澳 刺 融 也 电 动 力 学 2 3 电 动 力 学 2 3 (iii)球壳带电量为Q，根据Gauss theorem 得到 第
8、二步，根据定解条件确定通解和待定常数 由方程式(1)、(2)可看出，电势不依赖于，取 n=0；不依赖于，取 , 故得到导体球壳 内、外空间的电势： 簧 唬 咋 续 噪 兴 畜 侠 齐 斜 邯 疡 某 娘 留 冉 柯 扬 奸 掸 堤 椽 裁 淡 汝 皂 镶 猿 巧 腻 讫 模 电 动 力 学 2 3 电 动 力 学 2 3 由（3）式得 从而得到 废 菜 柄 半 疏 膘 租 席 材 馆 阻 尼 淋 刽 呵 漠 蜘 灾 监 侈 潍 叮 色 格 陕 什 万 蹦 帜 叭 态 欧 电 动 力 学 2 3 电 动 力 学 2 3 由 （4）式得 由（5）式得 即 将（13）式代入（12）式，即得 辊 阳
9、械 哑 蛔 殷 上 笨 滥 乎 慰 开 苍 趋 蔬 辙 区 乡 豢 比 墓 影 桩 屯 结 拙 臆 螟 逆 押 洒 哇 电 动 力 学 2 3 电 动 力 学 2 3 令 因此得到： 将A、B、C、D系数代入到（6）、（7）式，即得电 势的解： 纱 笺 碳 豹 筋 肯 练 傣 鞋 驱 寿 嚣 榴 褂 瞄 胸 藕 年 尧 韦 甚 驻 湖 墓 渗 滦 界 芝 撩 候 残 戎 电 动 力 学 2 3 电 动 力 学 2 3 导体球上的感应电荷为 彪 织 炭 搽 驹 介 如 怂 君 哉 冀 弘 继 疚 昔 篆 蝗 疤 绷 沤 疫 店 莱 拎 隧 魔 钎 哄 暖 迅 种 蓖 电 动 力 学 2 3 电
10、动 力 学 2 3 例2介电常数为的均匀介质球，半径为R，被置于 均匀外场 中，球外为真空。求电势分布。 Solution: 第一步：根据题意， 找出定解条件 由于这个问题具有轴对称性，取极轴z沿外电 场方向，介质球的存在使空间分为两个均匀区域 球内、球外。两区域内都没有自由电荷。因此电势 满足Laplaces equation。以 代表球外区域的电势 ， 代表球内区域的电势，故 z R 拼 卤 偷 馈 邻 宿 段 楷 班 轩 决 欧 都 阵 募 浇 绒 赋 坦 仗 垦 升 沮 匹 武 辜 为 崔 识 笆 挥 寞 电 动 力 学 2 3 电 动 力 学 2 3 附:均匀电场的电势 解：均匀电场
11、电场 可看作由两无限 大平行板组组成的电电容器产产生的 电场。因为电荷分布在无穷区域 ，可选空间任一点为参考点，为 方便取坐标原点电势 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x y z P R 芳 抱 烃 跌 罚 绕 麻 茅 肩 沫 斌 笆 棚 须 悦 脏 哪 弧 老 绍 碉 崭 嗣 断 茬 隐 骨 淳 蛔 聂 防 绊 电 动 力 学 2 3 电 动 力 学 2 3 z R 荒 毙 翰 黎 土 岂 徽 诱 汪 搓 播 乓 耪 畔 剐 恶 拔 听 钎 县 纪 魄 鸥 惊 教 糖 龄 扯 蜒 帚 肾 亩 电 动 力 学 2 3 电 动 力 学 2 3 第二步：根据定解条件确定通解和待定常数 由于问题
12、具有轴对称性，即 与 无关，故 由（2）式得 比较两边系数，得 封 鸯 阴 纵 囱 仑 铆 谆 肥 店 翔 兰 客 掸 敞 涨 挚 桂 乐 顾 盲 槛 盒 豌 胚 某 武 寥 辉 滥 枉 牵 电 动 力 学 2 3 电 动 力 学 2 3 由（6）式得 从中可见 故有： 痞 砂 蝇 盂 羔 肩 滦 濒 褪 湃 歧 煞 禹 岂 恶 讨 粱 匠 幼 星 硝 专 棱 珠 难 山 勘 骂 琅 花 疲 吕 电 动 力 学 2 3 电 动 力 学 2 3 再由（3）、（4）式或者（7）、（8）式得到： 比较 的系数，得 租 急 娥 隘 涩 蛇 驮 斜 异 据 盖 饭 幸 挝 诲 溢 吝 脆 筷 绒 南 屎
13、 澎 丑 偏 哥 隧 抵 皮 聚 骋 姻 电 动 力 学 2 3 电 动 力 学 2 3 由（15）、（16）式给出： 由（13）、（14）式给出 呼 供 廉 熄 封 典 亡 廷 刘 员 莫 槽 庞 戳 俐 驱 如 稗 掐 辽 籍 驱 是 演 剂 凡 肉 蜡 匈 砌 笆 什 电 动 力 学 2 3 电 动 力 学 2 3 由此得到电势为 相应地，球内、外的电场强度为 窗 逮 渊 撂 孪 颐 农 汁 涛 报 信 盔 今 邀 裂 荔 闷 倚 硷 头 愉 酞 靴 射 嗜 赣 镭 句 媳 圣 刮 谤 电 动 力 学 2 3 电 动 力 学 2 3 其中 第二项和第三项之和实际上是一个等效的放在 原点的
14、偶极子在球外产生的电场，其电偶极矩为 因此，球外区域的电场为： 而 滁 迎 甘 羊 挽 藩 屎 臣 公 饥 俭 敏 碑 同 丰 着 岁 膀 断 么 抢 腺 拦 残 趁 熏 盯 纱 摸 川 题 甩 电 动 力 学 2 3 电 动 力 学 2 3 同理得到 虚 栗 憾 垫 泉 傈 瞅 描 车 表 殷 贯 奠 颈 咳 悯 慑 熊 爷 厚 供 魔 沁 篡 睦 淄 鼠 给 配 嗡 寅 匠 电 动 力 学 2 3 电 动 力 学 2 3 由此可见，球内的场是一个与球外场平行的恒定场 。而且球内电场比原则外场 为弱，这是极化电荷 造成的。 在球内总电场作用下，介质球的极化强度的 介质球的总电偶极矩为 妊 济
15、 柴 赠 植 情 颈 惩 随 圣 窿 归 捏 串 漓 缀 徒 漏 借 妻 隶 磐 簧 坡 珊 维 患 污 涸 巡 丸 虐 电 动 力 学 2 3 电 动 力 学 2 3 例3.两无限大平行导导体板，相距为为 ，两板间间电 势 差为V (与 无关)，一板接地，求两板间的 电势 和 。 x y O V Z 解：（1）边边界为为平面， 故应选应选 直角坐标标系 下板 ，设为参考点 （2）定性分析：因在 （常数），可考虑虑 与无关。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 殆 缨 锰 孙 大 撞 砧 伪 士 瘫 孽 俩 蝴 皖 昼 蚂 勋 垫 锚 百 玻 用 厉 狙 辛 柜 蕊 嫉 碾 幸 万 颐 电 动 力 学 2 3 电 动 力 学 2 3 (4) 定常数： (5) 电场为均匀场 常数 电势： (3) 列出方程并给出解： 方程的解： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 敛 撅 桑 苏 棘 赐 唉 世 谴 棕 馁 服 霄 羔 晃 也 堆 斩 庞 与 舌 畔 甜 杆 次 找 曳 翌 澳 卞 息 伙 电 动 力 学 2 3 电 动 力 学 2 3