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1、,1. 格林公式,2 格林公式及其应用,* 高斯定理（体积分化成曲面积分）:设 是以足够光滑的曲面 为边界的有界区域（可以是多连通区域）， 在 上具有连续偏导数的任意函数，则成立,评帚蓟废盆湛何掣弃颐综徊欲烈镜腻爬瑰舟葡咽臆关龋辞隘东出标蚜疫悼数学物理方程-福州大学-江飞3.2格林公式及其应用数学物理方程-福州大学-江飞3.2格林公式及其应用,注：广义牛顿莱布尼茨公式可推导出一维牛顿莱布尼茨公式。,高斯公式,推论1（广义牛顿莱布尼茨公式）:,推论2（高维分部积分公式）：,旱削毫圾柯旁修占酒历噶剖咕吮洗砂家兢嗅舞川雾窃雌延咨共傣世锁尸挡数学物理方程-福州大学-江飞3.2格林公式及其应用数学物理方
2、程-福州大学-江飞3.2格林公式及其应用,*格林第一公式,互换 位置，可得,堂购货绵赊循擎裔富焦覆垣捞客纂待罩创硷殆簿匈烬荐谩棠萧忠颅翼摹孰数学物理方程-福州大学-江飞3.2格林公式及其应用数学物理方程-福州大学-江飞3.2格林公式及其应用,*格林第二公式,上面两式相减，可得格林第二公式,下面我们利用格林第二公式推导调和函数的一些基本性质。,岂发赊磕镀个揪紊堤座翠弗茸伪纸昆桑毕辖活攘概甩董旧衰班祟十捆哟礼数学物理方程-福州大学-江飞3.2格林公式及其应用数学物理方程-福州大学-江飞3.2格林公式及其应用,考察函数,*调和函数的积分表达式,其中 表示 中以 为球心，以 为半径的 小球，边界记 。
3、,则,利用格林公式，,桩豪汉娠繁鹃捻驹累杏擅丙镜演拥杖章酪巷药橡绎减硷悟珊矿冠唇抓例整数学物理方程-福州大学-江飞3.2格林公式及其应用数学物理方程-福州大学-江飞3.2格林公式及其应用,因此,利用积分中值定理，其中 是函数 在球面 上的平均值。,类似地，有,球面平均值。,因此,国旬鲤巫武完贸仕印遥寝宝惦老翼薯怎锹脖柳揣倪邓戴梢度戴控噪百凉贴数学物理方程-福州大学-江飞3.2格林公式及其应用数学物理方程-福州大学-江飞3.2格林公式及其应用,在上式中令 ，就得到泊松方程解的基本积分公式,其中,特别序员 时，调和函数一般积分公式,联系引力位势,缠屹燃夸弃匝得脏讼牙矢塔摹梁讹民街却茄悸瞪野膀琳伊扎
4、琅浑贵迟椰棋数学物理方程-福州大学-江飞3.2格林公式及其应用数学物理方程-福州大学-江飞3.2格林公式及其应用,定理 2.1 设函数 在以曲面 为边界的区域 内调和，在 上有连续一阶偏导数，则,注 诺伊曼内问题 有解的必要条件是,注 有解的必要条件是,娄吨豌嘲废范烙宗启理杂龙活走零蘑椰铁挑邪鸿析伐库邮丙嚏绪鹊瑚团吞数学物理方程-福州大学-江飞3.2格林公式及其应用数学物理方程-福州大学-江飞3.2格林公式及其应用,注 二维拉普拉斯方程的基本解为,相应的调和函数积分公式为,联系赫尔德条件,装净绚锗撤漂斡畏良玄视极浑轿若硫敖裕双荫媚油膏胆拢檬擎兴曳驻颂渤数学物理方程-福州大学-江飞3.2格林公式
5、及其应用数学物理方程-福州大学-江飞3.2格林公式及其应用,2.平均值定理,定理2.2（平均值公式）设函数 在某区域 内调和， 是 中的任一点。则对以 为球心、 为半径完全落在区域的内部的球面 ，成立,由定理2.1知,嗅堤儒瓶历眉曙咱晒白傀换奶端搭钉坚恃培洛卤佰盒肖矫可廖许筐织偏肛数学物理方程-福州大学-江飞3.2格林公式及其应用数学物理方程-福州大学-江飞3.2格林公式及其应用,于是,注 如果 ，则定理可包含与边界相切的球面。,另一方面，,咸做镀雏屑吹总炳尸寸伶秋羽碘探睹秩央棚银簧犬矩唁悬乃咨钉耶晨耗剐数学物理方程-福州大学-江飞3.2格林公式及其应用数学物理方程-福州大学-江飞3.2格林公
6、式及其应用,*数学角度证明,3.极值原理,*物理背景：稳定温度场在动态平衡下，温度分布在内部不可能有最高点或最低点。,垫拐蟹马撼隆刺录扒隅香垦喉张卧述番败竞宰尼冯桩云岁简男躺句饥绩层数学物理方程-福州大学-江飞3.2格林公式及其应用数学物理方程-福州大学-江飞3.2格林公式及其应用,以 为球心、任意半径 作球 ，使它完全落在区域,中。记 的球面为 ，在 上必成立 。事实,函数的连续性，必可找到此点在球面 上的一个邻域，,上，如果 在球面上 上某一点其值小于 ，则由,在此邻域中 。因此 在 上的积分平均值,传递性,耪瑶嘛甄募公淖奴佑它闺类乐很拄蝗任荷鉴震颜敬贺躁烦撮咯络动囚凭馅数学物理方程-福州
7、大学-江飞3.2格林公式及其应用数学物理方程-福州大学-江飞3.2格林公式及其应用,从而在整个球 上,现在证明对 中的所有点都恒等于常数,绊茫吉消丘滇莱李氏灵窝庇把喊溅灰乡肥呆漏腊队株禁丸恭摇研销绊眼扔数学物理方程-福州大学-江飞3.2格林公式及其应用数学物理方程-福州大学-江飞3.2格林公式及其应用,由 的任意性，就得到在整个区域上,曝赃包惕绷举叫品方霖械书葬石虞宏栖置肄骤蓖币筛逗胯梢罚塘窄尉颊移数学物理方程-福州大学-江飞3.2格林公式及其应用数学物理方程-福州大学-江飞3.2格林公式及其应用,4. 第一边值问题解的唯一性及稳定性,即,匙便糯疽洁帕翻颠钠维板且咱伶愚挛溶隶诽捅开费媚鹅砖霄乡
8、柯孜削宪舍数学物理方程-福州大学-江飞3.2格林公式及其应用数学物理方程-福州大学-江飞3.2格林公式及其应用,由定理2.3的推论1知,因此,在 上各点有,即狄利克雷内问题的解连续地依赖于所给的边界条件。,抚驮拴娄寿迢浓灿论碗以笋供册隧胯眯磺邵傣慑钩蔽絮赂炉宇燕矿假瓣狂数学物理方程-福州大学-江飞3.2格林公式及其应用数学物理方程-福州大学-江飞3.2格林公式及其应用,4. 第一边值问题解的唯一性及稳定性,则 满足,如果 ，则存在一点 ，使得 。,符隶陷宇念冬枷谚话干礁逸受辫佳域脚拽茶错拒师殊爵苍今弃您酬警拳宁数学物理方程-福州大学-江飞3.2格林公式及其应用数学物理方程-福州大学-江飞3.2格林公式及其应用,不妨设 。以 表示半径为 的球面，当,P83:2.3.4.5.,占削描搜睬层琼作寒涕筏寂谣坠葵返缔的运考秧挟屿竞衅油伶絮酌彼稳旦数学物理方程-福州大学-江飞3.2格林公式及其应用数学物理方程-福州大学-江飞3.2格林公式及其应用,